Un desafío por semana

Julio 2015, quinto desafío

El 31 julio 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 31 julio 2015
Artículo original : Juillet 2015, 5e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 31:

Consideremos un número de dos dígitos y multipliquemos estos dígitos. Si el resultado es un número de un dígito, lo llamamos la ’’imagen’’ del número inicial. Si el resultado es un número de dos dígitos, repetimos la operación hasta obtener un número de un dígito, el cual será su ’’imagen’’. ¿Cuántos números de dos dígitos tienen como ’’imagen’’ al $8$?

Solución del cuarto desafío de julio:

Enunciado

La suma de los nueve números es $1+2+\cdots+9=45$. Llamaremos a los números de la tabla de acuerdo a su ubicación en la figura de abajo. Entonces el promedio de los números en cada fila y columna debe ser igual a $i$.

PNG - 13.8 KB

Como las columnas tienen el mismo promedio, tenemos

$a+b+c=d+e+f=\frac{3}{2}(g+h)=3i.$

Tenemos entonces

$i = 45-(a+b+c+d+e+f+g+h)$

$ = 45-(3i+3i+2i)$

$ = 45-8i,$

de donde $i=5$. Necesitamos entonces dos tríos de números $(a,b,c)$ y $(d,e,f)$ disjuntos y tales que, para cada trío, la suma de sus elementos sea igual a $3i=15$. Entonces $(a,b,c)$ y $(d,e,f)$ son iguales a $(9,4,2)$ y $(8,6,1)$ en algún orden. Con esto podemos completar la tabla:

PNG - 14.2 KB

Esta solución no es única.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Julio 2015, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

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