Un desafío por semana

Julio 2016, primer desafío

El 1ro julio 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 1ro julio 2016
Artículo original : Juillet 2016, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 27 :

Sean $a$ y $b$ dos números reales tales que $a \neq b$ y $\dfrac{a+b}{a-b}+ \dfrac{a-b}{a+b}=6$. Encontrar el valor de:

$\dfrac{a^3+b^3}{a^3-b^3}+\dfrac{a^3-b^3}{a^3+b^3}$.

Solución del cuarto desafío de junio:

Enunciado

La respuesta es sí.

Si uno de los dígitos es par, entonces Daniel puede formar dos números pares, ubicando el dígito par en el lugar de las unidades de cada número. Tenemos entonces como mínimo a $2$ como divisor común.

Si uno de los dígitos es igual a $5$, entonces Daniel puede formar dos números divisibles por $5$ al ubicar de la misma manera este dígito en el lugar de las unidades.

Si dos de los cuatro dígitos son iguales, entonces Daniel puede formar un número arbitrario e intercambiar las hojas con el mismo dígito para obtener el mismo número. El máximo común divisor será entonces este número.

El único caso restante es cuando los dígitos son distintos entre sí, impares y distintos de $5$, es decir, $1$, $3$, $7$ y $9$. Daniel puede formar entonces los números $1397$ y $1793$ cuyo máximo común divisor es $11$. Concluimos que, cualesquiera sean los dígitos escritos en las hojas, Daniel puede formar dos números cuyo máximo común divisor es mayor que $1$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Julio 2016, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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