Enunciado

La respuesta es $p=7$, $q=5$ y $r=2$.

Como $p$ y $q$ no pueden ser iguales a $2$ (primer número primo y único primo par), estos tienen que ser impares. Entonces, el número $p-q$ es par y primo, es decir, es igual a $2$. Luego, $p=q+2$. Los números $p-r=q-r+2$ y $q-r$ son primos y distintos de $2$. Por lo tanto, tienen la misma paridad, la cual solo puede ser impar. Como $q$ y $q-r$ son impares, $r$ debe ser par, es decir, $r=2$.

Los números $q+2=p>q>q-2=q-r$ son primos. Como $q-2$ es un primo impar, debe tener un valor de al menos $3$. Además, sabemos que en el conjunto de tres números $q-2$, $q$ y $q+2$, uno de ellos tiene que ser divisible por $3$. Para que un número sea divisible por $3$ y sea primo, su valor tiene que ser necesariamente $3$. Tenemos entonces $q-2=3$, es decir, $q=5$ y $p=7$.

Por lo tanto, hemos obtenido $r=2$, $q=5$ y $p=7$. Estos números cumplen las condiciones iniciales del problema pues $p-r=5$, $p-q=2$ y $q-r=3$ y cada uno de estos números es primo.