Un desafío por semana

Julio 2019, cuarto desafío

El 26 julio 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 26 julio 2019
Artículo original : Juillet 2019, 4e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 30

Si definimos el reverso de un número entero de dos cifras como el número que se obtiene al permutar sus dos cifras (por ejemplo, el reverso de $34$ es $43$), ¿cuántos números enteros de dos cifras hay tales que si añadimos el número a su reverso, obtenemos un número entero al cuadrado?

Solución del tercer desafío de julio:

Enunciado

La solución es: $28$ dulces.

El número de dulces que cada niño recibe corresponde a potencias sucesivas de $2$. Ana reparte entonces los dulces de la manera siguiente:
\[ 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +\cdots + 2^n = \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1. \]

La potencia más pequeña de $2$ que excede $2019$ es $2^{11} = 2048$. Por consiguiente, $2047 = 2^{11} - 1$ es el número mínimo de dulces con el que Ana debe contar si quiere repartirlos como desea.

Por lo tanto, le faltan $2047 - 2019 = 28$ dulces.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Julio 2019, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ARES JONEKSON / SHUTTERSTOCK

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