Un desafío por semana

Julio 2020, quinto desafío

Le 31 juillet 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 31 juillet 2020
Article original : Juillet 2020, 5e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 31 Tres pasos de Alberto son tan largos como cinco de su hijo. Cuando Alberto da seis pasos, a su hijo le da tiempo de dar siete. Si su hijo ya está a $30$ pasos delante suyo y prosigue la marcha, ¿cuántos pasos tiene que dar Alberto para alcanzarlo ?

Solución del cuarto desafío de julio :

Enunciado

La respuesta es no.

Si un número entero es par, su cuadrado es divisible por $4$ porque $(2k)^2 = 4k^2$. Por otro lado, si un número es impar, su cuadrado es de la forma $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$, y entonces el resto de dividirlo por $4$ es $1$. En fin, cuando dividimos por $4$ el cuadrado de un número entero el resto siempre es $1$ o $0$.

Pero cuando dividimos $2019$ por $4$ el resto es $3$ (efectivamente, tenemos que $2019 = 504\times 4 + 3$). Además, separando los cuatro últimos dígitos de su comienzo, todo número antiguo es de la forma $10\,000k + 2019$.

Como $10\,000$ es divisible por $4$, deducimos que el resto de la división por $4$ de cualquier número antiguo es $3$, y por consiguiente que no puede ser un cuadrado perfecto.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Julio 2020, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KTSDESIGN / SHUTTERSTOCK

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