Un desafío por semana

Julio 2021, cuarto desafío

El 23 julio 2021  - Escrito por  Ana Rechtman
El 23 julio 2021
Artículo original : Juillet 2021, 4e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 29

¿Es posible que los dos últimos dígitos del cuadrado de un número entero sean ambos un mismo dígito impar?

Solución del tercer desafío de julio:

Enunciado

Notemos los vértices como en la figura, siendo $O$ el centro del círculo circunscrito al triángulo $ABC$. Los tres triángulos isósceles al exterior de $ABC$ son entonces $ABF, BCD$ y $ACE$.

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Por construcción, los triángulos $ABO, BCO$ y $ACO$ son isósceles e iguales. Además, la suma de sus áreas es igual al área del triángulo $ABC$. Por consiguiente, los triángulos $ACE, ABF$ y $BCD$ añadidos al exterior son todos iguales.

Por el teorema de Pitágoras, en un triángulo equilátero de lado $1~\mathrm{cm}$, la altura vale $\sqrt{3} / 2~\mathrm{cm}$.

Ahora bien, el centro del círculo circunscrito coincide con el baricentro del triángulo equilátero, así que su radio vale
\[ \frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}~\mathrm{cm}, \]
que es justamente la longitud de cada uno de los dos lados iguales del triángulo isósceles.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Para citar este artículo:

— «Julio 2021, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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