Enunciado

Consideremos al entero $N$ y escribámoslo como $N = a\times 10 + b$, donde $b$ es un dígito. Entonces $N^2 = 100 a^2 + 20 ab + b^2$, y la cifra de las unidades de $N^2$ es la misma que la de $b^2$.

Ahora bien, los cuadrados de los diez dígitos son $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64$ y $81$, así que el cuadrado de un entero se termina siempre con $0, 1, 4, 5, 6$ o $9$.

Entonces, si las dos últimas cifras de un cuadrado son dos dígitos impares iguales, este cuadrado debe terminarse con $11, 55$ o $99$, y $N$ sería impar, ya que el cuadrado de un número par también lo es.

El cuadrado de un número impar tiene la forma $(2n+1)^2 = 4(n^2 + n) + 1$, o bien, es un múltiplo de $4$ más $1$. Pero puesto que $100 = 25\times 4$, $11 = 2\times 4 + 3$, $55 = 13\times 4 + 3$ y $99 = 24\times 4 + 3$, los enteros que terminan en $11, 55$ o $99$ son todos múltiplos de $4$ más $3$.

Por lo tanto, es imposible.