Un desafío por semana

Junio 2015, tercer desafío

El 19 junio 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 19 junio 2015
Artículo original : Juin 2015, 3e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 25:

En una escuela, los estudiantes pueden jugar fútbol o básquetbol. Un quinto de los estudiantes que juegan fútbol también juega básquetbol, y un séptimo de los que juegan básquetbol también juegan fútbol. Si $110$ estudiantes practican solo uno de estos deportes, ¿cuántos practican ambos?

Solución del segundo desafío de junio:

Enunciado

La respuesta es $26$ cm.

Notemos que los triángulos $ABN$ y $MBC$ son rectángulos.

JPEG - 18.8 KB

Podemos aplicar entonces el teorema de Pitágoras en estos triángulos:

$AB^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AN^2 = 19^2$

$BC^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2 = MC^2 = 22^2.$

Al despejar $BC^2$ en la segunda ecuación y reemplazándolo en la primera, obtenemos:

$AB^2+\frac{22^2-\frac{AB^2}{4}}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2+\frac{22^2}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2+\frac{2^2\cdot 11^2}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2 = 19^2-11^2$

$AB^2 = \frac{240\cdot 16}{15}=16^2.$

Entonces, $BC^2=22^2-\frac{16^2}{4}=420$ y

$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{420+256}=26\,\mbox{cm}.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Junio 2015, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Denis Burdin / SHUTTERSTOCK

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