Un desafío por semana

Junio 2018, cuarto desafío

El 22 junio 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 22 junio 2018
Artículo original : Juin 2018, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 25:

En un pueblo, los caballeros siempre dicen la verdad, y los artesanos siempre mienten. Juan interroga a cuatro habitantes. Luis afirma que Pablo es un artesano; Pablo dice ser el único caballero entre ellos; Carlos declara que entre Luis y Pedro hay al menos un artesano; Pedro sostiene que los cuatro son caballeros.
¿Cuántos caballeros hay?

Solución del tercer desafío de junio:

Enunciado

La respuesta es: $7$ sucesiones.

Observemos que si la suma se hace sobre una cantidad impar de términos, como por ejemplo $105=34+35+36$, el término central corresponde al promedio entre todos los términos: $\frac{34+35+36}{3}=\frac{105}{3}=35$. Esto quiere decir que $105$ dividido por el número de términos de la sucesión es un entero. Buscaremos ahora los divisores positivos de $105$. Como la descomposición en factores primos de $105$ es $105=3\times 5\times 7$, los divisores de $105$ son $1, 3, 5, 7, 15, 21, 35$ y $105$ (todos impares). Eliminamos el $1$ ya que el enunciado nos pide que la sucesión tenga al menos dos términos. Por otra parte, si tenemos $15$ términos en la suma, el término central es $\frac{105}{15}= 7$, luego, los números consecutivos que debemos sumar son $0, 1, 2, \ldots , 14$. Pero estos números nos son todos positivos: debemos eliminar entonces el caso en el que la suma tiene $15$ términos. Del mismo modo, eliminamos los casos en el que la suma tiene $21, 35$ o $105$ términos. Por lo tanto, podemos tener únicamente $3, 5$ o $7$ términos en la suma.

Por otra parte, si la suma se hace sobre un número par de términos, como por ejemplo $52+53=105$, vemos que el promedio de todos los términos está exactamente entre los dos términos centrales de la sucesión. Si la sucesión tiene $2n$ términos para un $n$ entero, entonces $\frac{105}{n}$ debe ser un número entero, es decir, que $n$ debe ser un divisor de $105$.
Podemos tener entonces $2, 6, 10, 14, 30, 42, 70$ o $210$ términos. Pero, como queremos solo enteros positivos, debemos eliminar todas las sucesiones que tengan más de $14$ elementos.

Por lo tanto, hay un total de siete maneras de escribir $105$ como suma de números enteros positivos consecutivos.

(«nombre» = número, «moyenne»= promedio, «somme» = suma).

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Para citar este artículo:

— «Junio 2018, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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