Enunciado

La respuesta es $x + y + z = 6$.

Elevando al cuadrado las tres ecuaciones obtenemos que $x^2 = 11 - 2yz$, $y^2 = 12 - 2xz$ y $z^2 = 13 - 2xy$, así que
\[ x^2 + 2yz = 11,\quad y^2 + 2xz = 12\quad\text{y} \quad z^2 + 2xy = 13. \]

Además, desarrollando la expresión $(x + y + z)^2$, obtenemos que
\[ \begin{align*} (x + y + z)^2 &= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz\\ &= (x^2 + 2yz) + (y^2 + 2xz) + (z^2 + 2xy)\\ &= 11 + 12 + 13 =36. \end{align*} \]
Por lo tanto, $x + y + z$, que es positivo, vale $6$.