Un desafío por semana

Junio 2020, segundo desafío

El 12 junio 2020  - Escrito por  Ana Rechtman
El 12 junio 2020
Artículo original : Juin 2020, 2e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 24 ¿Cuántos números naturales verifican que $n - 52$ y $n + 52$ son cuadrados perfectos?

Solución del primer desafío de junio:

Enunciado

La respuesta es $x + y + z = 6$.

Elevando al cuadrado las tres ecuaciones obtenemos que $x^2 = 11 - 2yz$, $y^2 = 12 - 2xz$ y $z^2 = 13 - 2xy$, así que
\[ x^2 + 2yz = 11,\quad y^2 + 2xz = 12\quad\text{y} \quad z^2 + 2xy = 13. \]

Además, desarrollando la expresión $(x + y + z)^2$, obtenemos que
\[ \begin{align*} (x + y + z)^2 &= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz\\ &= (x^2 + 2yz) + (y^2 + 2xz) + (z^2 + 2xy)\\ &= 11 + 12 + 13 =36. \end{align*} \]
Por lo tanto, $x + y + z$, que es positivo, vale $6$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Junio 2020, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - JAN MARTIN WILL / SHUTTERSTOCK

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