Un desafío por semana

Junio 2020, tercer desafío

Le 19 juin 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 19 juin 2020
Article original : Juin 2020, 3e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 25 Consideremos un anillo de madera delimitado por dos círculos concéntricos de radios $1$ y $6$ centímetros.

¿Cuál es la longitud máxima de un segmento de recta trazado sobre este anillo ?

Solución del segundo desafío de junio :

Enunciado

La respuesta es : dos enteros.

Si $m$ y $k$ son dos enteros tales que $n - 52 = m^2$ y $n + 52 = k^2$, tenemos $m^2 + 52 = k^2 - 52$, de donde
\[ k^2 - m^2 = (k - m)(k + m) = 104 = 2^3\times 13. \]

Los números $k - m$ y $k + m$ son entonces divisores de $104$ y $k - m\le k + m$, así que los pares $(k - m, k + m)$ hay que escogerlos de entre $(8,13)$, $(4,26)$, $(2,52)$, $(1,104)$. Sin embargo, siendo $104$ un número par, ya sea $k - m$ o $k + m$ debe ser par, y como $k + m = (k - m) + 2m$, finalmente ambos deben ser pares. El par $(k - m, k + m)$ no puede ser entonces otro más que $(4,26)$ o $(2,52)$.

Analicemos el primer caso :
\[ \begin{align*} (k + m) + (k - m) &= 26 + 4 \\ 2k &= 30,\\ k &= 15, \end{align*} \]
y $m = k - 4 = 11$. En este caso $n = 11^2 + 52 = 173$. De manera análoga tratamos el segundo caso y hallamos que $k = (52+2)/2 = 27$ y $m = 25$, lo cual da $n = 25^2 + 52 = 677$. No existe entonces más de dos enteros, a saber $173$ y $677$, satisfaciendo la condición.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Junio 2020, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - JAN MARTIN WILL / SHUTTERSTOCK

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