Enunciado

Como $\widehat{ABC} = 90^\circ$, el área del triángulo $ABC$ es :
\[ \frac{AB\times BC}{2} = \frac{3\times 4}{2} = \frac{12}{2} = 6~\mathrm{cm}^2. \]

No nos queda más que calcular el área del triángulo $CDA$.

Por el teorema de Pitágoras, $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$. Entonces $AC = 5~\mathrm{cm}$. Así pues, el triángulo $CDA$ es isósceles, ya que $AC = CD = 5~\mathrm{cm}$.

Ahora, sea $M$ el punto medio del segmento $[AD]$. Puesto que $CDA$ es isósceles, el segmento $[CM]$ es perpendicular a la base $[AD]$. Entonces el triángulo $AMC$ es rectángulo $M$ con $AC=5~\mathrm{cm}$ y $AM = 3~\mathrm{cm}$.

Utilizando de nuevo el teorema de Pitágoras, $MC^2 = AC^2 - AM^2 = 16$. Entonces $MC=4~\mathrm{cm}$, y el área del triángulo $ADC$ es :
\[ \frac{AD\times MC}{2} = \frac{6\times 4}{2} = \frac{24}{2} = 12~\mathrm{cm}^2. \]

Por lo tanto, el área del cuadrilátero $ABCD$ es $18~\mathrm{cm}^2$.