Un desafío por semana

Junio 2021, tercer desafío

El 18 junio 2021  - Escrito por  Ana Rechtman
El 18 junio 2021
Artículo original : Juin 2021, 3e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 24

Denotemos $x_1, x_2, x_3$ y $x_4$ las soluciones de la ecuación
\[ x^4 - 2x^3 - 7x^2 - 2x + 1 = 0. \]

¿Cuánto vale $\dfrac{1}{x_1} +\dfrac{1}{x_2} +\dfrac{1}{x_3} +\dfrac{1}{x_4}$?

Solución del segundo desafío de junio:

Enunciado

Podemos comenzar por factorizar la expresión:
\[ 10^{2021} - 2\times4^{1010} = 2^{2021}\times 5^{2021} - 2\times(2^2)^{1010} = 2^{2021}\times (5^{2021} - 1). \]

Ahora bien, a partir de $5^3 = 125$, las potencias impares de $5$ se terminan en $125$, y todas las pares en $625$. Esto lo verificamos fácilmente observando que los últimos tres dígitos de $5^{n+1} = 5^n\times 5$ son los mismos que los tres últimos del producto de $5$ con las tres últimas cifras de $5^n$; ahora bien, $125\times 5 = 625$ y $625\times 5 = 3125$, cuyos tres últimos dígitos son $125$.

De aquí deducimos que los tres últimos dígitos de $5^{2021} - 1$ son $124$. Este número se escribe entonces como $1000 k + 124$, para un entero $k$. Siendo $1000$ y $124$ ambos divisibles por $4$, también lo será $1000 k + 124$. Sin embargo, $1000$ es divisible por $8$ pero no por $124$, así que $1000 k + 124$ no puede ser dividido por $8$. Resulta entonces que la potencia más grande de $2$ dividiendo $10^{2021} - 2\times 4^{1010}$ es $2^{2021} \times 4 = 2^{2023}$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Para citar este artículo:

— «Junio 2021, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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