Un desafío por semana

Junio 2022, segundo desafío

Le 10 juin 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 10 juin 2022
Article original : Juin 2022, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del calendario matemático cada día viernes y su solución la semana siguiente.

Semana 23

La mitad de los vértices de un dodecaedro regular son coloreados con rojo y la otra mitad con azul. Decimos que una cara ’’es’’ de un color si al menos 3 de sus vértices son de ese color. ¿Cuál es la cantidad mínima posible de caras rojas ?

Solución del primer desafío de junio 2022 :

Enunciado

Respuesta : $-1$.

Para comenzar, notemos que $x\neq 0$, pues en caso contrario se tendría $\frac{1}{0+1}+\frac{1}{y+1} =1$, es decir, $\frac{1}{y+1} =0$, lo cual es imposible para cualquier valor de $y$.

Transformando ahora al mismo denominador la expresión $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} =1$, y tomando en cuenta el hecho que $x\neq 0$, obtenemos :
\[\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} & = & 1\\ \frac{y+1+x+1}{(x+1)(y+1)} & = & 1\\ x+y +2 & = & xy+ x+ y+ 1\\ y & = & \frac{1}{x}. \end{eqnarray*}\]
En consecuencia,
\[\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1} & = & \frac{1}{x-1}+\frac{1}{\frac{1}{x}-1} \\ & = & \frac{1}{x-1}+\frac{x}{1-x}\\ & = & \frac{1}{x-1}-\frac{x}{x-1}\\ & = & \frac{1-x}{x-1}= -1. \end{eqnarray*}\]

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022. Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Junio 2022, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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