Un desafío por semana

Junio 2022, tercer desafío

Le 17 juin 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 17 juin 2022
Article original : Juin 2022, 3e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes y su solución la semana siguiente.

Semana 24

El lado del octógono mide $1$ cm. ¿Cuál es la diferencia entre el área de la región roja y la de la región amarilla ?

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Solución del segundo desafío de junio 2022 :

Enunciado

Respuesta : dos caras.

Un dodecaedro regular posee 12 caras, y cada vértice pertenece a 3 caras. Por tanto, hay un total de $\frac{12\times 5}{3}=20$ vértices, por lo que hay 10 vértices rojos y 10 azules.

En la figura, se da una representación de un dodecaedro aplanado en la que uno ve 11 caras ; la cara faltante es aquella que está por detrás. Los vértices ennegrecidos corresponden a los coloreados en rojo. Hay dos caras con 3 vértices ennegrecidos : la del centro de la figura y la que está escondida. Por tanto, hay una coloración de los vértices para la que solo hay dos ’’caras rojas’’.

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Veamos que no es posible una coloración con solo una cara roja. Observemos primeramente que cada cara es un pentágono de 5 vértices, y como los vértices son rojos o azules, cada pentágono tiene al menos 3 vértices del mismo color.
Por tanto, si existe una coloración con solo una cara roja, entonces las otras 11 caras son azules. Como cada vértice azul pertenece como máximo a 3 de las otras 11 caras azules, debe haber al menos $\frac{11\times 3}{3}=11$ vértices azules, lo cual es imposible. Por tanto, hay al menos 2 caras rojas.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022 : bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Junio 2022, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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