L’union fait la force

ou les anneaux borroméens

Piste verte Le 1er août 2021 - Ecrit par Étienne Ghys Voir les commentaires (9)
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Aucun des trois anneaux n’est au dessus des deux autres. Chacun est au dessus d’un autre et en dessous d’un troisième. Impossible de les classer du plus haut au plus bas... Trois objets, pas de supérieur, pas d’inférieur, tous différents... Beau symbole.

Observez les trois anneaux représentés ci-dessous.

: http://en.wikipedia.org/wiki/Borromean_rings

Le rouge est au dessus du vert.

Le vert est au dessus du bleu.

Le bleu est au dessus du rouge.

Par la pensée, supprimez l’un des trois anneaux. On peut alors dissocier sans difficulté les deux anneaux restants ; deux anneaux quelconques ne sont pas noués. Et pourtant l’ensemble des trois anneaux est noué : il est impossible de les dissocier même en les déformant. La seule solution pour les dissocier serait de les couper ! Deux à deux, ils sont indépendants mais c’est bien l’ensemble des trois anneaux qui est solidaire. Là encore, beau symbole.

Pas étonnant que ce symbole ne fascine pas que les mathématiciens :

On peut y voir la Trinité chrétienne.

: http://en.wikipedia.org/wiki/File:BorromeanRings-Trinity.svg

Jacques Lacan y voit un modèle pour la subjectivité humaine : le réel, l’imaginaire et le symbolique.

Et d’ailleurs l’Union mathématique internationale a choisi ces anneaux comme symbole de l’unité des mathématiques.

On les appelle les anneaux borroméens. Selon Wikipedia, « le nœud doit son nom de borroméen à l’utilisation qui en était faite dans les armoiries d’une famille italienne, les Borromeo ».

Pour un mathématicien, il faut démontrer ce que nous avons énoncé plus haut. Comment prouver qu’il est impossible de dénouer l’ensemble ? On pourrait dire que c’est bien évident, mais il faut reconnaître que certains casse-tête, même s’ils paraissent impossibles à résoudre, possèdent une solution. La topologie algébrique a développé des méthodes pour démontrer que dans certaines situations on ne peut pas séparer deux anneaux, même si on s’autorise à les déformer à volonté (comme s’ils étaient en caoutchouc) mais sans aller cependant jusqu’à les couper. Mais ici, le défi est tout autre, puisqu’il est évidemment possible de les séparer deux à deux et qu’il s’agit de montrer qu’on ne peut pas séparer les trois ! C’est le topologue Massey qui a mis au point les produits de Massey dans les années 1950 qui sont les outils adaptés à ce nouveau type de problèmes [1].

Et si nous démontrions quelque chose ?

La figure initiale de cet article laisse penser que les trois anneaux sont parfaitement circulaires.
C’est une erreur.

Nous allons démontrer qu’il est impossible de réaliser des anneaux borroméens circulaires en suivant un article de Lindström et Zetterström datant de 1991 [2].

Il s’agit d’une preuve par l’absurde. On suppose qu’il est possible de réaliser des anneaux borroméens circulaires et on en déduit une contradiction !

Supposons donc qu’on dispose de trois anneaux circulaires en position « borroméenne », de trois couleurs, comme sur la figure.
Imaginons les anneaux bleu et vert rigidement fixés dans l’espace (par quel moyen, je ne sais pas, mais ça ne m’importe pas beaucoup). L’anneau rouge, quant à lui, est libre de se déplacer dans l’espace. Prenez-le et tirez-le vers vous, jusqu’à un moment où il bute sur l’anneau bleu en deux points. Lors de ce mouvement, l’anneau rouge ne rencontrera pas l’anneau vert puisque celui-ci est derrière le rouge qui ne fait que s’approcher de vous.

Les deux anneaux rouge et bleu sont alors deux cercles dans l’espace qui ont deux points en commun.

Exercice de géométrie élémentaire : montrez que si deux cercles dans l’espace ont deux points en commun, ou bien ils sont dans un même plan ou bien ils sont dans une même sphère. Je vous laisse le plaisir de la démonstration. Notez que je ne suppose pas que les cercles ont les mêmes rayons.

Si les anneaux rouge et bleu sont dans un même plan, observez ce qui se passe quand on fait le tour de l’anneau vert. L’anneau vert passe deux fois en dessous du rouge et deux fois au dessus du bleu. Lorsqu’on en fait le tour, l’anneau vert devrait passer en dessus, en dessous, en dessus et en dessous du plan. Mais c’est impossible : un cercle ne peut pas couper un plan quatre fois sans y être complètement contenu !

Si les anneaux rouge et bleu sont tracés sur une même sphère, c’est la même chose. L’anneau vert devrait entrer, sortir, entrer puis sortir de la boule bordée par cette sphère. Là encore, c’est impossible car un cercle ne peut couper une sphère en quatre points sans y être contenu.

CQFD

Pour en savoir plus

Un site internet (en anglais) uniquement consacré à ces anneaux !

Pour se faire plaisir, un tour de prestigiditateur qui n’a qu’un lien lointain avec les anneaux mais qui montre bien que parfois une association à trois (ou plus !) est utile.

Post-scriptum :

Un grand merci aux relecteurs de cet article : Jérôme Germoni, Olivier Faugeras et Barbara Schapira.

Notes

[1] Si vous connaissez déjà pas mal de topologie algébrique, voici les définitions.

[2] Lindström, Bernt ; Zetterström, Hans-Olov (1991), « Borromean Circles are Impossible », American Mathematical Monthly 98 (4) : 340–34.

Commentaire sur l'article

L’union fait la force

le 4 septembre 2010 à 11:25, par Pierre de la Harpe

Ce dessin est vraiment étonnant :
on peut l’avoir déjà vu 100 fois et il continue à fasciner.
J’aime y voir (entre autres choses)
une illustration du paradoxe de Condorcet,
celui qui montre qu’on ne peut pas imaginer une procédure de vote
pour choisir un président parmi trois candidats
(voir l’article http://images.math.cnrs.fr/A-vote.html).
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L’union fait la force

le 5 septembre 2010 à 18:33, par Damien Gayet

Merci pour ce joli article. Je me souviens que Pour la Science (?) avait publié il y a quelques années un article à ce sujet, et l’une des choses que j’en avais retenues est que les anneaux des armoiries de la famille Borromeo... ne sont pas borroméens ! Un sous-lien du lien mentionné explique que c’est un peu plus compliqué que ce que disais l’article de PlS :

http://www.liv.ac.uk/ spmr02/rings/islands.html

Damien
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L’union fait la force

le 5 septembre 2010 à 18:40, par Damien Gayet

Désolé, une farce de copier-coller, le vrai lien est là.
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L’union fait la force

le 6 septembre 2010 à 13:56, par Maxime Bourrigan

Si on connaît un peu de topologie algébrique, mais moins que pour la note de bas de page d’Étienne, on peut aussi utiliser le groupe fondamental pour se convaincre que les anneaux borroméens ne sont pas la même chose que trois anneaux juxtaposés. (Parce que le troisième anneau définit un élément non trivial dans le groupe fondamental du complémentaire des deux premiers).

C’est d’ailleurs une des « motivations » de l’introduction du groupe fondamental dans le (merveilleux) livre de topologie d’Allen Hatcher, au tout début de son premier chapitre : http://www.math.cornell.edu/ hatcher/AT/ATch1.pdf
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L’union fait la force

le 6 septembre 2010 à 15:09, par Étienne Ghys

Je n’y avais pas pensé ! Merci !

Etienne
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L’union fait la force

le 6 septembre 2010 à 17:18, par Maxime Bourrigan

Par ailleurs, est-ce qu’on sait s’il existe des « anneaux borroméens » pour tout nombre de composantes ? C’est-à-dire des entrelacs à n composantes qui deviennent triviaux dès qu’un manque (pour reprendre la symbolique « United we stand, divided we fall. » exprimée dans l’article) et de symétrie maximale (i.e. les n ! permutations des composantes sont réalisables par des équivalences topologiques) ?
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L’union fait la force

le 22 septembre 2010 à 08:37, par Pierre de la Harpe

On doit à Hermann Brunn l’observation suivante, dans un article de 1892 :
pour tout entier $n$ supérieur à $2$, il existe un entrelacs à $n$ composantes
dont tous les sous-entrelacs à $n-1$ composantes sont triviaux.
Par exemple, l’entrelacs borroméen a cette propriété, avec $n=3$.
On peut s’en covaincre en contemplant des images pour $n=4$ et $n=6$
sur un site de Rob Scharein, voir ici.
Les mathématiciens professionnels pourront aussi regarder
ce qu’en dit et ce qu’en dessine Dale Rolfsen dans son livre « Knots and links ».

Reste à répondre à la question « plus symétrique »,
ce que je ne sais pas faire.
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L’union fait la force

le 15 juillet 2011 à 17:25, par bayéma

je voudrais répondre à maxime bourrigan et à pierre de la harpe. je m’excuse d’avance de ne pas présenter des dessins pour illustrer mon propos, mais ce que j’avance peut se fabriquer avec de la ficelle.
pour cela, il suffit de remarquer que chacun des trois ronds est toujours situé de la même manière par rapport à chacun des deux autres : soit toujours dessus, soit toujours dessous. en d’autres termes, aucun des trois ronds ne traverse le « trou » des deux autres. cela suffit pour former un nœud borroméen avec 6 croisements, ce qui en est le MINIMUM. on dit que le nœud est présenté sous forme réduite, ou plus simplement qu’il est réduit.

1) une fois le nœud fabriqué, appelons Rouge, Vert, Bleu les ronds. en prenant un rond dans chaque main, mettons Rouge en main gauche et Bleu en main droite et en tirant, le rond Vert va subir une déformation « en banane ». cette isotopie augmente le nombre des croisements qui passe de 6 à 8 ; cette observation va permettre de fabriquer l’infinité des nœuds borroméens, simplement en intercalant autant de « bananes » que l’on veut. chacun.e peut en faire l’expérience facile.

2) on trouvera dans les séminaires de lacan, livre XXII, « R.S.I. » et livre XXIII, « le sinthome », paru aux éd. du seuil mars 2005, les dessins correspondants. on consultera aussi l’ouvrage en trois tomes d’un jeune mathématicien suicidé en 81, pierre soury, « chaînes et noeuds » édité par michel thomé et christian léger, mathématiciens ayant travaillé avec lacan sur les nœuds, notamment le tome « troisième partie » texte 117, page 2 où l’on verra tous les dessins et la classification des chaînes borroméennes à nombre quelconque de ronds.

3) question symétrie. (a) j’ai fait une monstration, le 15 mai 2004, à « la lettre de topologie », de cette symétrie du nœud borroméen à trois ronds, sur un énoncé de platon, le « timée », 31b-33a, page 413, gf-flammarion 1969, que je lisais simultanément aux manipulations que j’effectuais avec mon nœud en ficelle. voici le texte de platon, et chacun.e pourra réitérer cette manipulation et se convaincre de cette rencontre surprenante. je soulignerai la partie « active » du texte, pour mon propos.
« or, de tous les liens, le meilleur est celui qui, de lui-même et des choses qu’il unit, forme une unité aussi parfaite que possible, et cette unité, c’est la proportion (harmonie, analogia (ce pourquoi désormais je nomme »analogon« ce nœud, bayéma) qui est de nature à le réaliser complètement. lorsqu’en effet, de trois nombres quelconques,..., LE MOYEN EST AU DERNIER CE QUE LE PREMIER EST AU MOYEN ET QUE RÉFLEXIVEMENT LE MOYEN EST AU PREMIER CE QUE LE DERNIER EST AU MOYEN , LE MOYEN DEVENANT TOUR A TOUR LE PREMIER ET LE DERNIER, ET LE DERNIER ET LE PREMIER DEVENANT L’UN ET L’AUTRE LES MOYENS , IL S’ENSUIVRA NÉCESSAIREMENT QUE TOUS LES TERMES SERONT LES MÊMES ET QU’ÉTANT LES MÊMES LES UNS QUE LES AUTRES, ILS FORMENT A EUX TOUS UN TOUT. » ouf ! voilà pour la « philotopologie », et les symétries à trois ronds. on voit que chaque rond « voyage » à travers le nœud et occupe toutes les positions combinatoires possibles (six) de trois objets : RVB, RBV, BRV, etc.
(b) à partir de quatre ronds, le nœud, ou chaîne, s’organise en « sous-ensembles » de deux ronds de part et d’autres « disjoints » modulo ce qui précède, c’est-à-dire que les deux ronds d’un « sous-ensemble » ne « voyagent » pas à travers l’autre « sous-ensemble », ils restent « confinés », les ronds ne « traversent » pas la « frontière » de leurs « sous-ensembles » respectifs. on pourrait dire qu’à partir de quatre ronds il y a une « brisure » de symétrie qui n’apparaît pas lorsque le nœud borroméen est à trois ronds.
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L’union fait la force

le 1er août 2021 à 22:12, par Loïc Merel

Ceux qui ont théorisé une analogie entre nœuds et nombres premiers ont proposé un analogue des anneaux borroméens en arithmétique : les anneaux sont remplacés par des nombres premiers.

Deux nombres premiers p et q (disons congrus à 1 modulo 4 pour simplifier) sont par définition dénoués si p est un carré modulo q. Par la loi de réciprocité quadratique, c’est une relation symétrique. Introduisons un troisième nombre premier r dénoué par rapport à p et à q. On peut définir un invariant qui nous dit si p, q et r sont dénoués dans leur ensemble. C’est l’invariant de Redei, construit via des produits de Massey comme ci-dessus, mais dans un cadre arithmétique. Ainsi on a des triplets « borroméens » de nombres premiers : par exemple (13,61,937).

Deux exposés récents sur le sujet. A. Venkatesh pour le grand public :

https://www.ias.edu/ideas/venkatesh-primes-knots

Barry Mazur, à l’origine avec David Mumford de l’analogie dans les années 1960 :

https://www.youtube.com/watch?v=KTVEFwRbuzU

Le livre de Morishita consacré à l’analogie :

Knots and Primes : An Introduction to Arithmetic Topology
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L'auteur

Étienne Ghys

Directeur de recherche au CNRS, secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences.

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