Los matemáticos Goldbach y Euler mantenían una correspondencia epistolar y es en la carta del 7 de junio de 1742 donde Goldbach le hizo parte de su conjetura a Euler. Esta es una versión tipografiada más legible que la copia manuscrita.

Lettre du 7 juin 1742 de Goldbach à Euler

Una vez más se señalará que es en el margen donde se encuentra la médula del asunto [1]

Es Scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 1, ein aggregatum trium numerorum primerorum sey.

Esto es lo que dice el enunciado de la conjetura :

Todo número entero estrictamente más grande que 1 es la suma de a lo más tres números primos [2].

La conjetura se hizo famosa gracias a su enunciado tan sencillo y a su gran dificultad. [3]

Leonhard Euler

A la carta de Goldbach, Euler respondió que bastaba con demostrar que todo número par mayor que 4 es la suma de dos números primos. En efecto, si $n$ es un número impar mayor que 7, $n-3$ es par y se escribe como suma de dos números primos $p_1,p_2$. Así, $n=3+p_1+p_2$ y la conjetura queda probada para los números impares. Es el enunciado para los números pares, ’’Todo número par mayor que 4 es la suma de dos números primos’’ el que actualmente está reconocido bajo el término de Conjetura de Goldbach. El enunciado para los números impares ’’Todo número impar mayor que 7 es la suma de tres números primos’’ es conocido de ahora en adelante bajo el nombre de conjetura débil o conjetura ternaria.

En 2013, Harald Helfgott anunció una demostración de la conjetura débil, la de los números impares. Él entregó su prueba el lunes 13 de mayo de 2013 en la noche, en el sitio de pre-publicación Arxiv.org. Aquí está su artículo [4].

Luego de los trabajos de Vinogradov [5], se sabe que todos los números pares más grandes que un cierto número $C$ pueden escribirse como suma de tres números primos. ¡Basta entonces con verificar la conjetura para los números más pequeños que $C$ ! Desafortunadamente, el número $C$ era inmenso [6] y era inimaginable verificar (incluso con los computadores más potentes del mundo) la conjetura para todos los enteros más pequeños que $C$.

Todo el trabajo de Helfgott fue mejorar y reinventar las técnicas desarrolladas por Hardy-Littlewood [7], Vinogradov, Ramaré [8], Tao [9] y otros, basándose en el método del círculo para hacer la conjetura accesible a los cálculos por computadora. Esos cálculos fueron implementados por Dave Platt y fueron realizados, en parte, en el centro de cálculo MesoPSL del Observatorio de París.

Se utilizó el computador para verificar la conjetura hasta $8.875\cdot 10^{30}$ y para verificar también la hipótesis de Riemann generalizada en zonas más grandes que aquellas conocidas con anterioridad. Son esos últimos cálculos referentes a la hipótesis de Riemann generalizada los que necesitan el uso de supercalculadoras

La conjetura para los números impares de ahora en adelante está probada, pero la de los números pares resistirá seguramente mucho más tiempo todavía.