Aprender a equivocarse para avanzar

Prefacio de Aurélien Alvarez, profesor-investigador de la Université d’Orléans

’’La posibilidad misma de la ciencia matemática parece una contradicción insoluble. Si esta ciencia es deductiva solo en apariencia, ¿de dónde le viene este perfecto rigor que nadie piensa en poner en duda ? Si, por el contrario, todas las proposiciones que ella enuncia pueden derivarse unas de otras por las reglas de la lógica formal, ¿cómo es que la matemática no se reduce a una inmensa tautología ? El silogismo no puede enseñarnos nada esencialmente nuevo y, si todo debe salir del principio de identidad, todo debería poder reducirse a ello.’’

Henri Poincaré escribió estas frases en la introducción del primer capítulo titulado ’’Acerca de la naturaleza del razonamiento matemático’’, en una de sus obras que fue de las más comentadas, La Ciencia y la Hipótesis. En el libro que usted tiene en sus manos, Miquel Albertí retoma esas preguntas por su cuenta y trata de aportar algunos elementos de respuesta, especialmente a la luz de su experiencia personal. La tesis del autor es clara: todo el mundo puede crear matemáticas. Para eso, es necesario aprender a formular matemáticamente preguntas que uno se plantea espontáneamente en la vida diaria. Pero eso no es todo...

¿Cuáles son las características de la creatividad matemática? Pregunta difícil... Ciertamente es deseable no dejar jamás de tener nuevas ideas sugiriendo tal o cual nueva forma de abordar un mismo problema. ¿Y cómo no dejar de tener tales buenas ideas? Bueno, ¡eso se aprende ! Sí, son raros los genios que no hayan recibido estrictamente alguna educación matemática.
Incluso si no se insiste siempre suficientemente en los pupitres de la escuela y de la universidad, igual hay que aprender a no saber responder un problema: equivocarse, pasar horas volviendo sobre una pregunta para apropiarse y pensarla por sí mismo, son muy a menudo momentos extremadamente formadores..

Por desgracia, la mayoría del tiempo lo que uno presenta a los estudiantes esconde por completo todo el trabajo de búsqueda que es necesario para llegar ahí: no hay ninguna señal de tanteos, de extravíos. Por el contrario, las clases en general son presentadas de una manera tan armoniosa como sea posible, los conceptos son cuidadosamente introducidos unos detrás de otros, de manera que las demostraciones se encadenan sin el menor obstáculo.

Y sin embargo, cuánta creatividad ha sido necesaria para llegar hasta allí. Muy a menudo siglos de esfuerzo para llegar a poner a punto el lenguaje adecuado que permitirá formular la pregunta con precisión, resolverla y abrir la puerta hacia tantas otras nuevas interrogantes. Es así como avanzan las ciencias matemáticas: repensando un problema, uno lo coloca en un marco nuevo que permite encarar muchas otras preguntas. Y es eso lo que permite después enseñar tan fácilmente los conceptos que costaron tanto emerger, aunque al comienzo podían parecer contradictorios, imposibles, absurdos. Los ejemplos son numerosos: los números irracionales, los números complejos, las geometrías no-euclidianas, etc. Este libro vuelve sobre un cierto número de esos famosos ejemplos.

Finalmente, las matemáticas se inscriben por lo general en un contexto sociocultural muy preciso, lo que a veces es un freno a la creatividad: es necesario entonces mirar las cosas con ojos de niño para no dejar pasar de lado una nueva idea. Pero el contexto es con frecuencia un excelente estimulante para el progreso de las ciencias y de las matemáticas en particular. Imposible hacer el listado de todas las preguntas matemáticas que uno se plantea hoy en día y que han sido estimuladas por problemas provenientes de la informática, de la biología, de la medicina, etc. Ciertamente es incluso más larga la lista de preguntas que apasionaron a nuestros predecesores y que hoy nos parecen completamente sin interés...

Así van las ciencias matemáticas, abriéndose nuevo caminos todos los días: son como un árbol, algunas de cuyas ramas empujan y engendran sin cesar nuevas ramas, mientras que otras mueren poco a poco, antes que alguien vuelva a darles vida... o no. El proceso creativo es de una inmensa complejidad ¡y de una riqueza infinita!

Extracto del Capítulo 1 - Los pilares de la creación matemática

La idea genial

Tomemos dos puntos $P$ y $Q$, y un segmento $s$, como se ve en esta figura. Uno quiere ir de P a Q pasando por un punto de s. ¿Cuál punto de s determina el trayecto más corto ?

Para resolver el problema, imaginemos el segmento s como si fuera un espejo.
Tracemos el reflejo de $Q$ en relación a él y llamémoslo $Q’$. Tracemos el segmento que une $P$ a $Q’$ y que corta $s$ en un punto $X$:

El segmento $PQ’$ determina el camino más corto entre $P$ y $Q’$, y su intersección con $s$, el punto $X$, es aquél por donde hay que pasar para recorrerlo. Ahora no queda más que emplear de nuevo la simetría reflejando el segmento $XQ’$. Se obtiene así la solución, la línea rota $PXQ$, de longitud idéntica a aquella del segmento $PQ’$:

En consecuencia, el camino más corto para ir de $P$ a $Q$ pasando por $s$ consiste en ir hacia el punto $X$.

La idea anterior, basada en la simetría, ¿no es genial? No importa qué idea eficaz que venga a la mente puede merecer esta consideración. Sin embargo -y es uno de los puntos cruciales de esta obra- engendrar ideas geniales, es decir la creación matemática, puede aprenderse.

Una exposición argumentada y lógica de esta resolución se basa en el hecho de que la simetría conserva las distancia y que el segmento es la línea más corta entre dos puntos del plano. También es posible que la solución parezca simple una vez desarrollada, pero es difícilmente imaginable para alguien que es confrontado por primera vez a este problema. Estamos delante de un ejemplo de creatividad. La lógica, en sí misma, no lleva al resultado. Se obtiene gracias a la perspicacia de imaginar líneas suplementarias no trazadas sobre la figura del enunciado y de crear con ellas relaciones entre los diferentes elementos de la figura. La lógica permite numerosas acciones pero no entrega argumentos para elegir la acción apropiada.

Esta capacidad creativa en matemáticas no es universal, como tampoco lo es la creatividad artística, musical, arquitectónica o científica. Pero es eso lo que tantas personas han llamado una ’’idea genial’’, una especie de astucia o de iluminación súbita y mágica que no figuraba en los datos ni en el enunciado del problema, y en la cual el contexto donde surgió difícilmente permitía pensar.

Las ideas geniales existen, pero no están reservadas a los genios, y no todos los problemas son resueltos con ellas. Como lo veremos más adelante, su producción es el fruto del trabajo intenso y continuo, así como de la búsqueda de relaciones entre los elementos de un problema. Entre las relaciones casi innumerables que pueden ser explicadas entre los datos o los elementos de un problema, ¿cómo elegir aquél o uno de aquéllos que lo resuelven? Es en la elección de las ’’buenas posibilidades’’ donde reside justamente la creatividad matemática.

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