Arnold, 1995

Los objetos que nos rodean se pueden colocar sobre una mesa en una posición estable : una botella se posa en posición vertical sobre su ’’base’’, un tenedor se coloca plano al lado del plato, etc. Incluso hay varias formas de colocarlos : una botella se puede guardar en posición horizontal, el tenedor se puede apoyar con las púas hacia el mantel, o con las púas hacia arriba (o incluso apoyarlo de lado), etc.

Estabilidad significa que el objeto permanece en la posición en la que se colocó, incluso si se le empuja muy suavemente. Por ejemplo, si una botella se coloca en posición vertical, sobre su base, y se la inclina muy ligeramente y se suelta, automáticamente volverá a su posición vertical original y permanecerá allí. Si se inclina demasiado, caerá y luego se moverá a otra posición estable, horizontal sobre la mesa. [1]

Algunos objetos tienen una posición de equilibrio estable única, y el más conocido de ellos es el ’’muñeco porfiado’’. Es un muñeco cuya base tiene forma ovoide que está lastrada a la altura de los pies.
Los bidibules son una versión comercial algo pasada de moda, pero bastante popular hace veinticinco o treinta años [2]. Podemos encontrarnos con versiones de carne y hueso durante algunos espectáculos al aire libre :

Muñeco porfiado de la tribu ’’dynamógenes’’

Dynamógenes (Dynamogène) es una compañía del sur de Francia que, entre otras cosas, ofrece espectáculos y conciertos al aire libre.

Si se coloca un ’’porfiado’’ sobre su cabeza en una posición vertical perfecta, éste quedará en equilibrio : en teoría, permanecerá en esta posición para siempre si no se produce ninguna perturbación externa. Pero esta posición es inestable y, en la práctica, el ’’porfiado’’ se volcará rápidamente para volver a su posición estable, con los pies en el suelo. Por tanto, el ’’porfiado’’ tiene exactamente dos posiciones de equilibrio, una estable y la otra inestable. Para hacer esto, sus pies fueron lastrados : se ha insertado una bola de plomo en el interior del juguete para que el centro de gravedad quede posicionado en la parte inferior del cuerpo. Por tanto, el cuerpo del ’’porfiado’’ no es homogéneo, ya que su densidad interna varía de un punto a otro del cuerpo para mantener una posición estable única.

Un fenómeno similar se puede obtener con un material homogéneo si ahuecamos el cuerpo : en lugar de lastrar los pies, vaciamos la cabeza, lo que permite lograr el mismo efecto. En otras palabras, la falta de homogeneidad se obtiene mediante un hueco. No es el material el que se modifica para lastrar una parte del cuerpo, sino la forma general es la que dicta el contraste de densidad : es como si estuviéramos utilizando dos materiales distintos, por un lado el material base y, por otro lado, el vacío del agujero.

La pregunta de Vladimir Igorevich Arnold, formulada alrededor de 1995, es la siguiente.

Pregunta de Arnold.--- ¿Existe un cuerpo convexo y homogéneo que posea solamente dos puntos de equilibrio, uno inestable y el otro estable ?

Convexidad es un término matemático que, entre otras cosas, excluye la presencia de huecos. Una parte $C$ del espacio (o del plano) es convexa si satisface la siguiente propiedad : para cualquier par de puntos $p$ y $q$ ubicados dentro de $C$, el segmento que une $p$ con $q$ está contenido en su totalidad en $C$. Por ejemplo, una bola es convexa, pero un anillo no lo es.

Convexo (a izquierda) y no convexo (a derecha).

Como se puede ver en esta figura, el área de la derecha no tiene agujero, pero es no convexa.

Budapest, 2006

Alrededor de 2006, dos investigadores de Budapest respondieron positivamente a la pregunta de Arnold. Gábor Domokos y Péter Várkonyi construyeron entonces un porfiado homogéneo al que llamaron ’’la gömböc’’. Si he entendido correctamente, esta es una variación de la palabra ’’esfera’’ en húngaro. La mayoría de los textos que mencionan este descubrimiento hablan de ’’el’’ gömböc, pero es más bien un término femenino. [3]. Ahora es posible obtener ejemplares de este hermoso objeto matemático. Aquí hay algunas fotos :

Gömböc metálico

Gömböc translúcido

Y recomiendo los videos disponibles en la web, en particular el video oficial del sitio de los autores : verá allí las pequeñas oscilaciones de la gömböc que busca recuperar su posición estable. Si prefiere el Grand Journal, la gömböc fue invitada allí en noviembre pasado junto con Cédric Villani [4],
y si quieres hacerte una idea del entusiasmo y esfuerzo desplegado por Domokos y Várkonyi para lograr sus fines pueden ver esta pequeña película.

Dimensión 2

La gömböc es un objeto de ’’dimensión 3’’ ; es un sólido que manipulamos en nuestro espacio ambiente, también de dimensión 3, y que ponemos sobre una mesa para hacerlo rodar. ¿Existe una gömböc de dimensión 2, que se pueda posar sobre una línea horizontal para estudiar sus posiciones de equilibrio ?

Los matemáticos, por supuesto, se han hecho esta pregunta más simple antes de atacar el problema de Arnold. ¡Y la respuesta es no !

Teorema.— No existe una gömböc del plano. Una parte convexa del plano no puede tener exactamente dos posiciones de equilibrio, una estable y otra inestable : ¡siempre tiene más !

La demostración de este teorema es elemental para el matemático profesional, pero requiere un poco de fluidez geométrica. La describimos a continuación para el lector interesado.

Este enunciado se refiere a la forma general de las regiones convexas del plano y puede estar relacionada con otros resultados geométricos más profundos. Por ejemplo, el teorema de los cuatro vértices [5], ¡o incluso la conjetura de Arnold en geometría simpléctica ! Esta última es mucho más difícil de enunciar (y ciertamente de demostrar) : ocupa a muchos matemáticos y la investigación que condujo a resoluciones parciales de esta conjetura ha estructurado partes importantes de las matemáticas recientes.

Demostración del Teorema

En esta última parte (más difícil), nuestro objetivo es comprender con más detalle el teorema expuesto anteriormente y demostrarlo. Para eso, debemos volver al concepto de posición de equilibrio en el caso del plano.

Consideremos entonces una región plana convexa $C$.
Debemos imaginar que $C$ es un trozo de una placa homogénea, lo que nos permitirá hablar de la masa de $C$ o de una parte de $C$ [6] ; la homogeneidad implica que la masa de una parte $P$ de $C$ es proporcional al área de $P$, siendo la constante de proporcionalidad la densidad del material utilizado.

Llamemos $g$ al centro de gravedad de $C$. El punto $g$ se encuentra al interior de $C$. Esta es una forma de entender el rol del baricentro : martille un clavo en la pared, taladre la placa $C$ en un punto $m$ y cuelgue a $C$ en la pared pasando el clavo por este orificio. Si $m$ coincide con el centro de gravedad $g$, entonces $C$ permanecerá en su lugar ; de lo contrario, $C$ girará alrededor del punto $m$ bajo la acción de la gravedad hasta que el centro de gravedad se coloque debajo del clavo, perpendicular al suelo [7].

Contacto y gravedad

Si $C$ se coloca sobre una recta horizontal, y si denotamos $q$ al punto de contacto, observamos que :

• la recta horizontal es tangente a $C$ en el punto $q$ [8].

• la recta vertical que pasa por $q$ corta a $C$ en dos partes : la parte derecha y la parte izquierda. Si el centro de gravedad no estuviera por encima de $q$, la región $C$ no estaría en equilibrio, pues la fuerza de gravedad haría rodar $C$ hacia el lado determinado por la posición de $g$ [9].

Resumamos : Si $q$ es un punto ubicado sobre la frontera de $C$, podemos dibujar la tangente a $C$ en $q$, luego la perpendicular a la tangente que pasa por $q$ ; el punto $q$ dará una posición de equilibrio si esta perpendicular pasa por el centro de gravedad $g$.

Ahora, considere un punto $q$ en la frontera de $C$ y suponga que la recta que une $g$ con $q$ no es perpendicular a la tangente a $C$ en $q$. Podemos ver que la distancia entre $g$ y $q$ aumentará (respectivamente disminuirá) a medida que $q$ se mueva hacia un lado (o hacia el otro) del borde de $C$. Cuando la recta $(gq)$ es perpendicular a la tangente en $q$, la distancia de $g$ a $q$ presenta un extremo (por ejemplo, esta distancia puede disminuir para cualquier desplazamiento de $q$ tanto a la derecha como a la izquierda).

Supongamos ahora que $C$ es una gömböc de dimensión $2$, es decir, que $C$ tiene solo dos posiciones de equilibrio, correspondientes a dos puntos $p$ y $q$ de su borde. En uno de los dos puntos, digamos $p$, la distancia de $g$ a $p$ es mínima, mientras que en $q$ es máxima.

Obtendremos una contradicción, que probará el teorema.

Para eso, considere los puntos $m$ de la periferia de $C$ ubicados entre $p$ y $q$. A medida que $m$ se mueve de $p$ a $q$, la distancia de $g$ a $m$ aumenta gradualmente. En efecto, no puede aumentar y luego disminuir, porque de lo contrario alcanzaría un máximo local en un punto intermedio $r$ y, en este punto, la recta $(gr)$ sería perpendicular a la tangente y tendríamos un tercer punto de equilibrio. Aquí hay una figura que ilustra la situación estudiada :

Variación de distancias

Ahora considere las rectas que pasan por $g$. Cada recta intersecta al borde de $C$ en dos puntos $h$ y $b$. Cuando $h$ está cerca de $q$, la diferencia entre las distancias $\vert gh\vert$ de $g$ a $h$ y $\vert gb\vert $ de $g$ a $b$ es positiva. Luego, cuando la recta gira, el punto $h$ se mueve a lo largo del borde de $C$ y va de $q$ a $p$. Cuando $h$ está cerca de $p$, la diferencia $\vert gh\vert - \vert gb\vert$ se vuelve negativa porque $\vert gh\vert$ está cerca del mínimo $\vert gp\vert$ mientras que $\vert gb\vert$ se vuelve mayor que $\vert gp\vert$. Así, dependiendo de la recta elegida, la diferencia $\vert gh\vert - \vert gb\vert$ cambia de valores positivos a valores negativos. Por lo tanto, hay al menos una línea para la cual $\vert gh\vert - \vert gb\vert = 0$, lo que significa que las dos distancias $\vert gh\vert$ y $\vert gb\vert$ son iguales.

Puntos de equilibrio

Tal recta divide a $C$ en dos partes : una que contiene a $p$ y la otra a $q$.
Denotaremos por $M(p)$ la parte que contiene a $p$ y $M(q)$ la que contiene a $q$. Las distancias desde $g$ al borde de $C$ son más pequeñas en el lado de $p$ que en el lado de $q$ : las rectas que pasan por $g$ intersecan a $M(p)$ en un segmento menor que en $M(q)$. Así, la imagen simétrica $M'$ de $M(p)$ con respecto al centro $g$ está contenida en $M(q)$, y la unión de $M(p)$ y $M'$ forma una parte $C'$ contenida completamente en $C$.

Simetría de centro g

La parte C′, unión de M(p) y M′, ha sido coloreada.

Dado que $g$ es el centro de simetría de $C '$, $g$ también es su centro de gravedad. Pero $g$ no puede ser el centro de gravedad de $C$, porque $C$ está formado por $C '$ y de una lúnula completamente ubicada a la derecha de la línea roja. El verdadero centro de gravedad de $C$ debe ubicarse un poco a la derecha de $g$ en la parte $M(q)$.

Esta contradicción muestra que una región plana convexa $C$ no puede tener solamente dos posiciones de equilibrio.