La Mona Lisa en el fotomatón

Piste bleue Le 5 mars 2013  - Ecrit par  Jean-Paul Delahaye
Le 22 février 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Mona Lisa au photomaton Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec Interstices


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Publicada inicialmente en la sección de Paradojas de la revista Accromath, luego en la revista Interstices, la paradoja propuesta es solamente gráfica.

Mire atentamente la serie de 9 imágenes A, B, C, D, E, F, G, H, I. Cada una ha sido obtenida a partir de la anterior, reduciendo el tamaño de la imagen a la mitad, lo que ha dado cuatro pedazos análogos que se han colocado en cuadrado para obtener una imagen con el mismo tamaño que la imagen original.
El número de pixeles ha sido exactamente conservado y, de hecho, sólo se ha desplazado cada uno de los pixeles (sin cambiarles el color). Se ha recortado la imagen inicial en paquetes cuadrados de cuatro pixeles (2x2). Luego, para cada paquete cuadrado de cuatro pixeles se ha utilizado el de arriba a la izquierda para la imagen reducida de la Mona Lisa de arriba a la izquierda, el de arriba a la derecha para la imagen de arriba a la derecha de la Mona Lisa, etc. Esta operación produce cuatro versiones reducidas de la Mona Lisa. Esta transformación se llama la ’’transformación del fotomatón’’. [1]

La imagen B lleva 4 Mona Lisas. La imagen C lleva 16. La imagen D lleva 64, etc. Se produce algo extraño, ya que al cabo de nueve etapas la imagen de la Mona Lisa reaparece. Precisemos que es la misma transformación que se ha utilizado para deducir las imágenes de la serie unas después de las otras (es un programa de computador realizado por Philippe Mathieu, quien hizo el trabajo cada vez).

¿Sabe usted explicar la paradoja gráfica de la reaparición de la imagen inicial ?

Solución

La solución es matemática y se aplicaría a toda transformación que desplace los pixeles de una imagen. Ya que los desplazamientos de imagen sólo son efectuados de una imagen a otra, esto significa que la transformación es lo que en matemáticas se llama ’’permutación de pixeles’’.

Denominemos $p$ a esta permutación. En el dibujo de arriba se tiene :
\[ B = p(A), \; C = p(p(A)), \; \text{etc}. \]
Se sabe que las permutaciones de un conjunto finito constituyen un grupo finito, lo que significa (entre otras cosas) que existe un entero $k$, tal que $p$ operado $k$ veces es la transformación identidad (es decir la operación que no cambia nada). Esto explica por qué se vuelve a la imagen inicial.

El resultado puede parecer un poco abstracto, pero en realidad es fácil : cuando uno efectúa modificaciones de orden muy precisas y las recomienza, se termina siempre por volver a su punto de partida. Aquí hay un ejemplo simple que hará comprender la idea.

En una lista de $5$ objetos : se cambia el primero y el tercero y, al mismo tiempo, se hace pasar al segundo a la posición $4$, aquél que está en la posición $4$ se pone en la posición $5$, y el que está en posición $5$ se lleva a la posición $2$ :
\[ abcde → ceabd. \]

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Si, partiendo de $abcde$, uno comienza sin cesar esta transformación, obtiene sucesivamente las distribuciones descritas en la ilustración de abajo. Uno ha vuelto al punto de partida en $6$ etapas.

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Con nuestros pixeles la situación era análoga, y por lo tanto estaba claro desde el comienzo que la imagen inicial reaparecería. Para justificar que reaparecería exactamente a la octava iteración (ni antes ni después), es necesario entrar en el detalle de la definición de la transformación del fotomatón.

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La imagen utilizada lleva $256$ líneas y $256$ columnas enumeradas de $0$ a $255.$ La transformación del fotomatón consiste en realizar la siguiente operación sobre los números de líneas : se toma las líneas de rango par y se hace seguir por aquéllas de número impar. Del mismo modo para los números de columnas. Esto explica la aparición de cuatro versiones más pequeñas que la imagen inicial. El pixel $(0, 0)$ se mantiene entonces en posición $(0, 0)$ ; el pixel $(1, 0)$ pasa a la posición $(128, 0)$ ; el pixel en la posición $(1, 1)$ pasa a la posición $(128, 128)$ ; el pixel en la posición $(4, 5)$ pasa a la posición $(2, 130),$ etc. (para un número par $2k$ se pasa a $k,$ y para un número impar $2k + 1$ se pasa a $128 + k$). El estudio de esta transformación no es muy difícil (puede también ser simulado por computador) y lleva al resultado que, en exactamente ocho etapas, cada pixel es devuelto a su lugar.

Para más detalles, vea la página web de Philippe Mathieu acerca de las transformaciones biyectivas de imágenes, así como dos artículos de la revista Pour la Science :

  • Images brouillées, images retrouvées (Imágenes separadas, imágenes reencontradas)
    PDF - 412.1 ko
    Images brouillées, images retrouvées
    Article de la revue Pour la Science (par J.-P. Delahaye et P. Mathieu).
  • Une scytale informatique (Una escítala informática)
    PDF - 1.3 Mo
    Une scytale informatique
    Article de la revue Pour la Science (par J.-P. Delahaye et P. Mathieu).

Agradecimientos

Una primera versión de este documento fue publicada en la revista « Accromath » realizada por el Instituto de Ciencias Matemáticas y el Centro de Investigaciones Matemáticas de Québec, Volumen 6, verano-otoño 2011 y Volumen 7, invierno primavera 2012.

Una segunda versión fue publicada en la revista Interstices.

Agradecemos al autor, Jean-Paul Delahaye, así como a las revistas Interstices y Accromath por habernos autorizado a reproducir este texto.

Post-scriptum :

La redacción de Images des maths, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seudónimos son janpol3 y scaccia.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1NdeT : fotomatón es el nombre comercial de un tipo de cabina para fotografías automáticas, pero ya ha sido aceptado por la Real Academia Española de la Lengua como genérico para este tipo de artefacto.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La Mona Lisa en el fotomatón » — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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