Pourquoi rester à l’étroit dans la troisième dimension ?

Préface de Valerio Vassallo, maître de conférences à l’Université Lille 1 et mathématicien en résidence à la Cité des Géométries

À l’école, on apprend d’abord la ligne droite à l’aide d’une règle ou en observant la trace du pli d’une feuille de papier. Au collège et au lycée, sont ensuite enseignés le plan et l’espace, qu’on comprend avec des images, comme un tableau noir ou une mer étale, une salle de classe ou un édifice. En quittant le lycée, on sait que la ligne droite est de dimension un, le plan de dimension deux et l’espace de dimension trois. Mais que cela signifie-t-il exactement ? Partons de l’exemple du plan pour comprendre. Pour repérer un point quelconque du plan, on sait qu’il suffit de fixer deux axes orthogonaux passant par un même point, appelé origine, auquel on attribue selon certains critères précis, deux nombres, les coordonnées cartésiennes. Au lycée, ces coordonnées sont la plupart du temps des nombres réels. Pour exprimer l’idée d’une manière imagée, on peut dire que, dans un plan, on a la liberté d’aller en avant et en arrière ou à gauche et à droite. Dans l’espace, si nous étions des êtres ailés, on pourrait également monter et descendre. Sur une droite, il est seulement possible d’aller en avant et en arrière. Ainsi, en mathématiques, on parle d’un degré de liberté sur la droite, de deux degrés dans le plan, de trois degrés dans l’espace.

L’espace de dimension trois, ou espace tridimensionnel, paraît familier, car on a tous la quasi-certitude d’évoluer dans un tel espace – c’est celui de notre vie quotidienne. Au lycée, il est rare de rencontrer des dimensions supérieures. Et pourtant la dimension quatre n’est rien d’autre que l’ensemble de tous les quadruplets de nombres réels. On la connaît aussi sous les noms d’« espace de dimension quatre » ou d’« espace quadridimensionnel ». Des lycéens l’ont rencontrée en cours de physique ou dans des films de science-fiction. En physique, cette dimension se révèle particulièrement utile lorsqu’on étudie la théorie de la relativité. Grâce à de nombreuses œuvres de vulgarisation abordant cette théorie, tout le monde connaît l’« espace-temps » de dimension quatre : il est formé de tous les quadruplets de nombres, dont trois pour les coordonnées d’un point de l’espace et un quatrième nombre pour le temps. Quoi qu’il en soit, la dimension quatre reste difficile à visualiser.

Cet ouvrage aidera le lecteur à se familiariser avec la dimension quatre. Pour comprendre l’origine des espaces de dimension quatre, ou plus, il suffit de parcourir l’histoire des sciences qui témoigne de la volonté des mathématiciens à passer sans cesse d’une dimension à une autre. Ces scientifiques ont également fait la démarche inverse, en représentant, par exemple, un édifice (en dimension trois) sur papier (en dimension deux), ou en réalisant des cartes géographiques à l’aide de projections cartographiques.

Parmi les objets les plus importants en mathématiques, il y a les polygones dans le plan (triangles, carrés, pentagones, hexagones...) et les polyèdres dans l’espace (tétraèdres, cubes, octaèdres...). Mais que deviennent-ils en dimension quatre, ou plus ? Pour répondre à cette question, il est utile et instructif de revenir aux dimensions connues et de comprendre comment ont été définis ces objets. Partons ainsi d’un objet simple : le cube. L’on sait, qu’une fois les sommets numérotés de 1 à 8, le cube peut être réduit dans le plan à six carrés (c’est le patron du cube), avec les périmètres identifiés convenablement, puis à un ensemble de douze segments, avec les extrêmes convenablement identifiés grâce aux nombres écrits à côté de chaque sommet. Et pourquoi donc ne pas s’inspirer de cette décomposition pour décrire tous les autres polyèdres dans l’espace tridimensionnel, voire dans l’espace quadridimensionnel ? Vient alors la question suivante : existe-t-il des polyèdres réguliers dans la dimension quatre et dans les suivantes ?

Dans l’espace de dimension quatre, l’analogue d’un cube s’appelle un hypercube. C’est l’un des premiers objets « simples » à partir duquel l’auteur du livre démarre une réflexion passionnante sur l’espace quadridimensionnel.

Nombreux sont les concepts mathématiques qui ont fait l’objet d’études en dimension quatre et plus : la distance entre deux points, les nœuds marins, les sphères... Cette liste de concepts, longue au-delà de toute imagination, a engendré autant de problèmes et de conjectures – l’une des plus célèbres, la conjecture de Poincaré fut résolue après un siècle de recherches par Grigori Perelman – et donné matière à penser à une foule de mathématiciens des quatre coins de la planète.

La dimension quatre est présente ailleurs que dans les mathématiques. On la retrouve en littérature – le roman le plus célèbre traitant du sujet est sûrement Flatland de E. A. Abbott ! –, dans les sciences occultes, en peinture ou en sculpture, mais également en architecture, au cinéma et en sujet de documentaires. L’imagination de l’homme, qui est sans borne, a encore une fois trouvé matière à se nourrir.

Extrait du livre

L’HYPERCUBE DANS L’ART

À̀ gauche, l’Arche de la Défense de Paris, un hypercube destiné à célébrer le bicentenaire de la Révolution française. À droite, le Monument de la Constitution (1979), à Madrid, conçu par l’architecte Miguel Ángel Ruiz Larrea, utilisant la projection en perspective d’un hypercube.

Les différentes représentations de l’hypercube, dont la projection en perspective, ont captivé les artistes depuis que la quatrième dimension a acquis un intérêt culturel. Architectes, peintres et sculpteurs en ont fait le thème central de bon nombre de leurs œuvres. Le monument à la Constitution, situé dans les jardins du musée des sciences naturelles de Madrid, est un exemple de sculpture utilisant la projection en perspective de l’hypercube. Réalisé en marbre blanc andalou, symbole de pureté, son cube extérieur, de 7,75 m d’arête, a les quatre faces latérales ouvertes. Sur chacune de ces faces, six marches mènent au cube central de sorte que l’on peut y accéder par les quatre points cardinaux, une allusion aux valeurs démocratiques. L’hypercube représente une réalité supérieure à notre espace tridimensionnel,
correspondant aux valeurs de la constitution : justice, liberté...
Nous pouvons trouver un exemple architectural de l’hypercube dans l’Arche de la Défense de Paris. Conçu par l’architecte danois Otto von Spreckelsen en 1989, cet impressionnant édifice de 110 m de côté, ayant la forme d’une projection en perspective d’un hypercube, abrite dans sa partie supérieure un centre de congrès et d’expositions, un musée de l’informatique et un belvédère tandis que des bureaux ministériels occupent les parties latérales.

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Sommaire du livre

Pour aller plus loin

• Flatland ( piste verte).

• Henri Poincaré, La notion d’espace (podcast)

• La dualité de Poincaré ( hors-piste ).

• Espaces courbes ( hors-piste ).