La Trisección del Cuadrado

Pista verde El 4 octubre 2011  - Escrito por  Serge Cantat
El 22 julio 2020  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : La Trisection du Carré Ver los comentarios
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Veremos cómo recortar un cuadrado para formar tres nuevos cuadrados idénticos.

Los tres protagonistas de la historia a continuación son Aboûl Wafâ, F. G. Frederickson y C. Blanvillain. Ellos se volcaron, en épocas diferentes, al siguiente problema:

La trisección del cuadrado.
¿Cómo recortar un cuadrado y luego reensamblar los pedazos obtenidos, con el fin de tener tres nuevos cuadrados idénticos entre ellos?

No se trata solamente de encontrar una solución simple y fácil de ejecutar en la práctica, sino también de encontrar una solución agradable a la vista. Consideraremos solo los recortes rectilíneos: las piezas de los puzzles así construidas serán, por lo tanto, polígonos. Así, será fácil recortarlas.

Antes de comenzar, digamos que el problema admite una respuesta simple si uno busca cortar el cuadrado no en tres sino en dos o cuatro cuadrados idénticos. Cuatro cuadrados se obtienen directamente con dos recortes paralelos a los lados pasando por el medio de estos. Para obtener dos cuadrados idénticos, basta con recortar el cuadrado inicial a lo largo de sus diagonales, y luego ensamblar los pedazos obtenidos por pares.

Aboûl Wafâ: figura de base

El primer plano de recorte que va a interesarnos al parecer se debe a Aboûl Wafâ y data de fines del siglo X. Se basa en una primera figura que será utilizada dos veces en este texto.

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Figure de base d’Aboûl Wafâ

Esta es la receta.

  • Partir de un cuadrado y marcar los puntos medios de sus cuatro lados. Denotar estos puntos $M_1$, $M_2$, $M_3$ y $M_4$ en el sentido inverso al de las agujas del reloj.
  • Con un compás, seleccionar la distancia de una semi-diagonal. Esta distancia es igual a aquella entre el centro del cuadrado y sus vértices (si el lado del cuadrado es igual a $L$, la apertura del compás es entonces igual a $L/\sqrt{2}$).
  • Trasladar ahora esta distancia, partiendo de cada vértice a lo largo de uno de los lados que le corresponde, girando de vértice en vértice en el sentido inverso al de las agujas de un reloj. Cada lado del cuadrado queda por lo tanto provisto de un ’’punto especial’’ $S_i$.
  • Unir los puntos como en la figura: girando en el sentido inverso al de las agujas de un reloj, se une el punto medio $M_i$ de cada lado con el punto especial $S_{i+1}$ del lado siguiente.

En el centro del cuadrado grande inicial aparece un cuadrado más pequeño. Resulta que el área de ese cuadrado pequeño es tres veces menor que el del grande.

Es a partir de esta figura que vamos a cortar nuestro cuadrado, con el fin de construir tres cuadrados iguales.

Aboûl Wafâ: trisección del cuadrado

Ante todo, modifiquemos el esquema anterior suprimiendo algunos segmentos. Obtenemos un dibujo que se parece al siguiente

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Étape intermédiaire
Etapa intermedia.

y que hace pensar deliciosamente en algunos decorados murales.

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Décor mural de la mosquée d’Ispahan (Iran, Xème siècle)
Decoración mural de la mezquita de Isfahán (Irán, siglo X).

Para continuar con la construcción, precisemos algunas notaciones directamente sobre la figura anterior: aparecieron cuatro puntos de intersección $I_1$, $I_2$, $I_3$ y $I_4$ , y los vértices $A_1$, $A_2$, $A_3$ y $A_4$ han sido numerados. Ahora se une $A_1$ con $I_1$, después $A_2$ con $I_2$, y así sucesivamente, y luego se colorea cada pieza, salvo el cuadrado central. Esto da la siguiente figura.

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Patron du découpage d’Aboûl Wafâ
Patrón del corte de Aboûl Wafâ.

Se recorta y... ¡milagro!

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Découpage effectué
Corte efectuado.
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Et trois carrés assemblés
Ensamblando tres cuadrados.

De ese modo, partiendo de un gran cuadrado inicial, obtenemos tres cuadrados idénticos, con un puzzle de nueve piezas poligonales y ocho tijeretazos.

G. N. Frederickson

El segundo corte que me gustaría presentar tiene una ventaja que aprecio muchísimo: algunas de las piezas pueden ser unidas entre sí mediante articulaciones, y cuando se las hace bailar unas alrededor de otras desplegando el móvil así construido, el puzzle pasa naturalmente de un cuadrado de una sola pieza a tres cuadrados idénticos.

Comencemos por describir el esquema. Retomando la figura inicial de Aboûl Wafâ, solo se conservan el gran cuadrado y su cuadrado central. Se prolongan entonces dos lados opuestos del pequeño cuadrado, lo que forma cuatro piezas alrededor del pequeño cuadrado. Las dos más grandes son recortadas a su turno.

Para esto, estudiemos el lado del cuadrado pequeño que fue prolongado y que se encuentra en la parte inferior izquierda de la figura. Este corta el gran lado izquierdo en su punto medio, es decir, en el punto denotado $M_2$ anteriormente. Tome el simétrico de $I_2$ en relación a $M_2$ y denótelo por $S_2$. Ahora, el punto de apoyo $N_2$ del trazo de corte está situado a una distancia de $S_2$ igual al lado del cuadrado pequeño. La dirección del trazo de corte es perpendicular al segmento que une $I_2$ con $I_3$.

Un recorte similar debe efectuarse en la parte superior derecha.

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Plan de coupe de Frederickson
Corte de Frederickson

Después de recortar siete piezas del puzzle, enganchemos ahora las piezas mediante pequeños ejes en los sitios indicados con cuatro flechas sobre la figura siguiente: hay que imaginar que el puzzle está hecho en madera gruesa, y que sus pedazos van a poder articularse alrededor de las uniones.

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Position des articulations

Hecho esto, ahora podemos desplegar la figura utilizando las articulaciones instaladas.

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Dépliage intermédiaire
Despliegue intermedio
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Et position finale
Posición final

Hay que notar que, con el fin de conservar un móvil de una sola pieza, dos trazos de recorte no han sido efectuados. El modelo propuesto por Frederickson ofrece por lo tanto también una trisección del cuadrado en tres cuadrados idénticos, con la ventaja de ser articulable una vez que las cuatro bisagras han sido convenientemente instaladas.

C. Blanvillain

Los cortes de Aboûl Wafâ y de G. N. Frederickson consisten respectivamente de nueve y siete piezas. Presentamos ahora la solución propuesta por C. Blanvillain, con solo seis piezas [1]. No es la única conocida, ya que Henry Perigal también presentó una en el siglo XIX, pero ésta es sin duda la más linda que conozco. Es muy reciente, ya que fue publicada el año 2010 (la de Frederickson, que data de fines del siglo XX, no es mucho más antigua).

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Les six pièces du puzzle de Blanvillain
Las seis piezas del corte de Blanvillain

El lector podrá encontrar por sí mismo cómo encajar convenientemente las piezas para obtener los tres cuadrados deseados. Es simple, una vez que se ha hecho el recorte.

Abajo se muestra cómo construir la figura. Primero, hay que cuidar que la orientación del cuadrado central no sea la de la figura de base de Aboûl Wafâ. Los dos segmentos de rectas que salen de cada vértice cortan el ángulo recto en tres ángulos iguales: ya que el ángulo recto corresponde a un cuarto de giro, los tres ángulos que aparecen en cada vértice valen un doceavo de vuelta (o sea, $\pi/6$).

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Construction à la règle du patron de Blanvilain
Construcción con regla del corte de Blanvillain

Estas cuatro veces dos (o sea ocho) rectas determinan la mayoría de los puntos necesarios para la figura. Quedan dos puntos por marcar, que aparecen durante una segunda etapa del dibujo: son los puntos de intersección de los segmentos punteados.

Dos preguntas

Además de su interés estético y, sin duda alguna, pedagógico, estos cortes ilustran el teorema de Wallace, Bolyai y Gerwien, según el cual dos figuras poligonales planas de igual área pueden ser siempre transformadas una en la otra mediante una secuencia de recorte y reensamblado.

El teorema no establece el número de pedazos mínimo necesario para efectuar tal recorte collage. Tampoco dice cómo obtener bonitos planos de corte para figuras simples. Por esto, aprovecho esta sección para plantear dos preguntas, la segunda voluntariamente un poco imprecisa: ¿Existe una trisección del cuadrado en solamente cinco piezas, es decir, una menos que la de Blanvillain?; ¿Existe una que sea articulable y que contenga menos de siete piezas?

Post-scriptum :

La redacción de Paisajes Matemáticos, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seudónimos son: Ulysse, Olivier, bruno_martin y Mohwali Awamar.

Notas

[1Vea el artículo ’’Square Trissection, Dissection of a square in three congruent partitions’’, de Christian Blanvillain y Janos Pach, publicado en el Bulletin d’Informatique Approfondie et Applications, volume 86 (2010), 7-17. Me inspiré ampliamente en él.

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La Trisección del Cuadrado» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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