La Verdad reside en el límite

El 6 noviembre 2019  - Escrito por  Antonio Durán
El 26 agosto 2020  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : La Vérité réside dans la limite Ver los comentarios
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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicada por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar, a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Fueron agregados prefacios y listas bibliográficas. Le Monde dedica un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección, presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.
Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Será acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

¡Revolución en la tierra como en el cielo!

Prefacio de Jérôme Buzzi, director de investigaciones en el CNRS

La ciencia moderna nació posiblemente hace 347 años en el pueblo de Woolsthorpe en Inglaterra: Newton inventó ahí una teoría que iba a revolucionar las matemáticas y trastornar la naturaleza misma de la física. Sus predecesores Kepler y Galileo dieron descripciones geométricas y numéricas de la caída de los cuerpos o de la órbita de los planetas. Ellos ya tenían la intuición, como lo dijo Galileo, de que la naturaleza es un libro escrito en un lenguaje matemático.
Newton identificó ese lenguaje: el cálculo infinitesimal. Esta teoría tiene como origen ciertos trabajos de Arquímedes que acababan entonces de ser redescubiertos. Fueron estudiados después de una interrupción de casi veinte siglos, y progresivamente comprendidos y luego sobrepasados. Cavalieri, Descartes o Fermat resolvieron así numerosos problemas geométricos de determinación de una tangente o de un área.

Pero los razonamientos geométricos, modelos de rigor desde Euclides, resultaban desadaptados. Les hacía falta un enfoque muy específico para cada problema. Como lo leeremos, poco a poco aparece un lenguaje más flexible y más adecuado. Se funda en dos elementos cruciales:

  • los famosos ’’infinitesimales’’, segmentos de recta infinitamente cortos o en número infinito en los cuales los matemáticos descomponen una curva o una superficie, y
  • la introducción de coordenadas que acercan esos problemas del álgebra reemplazando las curvas por funciones.

Veremos a Newton completar ese círculo de ideas. Redujo los problemas de tangente y luego de cuadratura a los cálculos de derivada y de integral utilizando su ’’teorema del binomio’’, el ’’teorema fundamental del análisis’’ y los descubrimientos de Wallis y Barrow. Bajo el nombre de ’’cálculo de fluxiones’’, Newton obtuvo una primera versión del cálculo infinitesimal. La laboriosa búsqueda geométrica pasó a ser una operación algebraica de rutina.

Desafortunadamente, Newton no publicó sus descubrimientos. Pronto, Leibniz descubrió su propia versión de ese cálculo, que él llamó ’’diferencial e integral’’. Leibniz fue bastante más pedagógico y difundió ampliamente la invención, dándole notaciones, utilizadas todavía actualmente, que la hacen casi automática. ¿Se trata de verdad de dos invenciones independientes? Leeremos cómo una triste lucha se entabló, sostenida por personajes de segundo orden y un nacionalismo exacerbado.

Descubriremos cómo el rigor de ese cálculo es igualmente controvertido.
Una demostración es entonces un razonamiento que no admite sino lo que es ’’evidente’’. Ahora bien, en materia de infinitesimales, no todo el mundo está de acuerdo acerca de la evidencia, y las justificaciones geométricas son delicadas e incluso dudosas. Es gracias a la intuición de los mejores matemáticos que el progreso de las matemáticas no se trabó durante más de un siglo. Las definiciones y construcciones precisas fueron formuladas recién en el siglo XIX bajo la presión del desarrollo del análisis y de la enseñanza.

El balance científico es extraordinario. Los problemas de tangente y de cuadratura pasaron a ser cálculos a llevar según un método uniforme. Pero los conceptos introducidos son mucho más importantes. La física y pronto casi todas las ciencias tienen un nuevo lenguaje y un nuevo enfoque hipotético-deductivo. Una potente rama de las matemáticas ha nacido: el análisis. Va a revolucionar hasta la aritmética, como lo ilustra el siguiente resultado:

La repartición de los números primos 2, 3, 5, 7, 11,… es todavía muy misteriosa en nuestros días. Es muy laborioso calcular el número exacto $P (n)$ de enteros primos más pequeños que un número dado n cuando este es muy grande. Pero la fórmula integral siguiente levanta una esquina del velo [1]:

\[ \int_2^n \frac{dt}{\ln t}\]

Para $n = 10^{15}$, da $29 844 571 475 286,535...$, mientras que el valor exacto de $P (10^{15})$ es $29 844 570 422 669$. El error relativo es extraordinariamente pequeño: menos de un décimo de millonésimo.

¡Un lugar ahora para el descubrimiento del Señor Newton!

[...]

PDF - 2.1 MB

Para profundizar más

Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor de prefacio del libro Jérôme Buzzi. Él responderá los eventuales comentarios.

Notas

[1Es el teorema de los números primos de Hadamard y La Vallée-Poussin. Se trata de la integral entre $t = 2$ y $t = n$ del inverso del logaritmo $ln \, t$, definido él mismo como teniendo por derivada $1 = t$ y tomando el valor $0$ en $t =1$.

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La Verdad reside en el límite» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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