Esta es nuestra abeja :

Ella quiere construir una casa de forma hexagonal en la cual pueda encajar perfectamente. Para esto, dispone de dos tipos de ’’ladrillos’’ :

¿Podrá hacerlo ?

Aclaremos el problema. La ’’casa’’ es un hexágono del tipo que se muestra a continuación (se supone que todos los hexágonos pequeños son del mismo tamaño, igual al de los hexágonos de los ladrillos y de la propia ’’abeja’’) :

El problema entonces consiste en rellenar estos grandes hexágonos sin superposición (la palabra precisa es ’’teselar’’) con piezas de estos dos tipos :

Esto debe ser ejecutado agregando una sola pieza (que representa a la abeja) de este tipo :

Obviamente, podemos girar las piezas para colocarlas de manera conveniente.

Observemos que la cantidad total de pequeños hexágonos de las ’’casas’’ es igual a 19, 31 y 61 [1]. Es esperable entonces construir la casa, pues
\[19 = 5 \times 3 + 4, \quad 31 = 9 \times3 + 4, \quad 61 = 19\times 3 + 4.\]
De hecho, no es difícil para la abeja construir las dos primeras casas y entrar en ellas. A continuación, se muestran algunas posibilidades :

Pero después de algunos intentos, se puede apreciar que hay problemas para la casa más grande (la de 69 hexágonos). Parece imposible para nuestra abeja construir dicha casa y caber en ella de manera perfecta...

Aquí aparece nuestro segundo personaje : la oruga de la izquierda. Ella también quiere construir una casa similar a la de la abeja y poder entrar. Sin embargo, uno se convence bastante rápido de que no puede hacerlo para las dos dimensiones más pequeñas (inténtelo varias veces y lo notará).

Pero por otro lado, ¡la oruga sí puede puede construir una casa grande y entrar en ella, como se muestra a la derecha !

¿Qué sucede ?

Y en el caso general de una casa hexagonal de tamaño arbitrario, ¿será la abeja o la oruga (o las dos, o ninguna) la que puede entrar ?

En fin, este problema forma parte de una infinidad de problemas sobre teselados del plano, algunos de los cuales ya hemos tratado en varios artículos de Paisajes Matemáticos : ver aquí, aquí o aquí. Además, en este artículo y en este otro se puede hallar discusiones semejantes, aunque más elaboradas, a la de nuestro problema.

En nuestro caso, se trata de un problema que puede ser resuelto con matemáticas elementales. Este tipo de problemas ha sido estudiado y trabajado por el equipo Maths à Modeler como situaciones de investigación en clase (SIRC), tal como aparece descrito en este artículo. Nuestro problema está, de hecho, inspirado en sus trabajos.

Un antiguo y bello argumento siempre muy útil

Comencemos con un problema aún más simple y conocido relacionado con los mosaicos por cuadrados :

¿Se puede llenar un tablero $8 \times 8$ al que se ha retirado dos casillas diagonalmente opuestas con piezas de tipo dominó ?

Después de algunos intentos, uno se convence de que es imposible. La prueba de esta imposibilidad usa un coloreado como el de un tablero de ajedrez. En efecto, cualquiera que sea la posición de una pieza de dominó sobra el tablero, ella usa un cuadrado blanco y uno negro. Sin embargo, dado que las dos casillas retiradas del tablero eran blancos, nos quedan 30 blancas y 32 negras. La imposibilidad se deduce inmediatamente.

Si intentamos aplicar un argumento similar para nuestros hexágonos, rápidamente nos damos cuenta de que no podemos colorear las casillas con dos colores de manera coherente. Tenemos que usar tres colores, y así vemos aparecer naturalmente los coloreados (en blanco, gris y negro) que se muestran a continuación :

Razonemos como lo hicimos arriba. Los dos ladrillos disponibles utilizan siempre una casilla de cada color, independientemente de su posición en el tablero hexagonal. He aquí algunos ejemplos :

La abeja también usa casillas de los tres colores, pero obviamente dos de las casillas usadas ​​tienen el mismo color (las de la cabeza y la cola).
Algunos ejemplos aparecen a continuación :

La oruga, en cambio, solo usa casillas de dos colores distintos (las casillas de la cabeza y el cuerpo tienen un color, mientras que las del cuello y la cola otro). Algunos ejemplos para ilustrar esto :

Miremos ahora las casas. La primera tiene 6 casillas blancas, 6 grises y 7 negras. Si usamos 5 ladrillos, cada uno cubre una casilla de cada color, por lo que queda 1 blanca, 1 gris y 2 negras. Por supuesto, esta configuración puede ser cubierta por la abeja (como se muestra arriba), pero no por la oruga. Es por esta razón que la oruga no cabe en la primera casa.

El caso de la segunda casa es similar : tiene 12 casillas blancas, 12 grises y 13 negras. El uso de 11 ladrillos nos deja al final 1 blanca, 1 gris y 2 negras, que es una configuración que puede ser llenada por la abeja, pero no por la oruga.

El caso de la tercera casa es diferente. Esta casa tiene 21 casillas blancas, 21 grises y 19 negras. Si usamos 19 ladrillos, tenemos al final 2 blancas, 2 grises y ninguna negra. Esta es una configuración que puede realizar la oruga (como se muestra arriba), pero nunca la abeja.

Dejamos a cargo tuyo entender el ’’caso general’’ de una casa hexagonal de tamaño arbitrario. Verás que las casas cuyo lado tiene una cantidad de hexágonos igual a 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, etc. son buenas para la abeja, y las que tienen 5, 8, 11, 14, etc. son buenas para la oruga.

Cuando el coloreado se vuelve ineficaz

El argumento del coloreo es muy simple y eficaz. Sin embargo, no permite discernir todas las situaciones, incluso algunas que son elementales. Esto fue mostrado por John Conway y Jeffrey Lagarias en [2], y luego retrabajado por William Thurston en [3]. Describamos sus ejemplos.

Primeramente, nos permitimos usar solo ladrillos del tipo de abajo (que podemos girar a voluntad) :

El objetivo es completar una configuración triangular como la de abajo.

Intente hacerlo y verá : es imposible.

Echemos un vistazo más de cerca. La cantidad de hexágonos en esta configuración es igual a $ n \, (n + 1) \, / \, 2 $, donde $ n $ es la cantidad de hexágonos en cada lado. Este número no es múltiplo de 3 para valores de $ n $ iguales a 4, 7, 10, 13, etc. Para estos valores, la imposibilidad de teselar con nuestros ladrillos se hace obvia. Pero para $ n $ igual a 5, 6, 8, 9, 11, 12, etc., la cantidad de hexágonos es un múltiplo de 3. Además, si contamos el número de casos blancos, grises y negros que están en la configuración, ¡vemos que son iguales !

El argumento del coloreado, por tanto, no permite probar la imposibilidad del teselado : debemos pasar argumentos matemáticamente mucho más sofisticados. Esto es lo que hicieron Conway y Lagarias mediante la teoría combinatoria de grupos, y luego lo retomado por Thurston con un enfoque más geométrico.

¿Qué pasa ahora si intentamos rellenar la misma configuración triangular pero con piezas del tipo de abajo adecuadamente giradas ?

Nuevamente, los casos en los que la configuración tiene una cantidad de hexágonos en su lado igual a 4, 7, 10, 13, etc. se descartan rápidamente. Para el resto de los casos, es decir 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, etc., tras algunos intentos encontramos configuraciones para 2, 9, 11, 12, como se ilustra a continuación.

De hecho, Conway y Lagarias probaron que, en general, tal teselado existe si y solo si $ n $ es congruente con 0, 2, 9 u 11 módulo 12. Nuevamente, se trara de una hermosa prueba para la cual recomendamos la lectura de las referencias originales.

Para concluir : ¿se pueden encontrar otras configuraciones para las que la existencia de teselados con diferentes tipos de piezas se convierte en un problema interesante ?

Para más diversión, recomendamos los tres maravillosos libros (en inglés) titulados Winning Ways for Your Mathematical Plays de Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway et Richard K. Guy, así como los trabajos (en francés) del equipo Maths à Modeler [4].