Construction

À la fin du XIX-ème siècle, la bande de Möbius, appelée aussi ruban de Möbius, était déjà un objet bien connu, du moins dans la communauté mathématique. En effet, voici comment Henri Poincaré décrivait sa construction en 1895 [1] :

Tout le monde connaît l’exemple de surface unilatère que l’on obtient en
ployant un rectangle de papier ABCD (dont les côtés opposés sont AB et CD d’une part, BC et DA d’autre part), et en collant ensuite ensemble les côtés AB et CD de façon que A soit collé avec C et B avec D.

Pour faire concrètement l’opération décrite par Poincaré, il est commode de découper selon la longueur dans une feuille de papier A4 un rectangle d’une largeur d’au plus 2 cm, les petits côtés étant AB et CD. Ensuite, on recourbe le rectangle en rapprochant les petits côtés, tout en le tordant afin de faire se
rapprocher le point A du point C et le point B du point D. Un peu de scotch finira le travail. Voici quelques étapes de ce processus de construction :

Suivons les instructions de Poincaré

Même si cela ne saute pas aux yeux, il y a des ambiguïtés dans la description
précédente. En effet, si on veut faire concrètement le recollement des côtés opposés AB et CD du rectangle de papier il faut, comme le dit Poincaré, « ployer ce rectangle ». Mais on peut le faire de bien des manières, en faisant subir aux extrémités plus ou moins de tours avant de les recoller :

Bande obtenue après rajout de tours supplémentaires

On peut aussi faire prendre à la bande une forme nouée, comme dans la figure suivante, dans laquelle la bande prend la forme d’un nœud de trèfle :

Une bande de Möbius nouée

Il y a donc bien des manières de réaliser concrètement une bande de Möbius. En fait une infinité, correspondant au choix de nœud et au choix du nombre de tours.

La surface abstraite et ses plongements

Pourtant, si on respecte les instructions de recollement données par Poincaré, on obtient à chaque fois la même bande vue en elle-même,
mais diversement incarnée dans l’espace - techniquement, on dit qu’elle est diversement plongée. Cette manière de concevoir les objets géométriques comme existant d’abord abstraitement, et en second lieu seulement comme vivant plongés dans un certain environnement, est fondamentale dans les mathématiques contemporaines. Elle est comparable à la manière de concevoir un individu, d’abord en temps qu’être indépendant, recelant un univers psychique interne et ensuite en temps que partie d’une société. Arrêtons-nous un moment pour expliquer les spécificités du point de vue mathématique.

Tout d’abord, qu’est-ce que regarder la bande en elle-même, c’est-à-dire abstraitement ? Comme ce dernier terme l’indique, cela signifie que l’on fait abstraction de l’espace environnant, en ne regardant que la structure interne de la bande. Par exemple, l’aire de la bande ne dépend que de la structure interne, car elle est égale à l’aire du rectangle de papier utilisé pour la construire, indépendamment de la manière dont on l’a ployé et noué afin de la fabriquer. De même, la longueur de son bord est une propriété interne.

Il y a là un point subtil : il s’agit bien de propriétés internes uniquement si on suppose que le rectangle utilisé pour la fabriquer est rigide pendant le processus de fabrication, comme c’est le cas en assez bonne approximation si on utilise un rectangle de papier. Mais supposons maintenant qu’un boulanger utilise un rectangle en pâte à pain pour fabriquer une bande de Möbius. Pendant le processus de fabrication, le rectangle en pâte est beaucoup moins rigide qu’un rectangle en papier. Si le boulanger décide de faire plusieurs bandes avec des rectangles initialement identiques, il ne réussira pas à faire des bandes rigoureusement identiques, à cause justement de ce manque de rigidité. Elles auront en général des aires différentes et des bords de longueur différente. Mais elles seront néanmoins identiques si on oublie la partie de la structure interne qui rigidifie la bande. Géométriquement, cette structure rigidifiante est en général convenablement modélisée par la règle de mesure des longueurs des courbes tracées sur la surface.

Si on retient par contre uniquement la manière dont est agencée la surface
à partir de morceaux très petits - en termes modernes, on dit que l’on retient uniquement sa structure topologique - alors toutes les bandes de Möbius sont homéomorphes. Ce qui veut dire que, si on a deux bandes de Möbius,
construites à partir de rectangles qui ont des tailles éventuellement différentes, tordues et nouées arbitrairement avant de recoller en respectant les instructions de Poincaré, alors il existe un homéomorphisme entre elles. Par définition, un homéomorphisme est une bijection qui préserve les relations de proximité entre les points, c’est-à-dire qui est continue, ainsi que son inverse. Ceci est la manière précise de dire que toutes les bandes de Möbius sont identiques du point de vue topologique. Pour cette raison, dans la suite nous nous concentrerons sur les propriétés topologiques des bandes de Möbius.

Nous avons touché ici un aspect fondamental de la liberté du mathématicien : il peut décider quelles sont les propriétés des objets dont il fait abstraction, ce qui lui permet de mieux cibler d’autres propriétés, cachées par les premières. De même, la richesse du ciel étoilé ne se dévoile que lorsqu’à la tombée de la nuit on réussit à faire abstraction du soleil.

Propriétés internes et relations avec l’environnement

Une première propriété topologique de la bande vue en elle-même est que son bord est composé d’un seul morceau - techniquement, on dit qu’il est connexe. En effet, il suffit de regarder les figures précédentes pour se convaincre que, si on se déplace le long du bord toujours dans le même sens, on revient au point de départ en l’ayant parcouru complètement. Par cette propriété, la bande de Möbius contraste déjà fortement avec les surfaces cylindriques obtenues en recollant les côtés opposés d’un rectangle sans « ployer » qui, elles, ont un bord composé de deux morceaux.

On peut prendre ensuite un feutre et se mettre à la colorier de proche en proche, sans jamais passer par-dessus le bord. On constate que, lorsque l’on revient au point de départ, toute la bande est coloriée, y compris la face
opposée à la face de départ ! On voit donc que la bande n’a qu’une seule face. Et pourtant, nous venons de parler de face opposée à la face de
départ ! Y aurait-il une contradiction quelque part ?

Le problème vient de l’emploi automatique, rodé par nos vies quotidiennes, de la notion de face. Penchons-nous de manière plus attentive dessus.
Il s’agit là d’un attribut qui n’est pas interne à la bande, mais qui reflète sa relation avec son environnement. Pour bien comprendre de quoi il s’agit, prenons un exemple analogue en dimension plus petite. Considérons un segment de droite $D$ situé dans un rectangle plan $P$, se trouvant lui-même dans l’espace, que l’on notera $E$. Si l’on regarde le segment $D$ en tant que partie du rectangle $P$, il a bien deux côtés, qui sont les deux parties du rectangle que l’on obtiendrait si on découpait ce dernier suivant $D$. Mais si on fait abstraction du rectangle et que l’on regarde $D$ en tant que partie de l’espace $E$, il n’a plus de côtés ! On peut tourner autour de lui de manière continue, et s’en approcher par exemple suivant tous les demi-plans qui le contiennent dans leur bord. Le segment aurait ainsi une infinité de côtés, cette infinité ayant elle-même la forme d’un cercle. En effet, si on considère un cercle centré en un point de $D$ et contenu dans un plan perpendiculaire à $D$, chacun des demi-plans précédents passe par un unique point du cercle et par chaque point du cercle passe un tel demi-plan.

Un segment dans l’espace a une infinité circulaire de côtés

A fortiori, le segment de droite en lui-même n’a point de côtés ! Un être unidimensionnel qui vivrait dans ce segment, sans aucune information sur un éventuel espace qui environnerait celui-ci, n’aurait aucun moyen de choisir une manière de sortir d’un côté plutôt que d’un autre. La situation
analogue en dimension deux a été explorée dans le roman fantastique « Flatland » qu’Edwin A. Abbott publia en 1884 : y
sont présentées des aventures d’êtres géométriques doués de raison
et vivant, eux, dans un plan.

En augmentant encore la dimension de un, nous n’avons aucune manière de décider de sortir de notre espace de dimension 3 vers un espace de dimension 4 d’un côté ou d’un autre. Pour cette raison, nous ne pouvons pas parler de faces de notre espace. Par contre, lorsque l’on apprend à penser géométriquement à l’espace-temps de dimension 4, l’espace à un moment donné (dans un référentiel permettant de séparer l’espace du temps) se visualise comme une tranche ayant deux faces, celle dirigée vers le passé et celle dirigée vers le futur.

Revenons à notre bande de Möbius. Supposons qu’elle ait été réalisée
dans l’espace de l’une des manières indiquées précédemment.
Si on imagine un être ponctuel - ce qui est une abstraction de plus, bien sûr, analogue à celle des masses ponctuelles en physique - qui ne voit qu’à très courte distance, comparé aux dimensions de la bande - de la même manière que nous voyons à courte distance, comparé à la taille de la Terre - il va détecter deux faces de celle-ci. En effet, il verra que la bande découpe en
deux morceaux la région de l’espace qui lui est potentiellement visible, s’il regardait dans tous les sens, région qui est une boule centrée sur lui. Il dira que chacun de ces morceaux est une face de la bande, et il pourra
dire que l’une de ces faces est en haut, et que l’autre est en bas,
ou bien que l’une est à droite et l’autre à gauche. Des problèmes surviennent lorsque cet être se met à voyager. Il peut alors transporter avec lui par continuité son choix d’appellation des faces. Mais s’il fait un tour complet, au moment où il revient au point de départ il constate que les deux appellations ont été échangées ! Si l’on suit cet être imaginaire avec notre feutre, en commençant à déposer de la couleur sur la face qu’il a appelée en haut, lorsque l’être est revenu a son point de départ on se retrouve en train de colorier la face initialement appelée en bas. Cela explique pourquoi en avançant seulement de proche en proche, on parvient finalement à colorier toute la bande.

Maintenant, regardons la bande de Möbius abstraitement.
Cela n’a alors plus de sens de parler de faces. Pourtant une propriété spéciale peut être détectée par un être bidimensionnel qui vivrait et ne ferait des expériences qu’à l’intérieur de la bande. Afin de comprendre cela, il sera commode d’imaginer la bande transparente, et parcourue
par une ligne circulaire qui est en quelque sorte le cœur de la bande.
Notre être bidimensionnel, qui vit non pas sur une face ou l’autre mais bien dans la bande, choisirait de se déplacer le long de cette ligne,
en allant toujours dans le même sens. Au départ, il aurait décidé quel est
son côté droit et quel est son côté gauche - dans la bande
bien sûr. Mais lorsqu’il reviendrait au point de départ, il
constaterait que sa gauche et sa droite ont été échangées - c’est peut-être
là que se trouve la solution du mystère des retournements de veste
en politique : certaines personnes voyageraient sans que l’on s’en doute
le long de bandes de Möbius - comme sur la figure suivante,
dans laquelle le côté gauche a été représenté en rose, le côté
droit en bleu, et la position de départ de l’être bidimensionnel
comme un petit disque vert :

Échange de côtés

Il s’agit en fait d’une expérience semblable à celle faite
précédemment pour mettre en évidence la relation entre la bande et
l’espace qui l’entoure. Cette fois-ci, on met en évidence la relation
entre le cœur et la bande, cette dernière jouant le rôle d’espace ambiant
pour le cœur.

Et voilà, nous sommes arrivés à une propriété interne :
il n’y a pas moyen de choisir de manière continue
un sens des termes « droite » et « gauche » partout dans la bande lorsqu’on se déplace le long du cœur. On dit alors que
la bande de Möbius n’est pas orientable.

Qu’obtient-on en découpant ?

On vient de voir que, en marchant le long du cœur de la bande et
en revenant au point de départ après un tour complet, on échange
les côtés droit et gauche. Prenons maintenant des
ciseaux, et découpons la bande le long du cœur. On constate
que l’on obtient une nouvelle bande en un seul morceau (ou
connexe) :

Découpage le long du cœur

Le bord de cette nouvelle bande a deux composantes, l’une provenant du
bord de la bande initiale, et la deuxième étant créée par le découpage.
Ce n’est donc plus une bande de Möbius !
En fait c’est ce que l’on appelle un cylindre,
une surface ayant la même forme topologiquement qu’un
cylindre circulaire droit usuel : les deux sont homéomorphes. Mais comme
le montre l’expérience, illustrée dans la figure précédente,
ce cylindre est situé de manière tordue dans l’espace.

Il est intéressant de faire la même
expérience de découpage a partir d’une bande de Möbius située de
manière différente dans l’espace. Par exemple, si on part de celle
représentée dans la deuxième illustration de cet article, on obtient
un cylindre situé de manière nouée dans l’espace, le nœud étant du
même type que celui de la bande de Möbius représentée dans la troisième
illustration :

Découpage d’une bande plus tordue

Plutôt que de découper la bande le long du cœur, on peut aussi
la découper le long d’une ligne qui longe le cœur sans jamais
l’intersecter. On obtient alors deux nouvelles bandes, dont
l’une est encore de Möbius (celle qui contient le cœur de la bande
initiale) et l’autre est cylindrique (celle qui contient le bord de
la bande initiale). Mais ce qui est surprenant au premier
abord est que ces deux bandes, en plus d’être individuellement
tordues, s’enlacent aussi entre elles !

Découpage menant à une bande de Möbius et à un cylindre enlacés

Il est amusant de faire la même chose avec des bandes de
Möbius situées différemment dans l’espace, et de comparer les
résultats. Essayez !

On trouvera des photos de bandes de Möbius et des surfaces obtenues en les découpant de diverses manières aux pages 270-274
du livre « Mathématiques en instantanés » de Hugo Steinhaus, paru chez Flammarion en 1964, et dont j’ai déjà parlé dans le billet
« Hexagones et démocratie », paru sur ce site.

La bande est chez Möbius une obstruction à mesurer le volume

Voyons à présent comment la bande intervint dans les réflexions
de Möbius. August Ferdinand Möbius (1790-1868)
fut un élève de Johann Carl Friedrich Gauss. On trouvera des détails sur sa vie et son œuvre dans le livre « Möbius and his band. Mathematics and astronomy in nineteenth-century Germany » [2], ainsi que sur la page rédigée par O’Connor et Robertson sur le site Mac Tutor History of Mathematics Archive.
En ce qui concerne les travaux examinés ici, je me suis
servi principalement de ce qui est décrit dans le livre
« La topologie algébrique des origines à Poincaré » de
Jean-Claude Pont [3] et dans le livre « Elementary mathematics from an advanced standpoint. Geometry » de Felix Klein [4].

Möbius publia une description de la bande qui porte son nom dans
un article paru en 1865 [5].
Dans cet article il examinait la question de savoir comment attribuer
une mesure de volume à un polyèdre dont les faces se recoupent
entre elles. Il cherchait ainsi à étendre en dimension 3 la théorie
qu’il avait développée une trentaine d’années auparavant pour la
mesure des aires des polygones plans, dont les arêtes peuvent se
recouper [6]. Examinons
d’abord cette première théorie.

Considérons une ligne polygonale fermée dans le plan, de sommets
consécutifs $A_1, A_2, ..., A_n$. Si elle ne se recoupe pas elle-même,
alors il est clair intuitivement qu’elle renferme une certaine aire,
que l’on peut mesurer en décomposant d’abord l’intérieur du polygone
en triangles, comme sur la figure suivante, puis en faisant la somme
des aires de ceux-ci.

Triangulation d’un polygone

La question que se posa Möbius fut de savoir comment étendre
cette définition au cas où le polygone se recoupe lui-même, comme
sur la figure suivante (que l’on trouve dans son travail, et qui est
reprise à la page 104 du livre de Pont) :

Polygone se recoupant lui-même

On ne peut visiblement plus parler de l’intérieur du polygone, donc
on ne peut plus parler non plus de décomposer celui-ci en triangles.
Möbius comprit que l’on pouvait néanmoins élaborer une théorie
algébrique de l’aire, c’est-à-dire une théorie qui attribue une
mesure d’aire avec signe, pourvu que l’on oriente à la fois le
polygone et le plan dans lequel il se trouve. Orienter le polygone
signifie choisir l’un des deux sens possibles de parcours de ses côtés.
En fait on a effectué un tel choix dès que les sommets ont été
numérotés consécutivement. Orienter le plan signifie choisir un sens de rotation autour de chaque point du plan, ce choix variant continûment lorsque l’on varie le point. Un tel choix est possible : à la différence de la bande de Möbius, le plan est orientable.

Maintenant, si $A,B,C$ sont les sommets d’un triangle dans le plan,
notons par $ABC$ l’aire du triangle, comptée positivement si
l’orientation choisie pour le triangle coïncide avec l’orientation choisie
dans le plan, et négativement dans le cas contraire. La valeur absolue
de l’aire est la valeur classique, égale au demi-produit d’un côté et
de la hauteur correspondante. On dit que le nombre réel défini ainsi
est l’aire algébrique du triangle.

Choisissons à présent un point quelconque $P$ dans le plan
et considérons la somme suivante d’aires algébriques des
triangles obtenus en le joignant aux sommets du polygone :

\[PA_1 A_2 + PA_2 A_3 + \cdots + PA_n A_1.\]

Möbius démontre que cette somme ne dépend pas du choix
du point $P$.

Démontrons-le aussi. Prenons un deuxième
point $Q$ dans le plan. Alors, pour toute paire de points
$A$ et $B$, on a l’égalité fondamentale :
\[PAB -QAB= PAQ - PBQ.\]
Celle-ci peut se démontrer par exemple géométriquement
en analysant les positions possibles, ou algébriquement,
en exprimant l’aire algébrique d’un triangle en termes
des coordonnées cartésiennes de ses sommets [7].
Grâce à cette égalité fondamentale, on obtient :
\[\begin{array}{c} (PA_1 A_2 + PA_2 A_3 + \cdots + PA_n A_1) - (QA_1 A_2 + QA_2 A_3 + \cdots + QA_n A_1)= \\ = (PA_1 A_2 - QA_1 A_2) + (PA_2 A_3 - QA_2 A_3) + \cdots + (PA_n A_1 - QA_n A_1) = \\ = (PA_1Q - PA_2 Q) + (PA_2 Q - PA_3 Q) + \cdots + (PA_n Q - PA_1 Q) =0. \end{array}\]

On peut donc appeler cette somme
l’aire algébrique du polygone, car dans le cas où ce dernier est convexe
et que le point $P$ lui est intérieur, on retrouve évidemment
la notion classique d’aire, mais désormais pourvue d’un signe. Avec
cette définition, un polygone ayant la forme du symbole de l’infini,
et symétrique par rapport à son centre, est d’aire nulle,
et ceci avec n’importe quel
choix d’orientations de la courbe et du plan :

L’aire de l’infini est nulle !

Dans son article de 1865, Möbius se pose le problème
de définir une notion analogue de volume algébrique
renfermé par les polyèdres pouvant se recouper eux-mêmes.
Selon la définition donnée par Möbius, reprise
à la page 103 du livre de Pont :

[...] un polyèdre sera défini comme un système de polygones de
l’espace, unis entre eux de telle sorte que chaque arête appartienne
à deux, et à deux surfaces seulement.

Son idée est alors de faire la même chose que pour les polygones :
de prendre un point quelconque $P$ dans l’espace, et de considérer la
somme des volumes des pyramides ayant $P$ comme sommet et
les faces du polyèdre comme bases. Bien sûr, le point-clé est
d’attribuer des signes cohérents à ces volumes. Ici la situation est
compliquée par le fait que les bases des pyramides peuvent être
des polygones se recoupant eux-mêmes. Mais comme le problème-clé,
menant tout droit à la bande tordue, n’a rien à voir avec la forme
de ces bases, nous allons supposer que toutes les faces du polyèdre sont
des triangles.

Dans le cas des polygones, lorsque l’on écrivait la somme
$PA_1 A_2 + PA_2 A_3 + \cdots + PA_n A_1$, le point essentiel
était que chaque sommet apparaissait une fois comme
sommet de départ d’un segment et une fois comme
sommet d’arrivée d’un autre segment. Dans l’espace c’est pareil :
la somme des volumes des pyramides $PABC$,
où $ABC$ parcourt les faces du polyèdre, est indépendante
du choix du point $P$, pourvu que l’on puisse orienter les faces
de telle manière que chaque arête apparaisse une fois parcourue
positivement et une fois parcourue négativement.

Cela entraine que, si l’on a choisi l’une des deux orientations
possibles pour une face, alors on a une unique manière d’orienter
les faces voisines (ayant une arête en commun avec elle) pour
que la règle précédente soit respectée. Ainsi, de proche en proche,
on oriente toutes les faces du polyèdre. Toutes ? Non, car il
est possible qu’en passant de face en face voisine, on retourne à
la face de départ avec l’orientation changée ! Dans ce cas,
l’union des triangles ainsi parcourus est une bande de Möbius, se
recoupant éventuellement elle-même !
Dans la figure suivante, on voit un exemple de telle bande obtenue
à partir de cinq triangles :

Une bande de Möbius polyédrique

Pour la compléter en un polyèdre sans bord, on peut considérer un
point supplémentaire $S$, et rajouter comme faces les triangles
de sommet $S$ et de base les côtés latéraux de la bande. Au sujet
de ce polyèdre, qui se recoupe bien lui-même, Möbius écrit (la traduction française provient de la page 107 du livre de Pont) :

La particularité de la structure du polyèdre que nous venons
de construire est mise en évidence par le fait suivant : on peut
parcourir la surface de ce polyèdre de telle façon qu’après avoir effectué
un tour complet, on se retrouve de l’autre côté de la surface, sans
que le chemin suivi ne perce aucune des faces empruntées.

Möbius appelle zone une telle bande de triangles le long de
laquelle on revient en inversant l’orientation de départ.
Voici comment il explique dans la section 11 de son article
une méthode de fabrication d’une telle bande qui allait porter son nom,
et qui est exactement la méthode qu’allait rappeler Poincaré
(la traduction française provient de la page 108 du livre de Pont) :

On peut se faire une idée très claire de la grande diversité des zones
de ce genre à l’aide d’une feuille de papier coupée en forme de
rectangle $ABB'A'$. Plions d’abord cette feuille de façon que $AB$
reste constamment parallèle à lui-même, jusqu’à ce que $A$ se confonde
avec $A'$ et $B$ avec $B'$ ; on obtient une zone à deux côtés ayant comme
frontière les arêtes circulaires $AA'$ et $BB'$. En second lieu, on amène
$A$ en coïncidence avec $B'$ et $B$ avec $A'$ en tenant le segment
$AB$ fixe et en faisant subir à $A'B'$ une rotation de $180$ degrés.
Cette surface a une seule frontière et un seul côté, car on peut la
peindre entièrement sans traverser la frontière.

On voit donc que la bande apparaît chez Möbius comme obstruction
à définir le volume algébrique d’un polyèdre :
on peut orienter de manière continue ses faces et donc
définir un tel volume si et seulement si le
polyèdre ne contient pas de bande de Möbius,
se recoupant éventuellement elle-même.

Les résultats précédents avaient d’abord été présentés par Möbius
dans un mémoire écrit pour le Grand Prix organisé par l’Académie des Sciences de Paris de 1861. Ils faisaient partie de la deuxième moitié
du mémoire. La première moitié traitait de la classification des
surfaces de l’espace euclidien qui ne se recoupent pas elles-mêmes,
et qui de plus n’ont pas de bord. Comme on verra plus loin, de telles
surfaces ne peuvent pas contenir de bande de Möbius. Ce qui est
fondamental afin d’aborder cette classification est de décider quand
deux surfaces sont considérées égales. C’est là que Möbius
introduit ce qui allait devenir la relation d’homéomorphisme, sous
le nom de « corrélation élémentaire ». Voici comment il définit cela
dans l’article écrit à partir de cette première moitié du
mémoire [8] :

Deux figures seront dites en corrélation élémentaire, lorsqu’à
tout élément infiniment petit de l’une correspond un élément
infiniment petit de l’autre, de telle manière qu’à deux éléments qui
se touchent dans la première correspondent deux éléments qui
se touchent dans la seconde ; ou aussi : deux figures sont en
corrélation élémentaire, lorsqu’à tout point de l’une correspond
un point de l’autre, de telle manière qu’à deux points infiniment
voisins correspondent toujours deux points infiniment voisins.
Dès lors, une ligne ne peut être en corrélation élémentaire
qu’avec une ligne, une surface avec une surface et un corps
spatial avec un corps spatial.

La notion d’homéomorphisme allait être formulée différemment
au début du XX-ème siècle, à l’aide de la notion assez compliquée
au premier abord d’ensemble muni d’une topologie, à cause des difficultés à trouver un fondement théorique pour l’intuition de points infiniment voisins. Mais dans les explications de la notion d’homéomorphisme
données au début de cet article j’ai essayé de rester proche
de la définition précédente de Möbius.

Comment la bande apparut chez Listing

Johann Benedikt Listing (1808-1882) était aussi un élève de Gauss. Pour des détails sur sa vie
et son œuvre, on pourra lire la page rédigée par O’Connor et Robertson sur le site Mac Tutor History of Mathematics Archive, la notice nécrologique écrite par
Peter Guthrie Tait [9], l’article de Breitenberger [10]
ainsi que le Chapitre I de la deuxième partie du livre de Pont cité
précédemment.

Listing avait publié dès 1862 une illustration de « la bande que tout
le monde connaît » [11]. L’image suivante,
contenant l’illustration originale de Listing ainsi que le paragraphe
qui y fait référence, est extraite de la page 48 du livre de Pont :

La bande de Listing et une compagne

Le travail duquel provient la figure précédente se propose
d’étudier « topologiquement » les « complexes spatiaux ».
Voici comment Listing définit ces derniers, la traduction
provenant de la page 46 du livre de Pont :

Par complexe spatial, nous entendrons toute configuration de points,
lignes et surfaces dans l’espace ; les lignes et les surfaces pouvant
à volonté être droites ou courbes, ouvertes ou fermées, limitées ou
illimitées. On demandera toutefois qu’elles soient d’un seul tenant,
sans quoi on comptera autant de complexes qu’il y aura de configurations
distinctes. Nous prendrons également en considération le complexe
ne contenant aucun élément.

Quant au fait qu’il s’agit de faire une étude topologique, c’est-à-dire
indépendante des considérations de mesures de distances ou d’aires,
c’est un point essentiel du travail de Listing. En fait c’est lui qui créa
le terme de « topologie » vers 1836, pour un domaine de recherche mathématique dont il se considérait
l’un des pionniers. Voici en effet comment il en parle dans une lettre
datée du premier avril 1836, et adressée à son ancien professeur
Müller [12] :

Leibniz est probablement le premier à avoir pensé, mais seulement à avoir
pensé, à son développement théorique ; depuis cet auteur, plus rien n’a
été fait dans cette direction. Le champ semblait trop vaste, les difficultés
trop grandes et la langue trop pauvre. C’est Gauss qui m’incita à m’occuper
de ce domaine, lors de mes nombreux travaux pratiques à l’observatoire
de Göttingen. Leibniz définissait cette science comme l’étude de la connexion
et des lois de la situation réciproque des corps dans l’espace,
indépendamment des rapports de grandeur, qui ressortissent à la géométrie ;
il lui donna le nom d’analysis situs. Comme cependant le terme de
géométrie ne peut décemment caractériser une science d’où les
notions de mesure et d’extension sont exclues, comme en outre on a déjà
attribué la dénomination géométrie de position à une autre discipline,
et comme, finalement, notre science n’existe pas encore, je me servirai
du nom, convenable me semble-t-il, de topologie. [...] Une définition de la
topologie pourrait être : étude des lois qualitatives des relations de lieu.
Cette science est susceptible, j’en ai la conviction profonde, d’une
méthode de recherche exacte.

Listing est le premier auteur d’un traité de topologie, paru en 1847
sous le titre « Vorstudien zur Topologie » [13], et dont on pourra voir des extraits sur ce site. Voici comment il y
précise la définition du domaine de recherche pour lequel
il avait créé un nom (la traduction française provient de la page 44
du livre de Pont) :

Par topologie, nous entendrons donc l’étude des aspects qualitatifs
des formes spatiales ou des lois de la connexion, de la position mutuelle
ou de l’ordre des points, droites, surfaces, corps ainsi que de leurs
parties ou de leurs réunions, abstraction faite de leurs rapports de
mesure et de grandeur.

Listing était en fait un prolifique inventeur
de néologismes, dont quelques autres sont parvenus jusqu’à nous :
« phénomènes entoptiques »,
« points nodaux »,
« géoïde »,
« micron » [14].

Si dans les années 1830, Listing proposait le nom de « topologie »
pour un domaine de recherche mathématique à venir,
depuis, ce domaine a subi un développement
exceptionnel, et il se retrouve au cœur de toute réflexion
géométrique moderne. On a appris en particulier à donner un sens
précis au nombre de tours d’une bande,
au nombre d’enlacement de deux nœuds et à trouver des critères
permettant de dire qu’un nœud ne peut pas se déformer en un autre.
Si Listing énonçait déjà ces questions
comme devant être abordées par la topologie, remarquons que l’on
n’a toujours pas de critère complet permettant de décider si,
deux surfaces étant données dans l’espace, on peut
déformer l’une dans l’autre - en termes techniques, on demande
de déterminer si elles sont ou non isotopes.

Quant aux termes « analysis situs » et « topologie », ils ont été en concurrence pour désigner ce nouveau domaine des mathématiques jusque vers 1930. Désormais, le premier se rencontre uniquement dans les
musées de la pensée. Il semble que l’acceptation universelle du second
terme date du succès du livre « Topology » de Solomon Lefschetz,
paru en 1930. Que Lefschetz aussi ait hésité entre les deux termes
peut se déduire du fait qu’en 1924 il publiait un livre intitulé par contre
« L’Analysis Situs et la géométrie algébrique ».

Listing, Möbius ou Gauss ?

Comme on l’a vu, Listing publia un article contenant
une image de la bande en 1862 et Möbius publia en 1865
un article exhibant celle-ci comme obstruction à définir
le volume algébrique d’un polyèdre. Mais on a retrouvé des références à la
bande dans les papiers de Listing et de Möbius remontant à 1858.
Voici ce que dit Pont à ce sujet, à la page 109 de son livre :

On trouve dans les manuscrits de Listing, sur une feuille
détachée du 24 juillet 1858, le croquis et la description de la
surface que l’on appelle aujourd’hui le ruban de Möbius. Cette
figure est reprise dans son article de 1862 [...] Dans les
ébauches du travail que Möbius effectuait en vue du Grand Prix,
C. Reinhardt a retrouvé, sur un papier daté de septembre 1858,
l’indication de la découverte des polyèdres à un côté et de la
surface qui nous occupe. [...] un fait d’apparence secondaire
permet d’imaginer l’existence d’une influence extérieure
expliquant, en partie du moins, cette coïncidence. On trouve,
tant dans les manuscrits de Listing que dans le « Census »,
le croquis d’une surface [celle représentée dans la figure de
droite de la photo que nous avons reproduite plus haut]
inusitée jusqu’alors en mathématiques [15]
[...] Or on peut voir cette même surface dans les papiers de Möbius
[...] S’agit-il d’une coïncidence ? Vraisemblablement pas, car Möbius
ajoute : « D’après une communication orale de Gauss ; j’ignore
comment Gauss a été amené à considérer cette surface. »

Peut-être que Gauss montra aussi la bande à une seule face
à ses deux anciens élèves, Listing et Möbius.
Pour le moment, aucun document ne nous permet
de savoir ce qu’il leur a dit à son sujet, ni quelles
pistes de recherche il leur a éventuellement suggérées.
En tout cas, comme nous venons de le voir,
chez chacun des deux elle a nourri des réflexions
différentes.

Depuis, la bande que « tout le monde connaît » fait
partie de la panoplie imaginaire de tous les amoureux de
géométrie, comme exemple simple mais significatif de bien
des concepts essentiels. On verra quelques exemples de ce type
dans la dernière section de cet article. Mais auparavant,
parlons un peu plus du bord de la bande.

Il n’existe pas dans l’espace de surfaces sans bord et non-orientables

Nous avons appris à voir dans la bande de Möbius une surface
abstraite non-orientable, pouvant s’incarner de diverses
manières dans l’espace usuel. Nous allons
comprendre maintenant que ceci est possible grâce à son bord.
En effet, nous allons expliquer pourquoi toute surface sans bord
située dans l’espace (sans auto-intersections) est nécessairement
orientable.

Nous considérerons uniquement le cas d’une surface lisse,
c’est-à-dire qui admet en chaque point un plan tangent,
variant continûment lorsqu’on varie le point continûment.
Nous faisons cette hypothèse afin de simplifier l’explication, le
cheminement de la preuve pouvant être légèrement
modifié pour que celle-ci s’applique aussi aux surfaces
dont les plans tangents subiraient des changements brusques
de direction (par exemple les polyèdres sans auto-intersections).

Raisonnons par l’absurde. Supposons que $S$ est une surface
située dans l’espace tridimensionnel usuel, sans bord, ne se recoupant
pas elle-même, mais étant non-orientable. Il existe donc un chemin circulaire $C$ situé entièrement dans $S$, et tel que si on le suit, on renverse l’orientation de départ. Une zone étroite sur la surface entourant ce chemin est alors une bande de Möbius ! Imaginons maintenant un personnage tridimensionnel qui marche le long de $C$, de telle manière qu’à chaque moment il soit perpendiculaire à la surface au point d’appui. En fait il s’agit d’un personnage stylisé à l’extrême, à la Giacometti : il est réduit à un segment perpendiculaire à $S$ en un point de $C$. De plus, choisissons la longueur du segment si petite qu’en chaque point de $C$ il n’intersecte $S$ qu’en son point d’appui.

Regardons alors la courbe $C'$ tracée par l’extrémité du segment ne se trouvant pas sur $C$, lorsque le personnage fait un tour complet le long de $C$. Il s’agit d’un arc qui ne recoupe à aucun moment la surface $S$. Mais ses extrémités $A$ et $B$ sont situées d’un côté et de l’autre de $S$, au voisinage du point de départ $O$. C’est une conséquence du fait que
l’orientation de la surface est changée lorsque l’on
se déplace le long de $C$, mais pas l’orientation de l’espace ambiant.
Joignons alors les points $A$ et $B$ par un segment, union de la position
initiale et de la position finale du segment voyageur.

Notons par $D$ la courbe obtenue comme union de l’arc $C'$ et du segment $AB$. Sa propriété fondamentale est d’intersecter transversalement - c’est-à-dire non-tangentiellement - la surface S en un seul point, qui est le point de départ O.

Renversement

Déplaçons maintenant la courbe $D$ de manière continue, en diminuant
sa taille tout en la rapprochant d’un point $P$ extérieur à
la surface $S$, par exemple en faisant des homothéties
centrées en $P$, le rapport d’homothétie variant continûment de 1 à 0.
Comme $P$ est disjoint de $S$, à un moment donné on obtient
une courbe $D'$ disjointe de $S$.

Regardons comment évolue le nombre de points
d’intersection de la courbe variable $D_t$ avec la surface $S$, ou $t$
désigne le paramètre de variation de la courbe. Après avoir
éventuellement déformé légèrement la courbe de départ, ce nombre
ne change qu’un nombre fini de fois, et à chaque fois en augmentant ou en diminuant de deux, par le scénario suivant, lu dans un sens ou dans
l’autre :

Scénario élémentaire

Comme on est partis d’une situation où on avait exactement un point
d’intersection, on n’accède donc qu’à des situations où la courbe $D_t$ et
la surface $S$ ont un nombre impair de points d’intersection. Mais ceci
contredit le fait que $D'$ n’intersecte plus du tout la surface $S$.
Le théorème annoncé dans le titre de la section est démontré.

Ce théorème montre qu’on est obligés d’introduire des incarnations
se recoupant elles-mêmes lorsqu’on veut présenter une image
d’une surface non-orientable et sans bord. De telles surfaces sont
faciles à construire abstraitement à partir d’une bande de Möbius :
il suffit de recoller abstraitement cette dernière à une surface
ayant une seule composante de bord, par une identification
de leurs bords. Par exemple, si cette seconde surface est un disque,
on obtient une surface homéomorphe au plan projectif, et s’il
s’agit d’une nouvelle bande de Möbius, on obtient une bouteille
de Klein, comme on peut le voir dans le billet « Kit Klein » d’Aurélien Alvarez.

La bande dans les mathématiques contemporaines

Pour finir, j’illustrerai quelques concepts essentiels de la géométrie
contemporaine à l’aide de la bande que « tout le monde connaît ».
En effet, une partie de son charme provient du fait que l’on peut
y voir facilement bien des concepts incarnés de manière non-triviale, ce qui
nous aide à les observer avec des regards familiers [16].
Cette section demande plus de maturité mathématique
que le reste du texte pour être comprise, ce pourquoi je prie le
lecteur non-scientifique de m’excuser. Néanmoins, ce dernier pourra
peut-être apprécier la poésie de certains des termes utilisés par
les mathématiciens, termes que j’ai mis en évidence en caractères gras.

Reprenons le procédé de construction expliqué au début de l’article,
mais cette fois-ci dessinons sur le rectangle de départ
plusieurs segments parallèles à ses côtés. Bien sûr, il faut les imaginer
présents à l’intérieur de la surface de la bande, mais concrètement on
est obligés de les dessiner sur les deux faces de la feuille de papier.
En fait, imaginons tous les segments parallèles aux côtés du rectangle,
à la fois les horizontaux et les verticaux dans notre figure, ceux
que nous avons dessinés ne servant qu’à évoquer dans notre imagination
leur infinité. On obtient ainsi deux décompositions du rectangle en
une infinité de segments deux à deux disjoints.
Après recollement des extrémités pour fabriquer la bande, on obtient
deux décompositions de celle-ci à l’aide de courbes, ayant
localement l’aspect de la décomposition du plan par un système
complet de droites parallèles entre elles. On dit que l’on a deux
feuilletages de la bande de Möbius.

Deux feuilletages de la bande de Möbius

Plus généralement, on parle de feuilletages d’une variété [17] de dimension quelconque par des variétés de dimension plus petite. Ce sont des objets qui permettent de penser géométriquement
certains problèmes modélisables par des équations différentielles
ou des équations aux dérivées partielles. Une feuille est la variété
abstraite obtenue en suivant une sous-variété locale de la
décomposition aussi loin que possible dans tous les sens.
Dans notre cas, toutes les feuilles du feuilletage horizontal
sont des cercles, et toutes celles du feuilletage vertical sont des
segments.

Lorsque l’on considère un feuilletage, il est très important d’étudier
le comportement des feuilles au voisinage d’une feuille donnée $F$ :
ont-elles la même forme, se rapprochent-elles dans certaines
directions et s’en éloignent-elles dans d’autres ? Le comportement le plus
simple serait qu’au voisinage de la feuille étudiée $F$, toutes les feuilles
aient la même forme et qu’elles se referment en même temps
lorsque l’on revient au point de départ après avoir cheminé à
l’intérieur de $F$. On dit alors qu’au voisinage de $F$, le feuilletage
est localement trivial.

Dans notre exemple,
le feuilletage horizontal a une structure de produit au voisinage
de toute feuille différente de la feuille centrale (le cœur). Par
contre, lorsque l’on fait un tour complet le long
du cœur, les feuilles proches ne se referment pas, mais reviennent
de l’autre côté du cœur. Il faut faire deux tours complets pour
qu’elles se referment. On dit que le groupe de monodromie associé
à cette feuille est le groupe cyclique d’ordre $2$, que nous noterons
$\mathbb{Z}_2$.

Quant au feuilletage vertical, il est localement trivial au voisinage
de chacune de ses feuilles. On dit alors qu’il munit la bande
d’une structure d’espace fibré localement trivial. Les fibres
sont ici homéomorphes à des segments. Lorsque l’on a ainsi un
espace fibré, il est important de regarder la variété dont les points
représentent les fibres. Il s’agit de la base du fibré. Dans notre
cas, pour la bande fibrée par des segments, la base est un cercle.
Quant au cas du feuilletage horizontal, à cause du cœur - au voisinage
duquel le groupe de monodromie est cyclique d’ordre $2$ - on
peut définir un espace de base non pas comme variété, mais
comme orbiété (orbifold en Anglais). Il s’agit d’un segment,
dont l’une des extrémités est un point singulier d’ordre $2$.

Regardons à nouveau le feuilletage vertical. Associons à chaque point
$P$ du bord de la bande le point du cœur qui se trouve à l’intersection
du segment qui passe par $P$. On obtient une projection du bord
sur le cœur, qui munit le cercle (bord de la bande de Möbius)
d’une structure d’espace fibré localement trivial au-dessus du cercle
(le cœur de la bande). Dans ce cas les fibres sont composées de deux
points. Plus généralement, lorsque les fibres sont des ensembles
de points séparés les uns des autres, c’est-à-dire munis de
la topologie discrète, on dit que la projection de l’espace
fibré sur la base est un revêtement.

Le revêtement que l’on vient de fabriquer peut s’obtenir aussi
en théorie des groupes de la manière suivante. On part de l’ensemble
$R$ des rotations autour d’un point dans le plan. Ses éléments
forment un groupe, c’est-à-dire qu’on peut les composer et
considérer leurs inverses (si on tourne dans un sens, puis
dans l’autre d’un même angle en valeur absolue, alors on ne fait rien).
C’est un groupe qui a aussi une structure de variété - on dit dans ce cas qu’il s’agit d’un groupe de Lie - ici homéomorphe à un cercle. Pour le voir,
associons simplement à chaque rotation le point du cercle trigonométrique
repéré par l’angle de la rotation. Faisons ensuite correspondre à chaque
rotation la rotation d’angle double. On obtient ainsi un morphisme,
que nous noterons $\phi$, du groupe $R$ dans lui-même.
Son noyau, c’est-à-dire le sous-groupe des rotations envoyées en l’identité est formé par la rotation identité et par celle de 180 degrés. C’est donc à nouveau le groupe cyclique à deux éléments $\mathbb{Z}_2$.
Vu topologiquement, le morphisme $\phi$ est un revêtement isomorphe à celui du bord de la bande de Möbius sur son cœur décrit dans le paragraphe précédent.

Le groupe
$R$ apparait alors comme une extension de $R$ par le groupe cyclique $\mathbb{Z}_2$. Cette extension n’est pas triviale au sens de la théorie des groupes (au sens où elle ne permet pas de conclure que $R$ est le produit cartésien de $\mathbb{Z}_2$ et de $R$), car $R$ a deux
éléments d’ordre divisant $2$ et le produit cartésien précédent
en a quatre. Cela reflète le fait que le revêtement associé
n’est pas trivial, c’est-à-dire qu’il n’est pas obtenu en empilant
deux copies d’un cercle envoyé sur lui-même par l’application
identité. En exportant à la théorie des groupes l’intuition que
ceci est dû à un phénomène de torsion, bien visible dans la
bande de Möbius, on parle d’extension tordue de groupes.

Le groupe $\mathbb{Z}_2$ est le groupe
le plus simple non-trivial. Il est de torsion,
c’est-à-dire que tout élément admet un multiple non-nul qui
est égal à l’élément identité. En fait cette dénomination
a été introduite par Poincaré, inspiré très probablement par
la bande de Möbius. En effet, voici ce qu’il écrivait dans
son article « Second complément à l’Analysis Situs » [18] :

Cette dénomination [variétés avec/sans torsion]
 [19]
se justifie parce que la présence d’invariants plus grands que $1$
est due, comme nous le verrons plus loin, à une circonstance
assimilable à une véritable torsion de la variété sur elle-même.
[...] revenons [aux invariants] qui ne sont égaux ni à $0$,
ni à $1$ et que nous appellerons coefficients de torsion.

On pourrait continuer cette liste d’exemples en expliquant
pourquoi l’ensemble des droites
du plan est naturellement muni d’une structure de variété
homéomorphe à une bande de Möbius abstraite, mais je préfère laisser cela
en exercice pour ceux qui ne l’auraient pas déjà fait en lisant
mon billet « Variétés ».

Les personnes désirant découvrir d’autres représentations de
bandes de Möbius, des romans, films ou œuvres d’art qui en sont
inspirés, et bien d’autres choses encore, peuvent naviguer
à partir des sites
en Français,
en Anglais
ou en Allemand qui lui
sont consacrés sur Wikipedia.