La catoptriz : una curva casi olvidada

Le 26 août 2012  - Ecrit par  Hamza Khelif
Le 31 août 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La catoptrice : une courbe presque oubliée Voir les commentaires
Lire l'article en  

Se llama ’’catoptriz’’ (del griego $\kappa \alpha \tau o\pi \tau \rho o \nu $ - espejo) [1] a una curva C que posee la propiedad de que exista un punto F dentro de C tal que si un rayo de luz que pasa por el punto se refleja en M y luego en N sobre esta curva, entonces este rayo pasa de nuevo por F.

El problema de la determinación de las catoptrices, planteado por Euler en 1745 en Nova Acta Eruditorum, es tal vez el más interesante de una colección de problemas estudiados especialmente por Euler y llamados -seguramente por él- como ’’problemas recíprocos’’ [2]. Las elipses, en vista de su propiedad óptica [3], son catoptrices (relativas a un foco) (fig.1), pero Euler quería conocer todas las demás. No les dejó mucho tiempo a sus colegas para trabajar en el problema ya que el año siguiente y en el mismo periódico, presentó su ’’Solución al problema de la catoptriz’’. Su primer método aplicado condujo a las ecuaciones diferenciales para las curvas-solución. La resolución de esas ecuaciones llegó dos años más tarde. El otro método utiliza la noción de lugar geométrico : una catoptriz está definida como el ’’lugar’’ determinado por el movimiento de un punto sobre otra curva inicial llamada ’’curva fuente’’, noción utilizada también en los otros problemas recíprocos ya estudiados, como el de las ’’trayectorias recíprocas’’ [4].

En nuestros días casi nadie conoce la catoptriz, pero prácticamente todo matemático ha oído hablar de las ’’Curvas de Reuleaux’’ [5], ’’Curvas con diámetro (o anchura) constante’’ u ’’Orbiformes’’ [6] (Euler), cuyo estudio riguroso parece haber sido hecho por este gran matemático en ’’Acerca de las curvas triangulares’’ publicado en 1778.

El interés de Euler sobre las orbiformes consiste en que estas permiten una fácil construcción de las catoptrices, es decir, que ellas constituyen las curvas-fuente para estas últimas, como veremos enseguida.

Sean C una curva de diámetro constante (orbiforme) y F un punto interior de esta curva. Sean P un punto de C, d la normal en P , y Q el segundo punto común a C y d. La recta d también es la normal a C en Q y el segmento PQ tiene una longitud constante. Sea M (resp. N) el punto de encuentro de la mediatriz de FP (resp. FQ) con PQ.

El conjunto descrito por M cuando P describe C es una catoptriz (fig.2). Si C es una circunferencia, la catoptriz es la elipse de focos F y el centro del círculo.

PNG - 37.4 ko

Referencia

The Geometry of Leonhard Euler by Homer White in Leonhard Euler : Life, Work and Legacy, Robert E. Bradley and C. Edward Sandifer (Editors). Elsevier 2007. p. 308-311.

Notes

[1En el artículo original se tradujo el término del inglés catoptrix al francés ’’catoptrice’’. Por analogía, en castellano correspondería ’’catoptriz’’. La palabra ’’catóptrica’’, designa la parte de la Óptica que trata de la reflexión de los rayos de luz, las leyes que se derivan de esta reflexión y los fenómenos que resultan de ella en relación a la visión. En ese sentido se puede, por ejemplo, dar una mirada a esta página o incluso a esta otra.

[2Cuando se conoce un tipo especial de curvas que satisfacen una propiedad bien determinada, el ’’problema recíproco’’ para esta propiedad consiste en encontrar otras curvas que satisfagan esta propiedad.

[3Cuando un rayo de luz parte de un foco (o pasa por un foco) de un espejo elíptico, el rayo reflejado pasa por el otro foco.

[4Vea la referencia supra, p. 304.

[5Vea este artículo de Serge Cantat. Vea también esta página.

[6Orbiforme : del latín orbis ’’círculo’’ y forma.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La catoptriz : una curva casi olvidada» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?