Se llama ’’catoptriz’’ (del griego $\kappa \alpha \tau o\pi \tau \rho o \nu $ - espejo) [1] a una curva C que posee la propiedad de que exista un punto F dentro de C tal que si un rayo de luz que pasa por el punto se refleja en M y luego en N sobre esta curva, entonces este rayo pasa de nuevo por F.

El problema de la determinación de las catoptrices, planteado por Euler en 1745 en Nova Acta Eruditorum, es tal vez el más interesante de una colección de problemas estudiados especialmente por Euler y llamados -seguramente por él- como ’’problemas recíprocos’’ [2]. Las elipses, en vista de su propiedad óptica [3], son catoptrices (relativas a un foco) (fig.1), pero Euler quería conocer todas las demás. No les dejó mucho tiempo a sus colegas para trabajar en el problema ya que el año siguiente y en el mismo periódico, presentó su ’’Solución al problema de la catoptriz’’. Su primer método aplicado condujo a las ecuaciones diferenciales para las curvas-solución. La resolución de esas ecuaciones llegó dos años más tarde. El otro método utiliza la noción de lugar geométrico : una catoptriz está definida como el ’’lugar’’ determinado por el movimiento de un punto sobre otra curva inicial llamada ’’curva fuente’’, noción utilizada también en los otros problemas recíprocos ya estudiados, como el de las ’’trayectorias recíprocas’’ [4].

En nuestros días casi nadie conoce la catoptriz, pero prácticamente todo matemático ha oído hablar de las ’’Curvas de Reuleaux’’ [5], ’’Curvas con diámetro (o anchura) constante’’ u ’’Orbiformes’’ [6] (Euler), cuyo estudio riguroso parece haber sido hecho por este gran matemático en ’’Acerca de las curvas triangulares’’ publicado en 1778.

El interés de Euler sobre las orbiformes consiste en que estas permiten una fácil construcción de las catoptrices, es decir, que ellas constituyen las curvas-fuente para estas últimas, como veremos enseguida.

Sean C una curva de diámetro constante (orbiforme) y F un punto interior de esta curva. Sean P un punto de C, d la normal en P , y Q el segundo punto común a C y d. La recta d también es la normal a C en Q y el segmento PQ tiene una longitud constante. Sea M (resp. N) el punto de encuentro de la mediatriz de FP (resp. FQ) con PQ.

El conjunto descrito por M cuando P describe C es una catoptriz (fig.2). Si C es una circunferencia, la catoptriz es la elipse de focos F y el centro del círculo.

Referencia

The Geometry of Leonhard Euler by Homer White in Leonhard Euler : Life, Work and Legacy, Robert E. Bradley and C. Edward Sandifer (Editors). Elsevier 2007. p. 308-311.