La conjecture d’Erdős-Straus

Pista verde El 10 octubre 2022  - Escrito por  Sandrine Lagaize Ver los comentarios
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Faire demi-tour, s’acquitter de son tiers provisionnel, patienter un quart d’heure dans une salle d’attente, ... Les fractions unitaires sont présentes dans notre quotidien. Mais peut-être vous en moquez-vous du tiers comme du quart ?

La conjecture de ce trimestre concerne la décomposition d’une fraction en somme de fractions unitaires.

Qu’est-ce qu’une fraction ?
Si je partage une tarte aux fraises en huit parts égales, chaque part représente un huitième de tarte. Si un invité gourmand mange trois parts, son dessert correspond à trois huitièmes de tarte. Trois huitièmes est un exemple de fraction ; on note $\frac{3}{8}$. Dans cette expression, l’entier 3 est appelé le numérateur et l’entier 8 est appelé le dénominateur.

Représentation de la fraction $\frac{3}{8}$.

Qu’est ce qu’une fraction unitaire ?
Vous reprendrez bien une part de tarte aux fraises ? Un huitième est un exemple de fraction unitaire : il est noté $\frac{1}{8}$.
Plus précisément, une fraction unitaire est une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier strictement positif.

Représentation de la fraction unitaire $\frac{1}{8}$.

Qu’est ce qu’une fraction égyptienne ?
C’est une somme de fractions unitaires dont les dénominateurs sont deux à deux distincts.
On peut considérer que notre invité gourmand a mangé deux portions de tarte aux fraises : un quart de tarte auquel s’ajoute un huitième. Sa part peut donc s’écrire $\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$. Vu sous cette forme, il a mangé une fraction égyptienne de ma tarte aux fraises.

Représentation de la fraction égyptienne $\frac{1}{8}+\frac{1}{4}.$

Explication sur la somme de deux fractions :
Puisqu’il est question d’ajouter des fractions, voici quelques rappels sous forme d’exemples et illustrations.
Un premier exemple dans le cas où l’on ajoute deux fractions de même dénominateur :
\[\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1+2}{8}=\frac{3}{8}.\]

Représentation de la somme $\frac{1}{8}+\frac{2}{8}.$

Pour ajouter deux fractions de dénominateurs différents, on doit les écrire sous une forme telle qu’elles fassent apparaître le même dénominateur.
Cette manipulation repose sur le fait qu’une même fraction peut s’écrire de différentes façons. En effet, les expressions $\frac{1}{4}$ et $\frac{2}{8}$ représentent la même portion de tarte aux fraises.

Représentation de la fraction $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$.

Ainsi, pour ajouter par exemple la fraction $\frac{1}{8}$ à la fraction $\frac{1}{4}$, on écrit cette dernière sous la forme $\frac{2}{8}$ et on est ramené au cas précédent :

\[\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1+2}{8}=\frac{3}{8}.\]

De même, pour ajouter $\frac{1}{2}$ à la fraction $\frac{1}{3}$, on remarque que la fraction $\frac{1}{2}$ peut s’écrire aussi $\frac{3}{6}$ et que $\frac{1}{3}$ correspond encore à $\frac{2}{6}.$

Ainsi
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}.\]

Représentation de la somme $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$.

Pourquoi ce lien avec l’Egypte ?
Pour répondre à cette question, ouvrons une page d’histoire.

Histoire des fractions ou fractions d’histoire :

Les fractions sont un outil très ancien du calcul puisque de tout temps, il a fallu partager des quantités.
Les Égyptiens de l’Antiquité par exemple, utilisaient des nombres entiers et des fractions unitaires. Les plus anciennes traces de fractions unitaires utilisées en Égypte remontent à 2300 ou 2500 ans avant notre ère.

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Hiéroglyphe représentant la fraction $\frac{1}{3}$.

Chaque fraction unitaire y est représentée par un hiéroglyphe en forme de bouche sous lequel figure un symbole correspondant au dénominateur.

À deux exceptions près [1], il n’y avait pas de symbole pour représenter les fractions de numérateur autre que un.
Ces nombres étaient alors représentés par une somme de fractions unitaires. De plus, pour éviter les confusions, on s’imposait de ne pas utiliser deux fois la même fraction dans la décomposition. Ainsi pour désigner la fraction $\frac{2}{5}$, on n’écrivait pas $\frac{1}{5}+\frac{1}{5}$ mais $\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$.

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Relief du temple de Kôm Ombo (IIe siècle av. J.-C.) comportant une représentation de plusieurs fractions.

Il n’est pas toujours facile de trouver une telle décomposition : on sait que les Égyptiens de l’Antiquité avaient des tables de calcul dans lesquelles ils trouvaient les exemples courants et qu’ils connaissaient quelques astuces pour obtenir rapidement certaines décompositions.

Le papyrus de Rhind [2] (vers 1550 avant notre ère) montre de telles décompositions. Par exemple, on y trouve une « table de deux » qui donne des développements en fractions unitaires pour $\frac{2}{5}$, $\frac{2}{7}$, etc.

À partir du XIIe siècle, en Inde et dans le monde arabe, on commence à voir apparaître une écriture qui ressemble à celle que nous connaissons $\frac{\mbox{numérateur}}{\mbox{dénominateur}}$.
En Europe, Fibonacci,
en 1202 en Italie, suivi par Nicole Oresme,
au XIVe siècle en France, reprennent la notation arabe pour désigner ceux qu’on appelle les nombres rompus. Les termes « numérateur » et « dénominateur » font leur apparition .

Quelques résultats généraux sur la décomposition d’une fraction en fraction égyptienne.

À partir des années 70, la notion de fraction égyptienne connaît un regain d’intérêt. Par exemple, la conjecture d’Erdős-Graham, énoncée en 1980, a été démontrée en 2000. Et bien d’autres questions à ce sujet sont toujours d’actualité.

Pour commencer, indiquons que toute fraction peut se décomposer en fraction égyptienne. Et ce d’une infinité de façons.

En effet, on peut dans un premier temps décomposer n’importe quelle fraction en somme de fractions unitaires de même dénominateur.
Par exemple, la fraction $\frac{2}{5}$ peut s’écrire en utilisant deux fois la fraction unitaire $\frac{1}{5}$ :
\[\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}.\]

Attention, cette décomposition n’est pas une fraction égyptienne puisque le même dénominateur est répété.

Mais remarquons que :
\[\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}.\]

Cette astuce est due à Fibonacci (1202). Le lecteur curieux en saura plus en cliquant ci-dessous.

Propriété (Fibonacci, 1202)

Pour tout entier $n$ strictement positif, on a \[\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}.\]

Ainsi on obtient une décomposition de $\frac{2}{5}$ en fraction égyptienne :
\[\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}.\]

Remarquons qu’à une même fraction peuvent correspondre plusieurs fractions égyptiennes.
En effet, par exemple,
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$ et $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}$ sont deux fractions égyptiennes représentant la fraction $\frac{4}{5}$.

Par ailleurs, en lien avec la propriété citée ci-dessus, Fibonacci avait donné un algorithme pour décomposer en fraction égyptienne une catégorie de fractions [3].

Mais celui-ci aboutit souvent à des décompositions longues, avec des dénominateurs grands.
Ainsi, pour la fraction $\frac{4}{65}$, il donnera la fraction égyptienne $\frac{1}{17}+\frac{1}{369}+\frac{1}{203873}+\frac{1}{83128196385}$ alors que la formule $\frac{1}{26}+\frac{1}{65}+\frac{1}{130}$ convient aussi.
Si on se met à la place d’un Égyptien de l’Antiquité, qui n’a que cet outil pour décrire une fraction, on aura tendance à choisir la deuxième version !

Comme les Égyptiens de l’Antiquité, les mathématiciens d’aujourd’hui s’intéressent à la longueur [4] d’une telle décomposition et à la grandeur [5] des dénominateurs utilisés.

Des mathématiciens comme James Sylvester, Solomon Golomb, Waclaw Sierpinski, Paul Erdős, Ernst G. Straus, Ronald Graham, ou Gérald Tenenbaum ont contribué à ce champ de recherche.
Et nombre de ces questions restent des problèmes ouverts.

On se concentrera ici sur la question de la longueur des décompositions, l’idée étant de trouver une décomposition la plus courte possible.

Que peut-on dire dans le cas d’une fraction de la forme $\frac{2}{n}$ ou $\frac{3}{n}$ avec $n$ est un entier strictement positif ?

Si on autorise la répétition du dénominateur, on constate immédiatement que $\frac{2}{n}$ (resp. $\frac{3}{n}$) peut s’écrire comme somme de deux (resp. trois) fractions unitaires.
Si on cherche une fraction égyptienne, on parvient à une décomposition de longueur au plus deux (resp. trois) pour toute fraction de la forme $\frac{2}{n}$ (resp. $\frac{3}{n}$) où $n$ est un entier strictement supérieur à 1.

Quelques exemples
$\frac{2}{2}=\frac{1}{1}$ $\frac{3}{2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$ $\frac{3}{3}=\frac{1}{1}$
$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$
$\frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$ $\frac{3}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$

Pour plus de précision

Pour $\frac{2}{n}$ :

Notons que dans le cas où le nombre $n$ est pair, la fraction $\frac{2}{n}$ peut se ramener à une fraction unitaire.

D’autre part, dans le cas où $n$ est un nombre impair autre que 1, la décomposition $\frac{1}{(n+1)/2}+\frac{1}{n(n+1)/2}$ convient.

Pour $\frac{3}{n}$ :

Notons que dans le cas où le nombre $n$ est un multiple de 3, la fraction $\frac{3}{n}$ peut se ramener à une fraction unitaire.

Dans le cas où $n$ n’est pas un multiple de 3 :

Remarquons d’abord que pour la fraction $\frac{3}{2}$, la décomposition $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}$ convient.

Ensuite, pour un dénominateur pair, au moins égal à 4 c’est-à-dire lorsque $n=2m$ avec $m$ un entier au moins égal à 2,
la décomposition $\frac{1}{2m}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}$ convient.
Enfin, pour un dénominateur impair autre que 1, c’est-à-dire lorsque $n=2m+1$ avec $m$ un entier strictement positif,
la décomposition $\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{(2m+1)(m+1)}$ convient.

Nous arrivons au cas qui nous intéresse particulièrement.

Le cas d’une fraction de la forme $\frac{4}{n}$ où $n$ est un entier strictement positif.

Si on autorise la répétition du dénominateur, on trouve naturellement une décomposition de longueur 4.

Mais il semblerait qu’une décomposition de longueur 3 soit possible. Et c’est l’objet de cet article.

Erdős et Straus ont travaillé sur cette question à la fin des années 40.

Un mot sur Erdős

Paul Erdős (1913-1996) était un mathématicien hongrois.
Tout en s’intéressant à d’autres domaines comme la politique et l’histoire, Erdős a mené sa vie autour
des mathématiques, les considérant comme art autant que comme science. Il a parfois donné une démonstration plus élégante de certains résultats connus.
Si Erdős a beaucoup travaillé en analyse combinatoire et a grandement contribué à son développement, ses articles traitent également d’autres domaines tels que la théorie des ensembles, la théorie des graphes, la théorie des nombres, l’analyse et l’étude
des polynômes, la géométrie combinatoire. Tout au long de sa carrière, il a écrit plus de 1500 articles, seul ou avec
co-auteur(s). Les échanges entre mathématiciens du monde entier étaient pour lui primordiaux. On lui connait plus de 450 co-auteurs.

Un mot sur Straus

Ernst G. Straus (1922-1983) était un mathématicien américain d’origine allemande. Il a commencé sa carrière aux côtés d’Einstein puis il a travaillé dans les domaines de la théorie analytique des nombres, de la théorie des graphes et de la combinatoire.

Dans une publication de 1950, ils ont énoncé la conjecture suivante :

Conjecture :
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, la fraction $\displaystyle\frac{4}{n}$ peut être exprimée sous la forme d’une fraction égyptienne de longueur au plus 3.

Ce qui revient encore à dire que :

Conjecture :
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on peut trouver une décomposition de $\frac{4}{n}$ en une somme de trois fractions unitaires (non nécessairement distinctes).

Pourquoi ces deux énoncés sont-ils équivalents ?

En effet, pour $n$ au moins égal à 3, peu importe qu’on demande une décomposition en fractions unitaires deux à deux distinctes ou non. Une décomposition en trois fractions unitaires quelconques peut toujours être reformulée en une fraction égyptienne (c’est-à-dire avec des fractions unitaires deux à deux distinctes) de longueur 3 grâce à la remarque suivante :

Pour tout entier $m$ au moins égal à 1, on a
\[\frac{1}{2m}+\frac{1}{2m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}\qquad(1)\]
et l’expression de droite fait apparaître deux fractions unitaires différentes lorsque $m$ est au moins égal à deux.
De même, pour tout entier $m$ positif ou nul, on a
\[\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m+1}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{(m+1)(2m+1)}\qquad (2)\]
et l’expression de droite fait apparaître deux fractions unitaires différentes lorsque $m$ est au moins égal à 1.

Ainsi, la fraction $\frac{4}{3}$ peut s’écrire $\frac{1}{1}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$ mais aussi $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$ en posant $m=3$ dans l’égalité (1).

De même, la fraction $\frac{4}{4}$ peut s’écrire $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$ mais aussi $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$ en posant $m=1$ dans l’égalité (2).

Une remarque importante :

Remarquons qu’il suffit d’étudier le cas où le dénominateur est un nombre premier (c’est-à-dire un entier au moins égal à 2 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même).

Pourquoi ?

Pour tout entier strictement positif $n$, s’il existe une décomposition de $\frac{4}{n}$ en somme de trois fractions unitaires alors il en est de même pour toute fraction de la forme $\frac{4}{mn}$ où $m$ est un entier strictement positif.

En effet, s’il existe trois entiers strictement positifs $a$, $b$ et $c$ tels que
$\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$, alors $\frac{4}{mn}=\frac{1}{ma}+\frac{1}{mb}+\frac{1}{mc}$.

En exemples, voici la décomposition dans le cas des nombres premiers 2, 3, 5 et 7 :

\[\frac{4}{2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2},\]

\[\frac{4}{3}=\frac{1}{1}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6},\]

\[\frac{4}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{10},\]

\[\frac{4}{7}=\frac{1}{21}+\frac{1}{2}+\frac{1}{42}.\]

Que sait-on aujourd’hui ?

  • À l’aide de l’ordinateur, par des méthodes algorithmiques, cette conjecture a été vérifiée pour tout entier $n$ plus petit que $10^{17}$.
  • De plus, elle est démontrée pour de nombreuses classes de nombres. Notamment, il a été prouvé par Mordell en 1969 que la conjecture est vérifiée pour tous les nombres premiers sauf ceux congrus à 1, 121, 169, 289, 361 et 529 modulo 840.

Et pour les fractions de la forme $\frac{5}{n}$, $\frac{6}{n}$, etc. ?

En 1956, Sierpinski a formulé la même conjecture pour les fractions de la forme $\frac{5}{n}$ où $n$ est un entier au moins égal à 2. Ce problème est toujours ouvert lui aussi.

Un mot sur Sierpinski

Le mathématicien polonais Waclaw Franciszek Sierpinski (1882 - 1969) est connu pour ses nombreux travaux en théorie des ensembles, théorie des nombres, topologie et ses travaux sur les fractals dont son célèbre tapis de Sierpinski.

Et Andrzej Schinzel, qui fut un étudiant de Sierpinski, a énoncé une généralisation de cette conjecture.

Conjecture :

Pour tout entier
$k$
strictement positif, il existe un entier strictement positif $N$ tel que, pour tout
entier $n\geq N$, il existe une décomposition de la fraction $\frac{k}{n}$ en somme de trois fractions unitaires.

Post-scriptum :

L’auteure remercie chaleureusement Shalom Eliahou, Bruno Martin et Jean Aymes pour leur lecture attentive et leurs précieux conseils.

Article édité par Shalom Eliahou

Notas

[1$\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$

[2Le papyrus de Rhind est exposé au British Museum.

[3Celles de la forme $\frac{k}{n}$ où $n$ est un entier strictement positif et $k$ est un entier compris strictement entre 0 et $n$.
Par ailleurs, on trouvera ici un calculateur qui, à l’aide des différents algorithmes existants, donne des décompositions pour ce type de fractions.

[4On appelle longueur le nombre de fractions unitaires intervenant dans la décomposition.

[5Il est question ici, soit de la valeur du plus grand des dénominateurs utilisés, soit du nombre de ses facteurs premiers.

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Para citar este artículo:

Sandrine Lagaize — «La conjecture d’Erdős-Straus» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Illustration de l’Oeil d’Horus et d’une thèse de l’égyptologue G. Möller (en 1911) selon laquelle les parties de l’oeil représentent des fractions de l’unité de mesure hékat.
Commons Attribution-Share Alike 3.0
Relief du temple de Kôm Ombo (IIe siècle av. J.-C.) comportant une représentation de plusieurs fractions. - Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0

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