Qu’est-ce qu’une fraction ?
Si je partage une tarte aux fraises en huit parts égales, chaque part représente un huitième de tarte. Si un invité gourmand mange trois parts, son dessert correspond à trois huitièmes de tarte. Trois huitièmes est un exemple de fraction ; on note $\frac{3}{8}$. Dans cette expression, l’entier 3 est appelé le numérateur et l’entier 8 est appelé le dénominateur.

Représentation de la fraction $\frac{3}{8}$.

Qu’est ce qu’une fraction unitaire ?
Vous reprendrez bien une part de tarte aux fraises ? Un huitième est un exemple de fraction unitaire : il est noté $\frac{1}{8}$.
Plus précisément, une fraction unitaire est une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier strictement positif.

Représentation de la fraction unitaire $\frac{1}{8}$.

Qu’est ce qu’une fraction égyptienne ?
C’est une somme de fractions unitaires dont les dénominateurs sont deux à deux distincts.
On peut considérer que notre invité gourmand a mangé deux portions de tarte aux fraises : un quart de tarte auquel s’ajoute un huitième. Sa part peut donc s’écrire $\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$. Vu sous cette forme, il a mangé une fraction égyptienne de ma tarte aux fraises.

Représentation de la fraction égyptienne $\frac{1}{8}+\frac{1}{4}.$

Explication sur la somme de deux fractions :
Puisqu’il est question d’ajouter des fractions, voici quelques rappels sous forme d’exemples et illustrations.
Un premier exemple dans le cas où l’on ajoute deux fractions de même dénominateur :
\[\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1+2}{8}=\frac{3}{8}.\]

Représentation de la somme $\frac{1}{8}+\frac{2}{8}.$

Pour ajouter deux fractions de dénominateurs différents, on doit les écrire sous une forme telle qu’elles fassent apparaître le même dénominateur.
Cette manipulation repose sur le fait qu’une même fraction peut s’écrire de différentes façons. En effet, les expressions $\frac{1}{4}$ et $\frac{2}{8}$ représentent la même portion de tarte aux fraises.

Représentation de la fraction $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$.

Ainsi, pour ajouter par exemple la fraction $\frac{1}{8}$ à la fraction $\frac{1}{4}$, on écrit cette dernière sous la forme $\frac{2}{8}$ et on est ramené au cas précédent :

\[\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1+2}{8}=\frac{3}{8}.\]

De même, pour ajouter $\frac{1}{2}$ à la fraction $\frac{1}{3}$, on remarque que la fraction $\frac{1}{2}$ peut s’écrire aussi $\frac{3}{6}$ et que $\frac{1}{3}$ correspond encore à $\frac{2}{6}.$

Ainsi
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}.\]

Représentation de la somme $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$.

Pourquoi ce lien avec l’Egypte ?
Pour répondre à cette question, ouvrons une page d’histoire.

Histoire des fractions ou fractions d’histoire :

Les fractions sont un outil très ancien du calcul puisque de tout temps, il a fallu partager des quantités.
Les Égyptiens de l’Antiquité par exemple, utilisaient des nombres entiers et des fractions unitaires. Les plus anciennes traces de fractions unitaires utilisées en Égypte remontent à 2300 ou 2500 ans avant notre ère.

Hiéroglyphe représentant la fraction $\frac{1}{3}$.

Chaque fraction unitaire y est représentée par un hiéroglyphe en forme de bouche sous lequel figure un symbole correspondant au dénominateur.

À deux exceptions près [1], il n’y avait pas de symbole pour représenter les fractions de numérateur autre que un.
Ces nombres étaient alors représentés par une somme de fractions unitaires. De plus, pour éviter les confusions, on s’imposait de ne pas utiliser deux fois la même fraction dans la décomposition. Ainsi pour désigner la fraction $\frac{2}{5}$, on n’écrivait pas $\frac{1}{5}+\frac{1}{5}$ mais $\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$.

Relief du temple de Kôm Ombo (II^e siècle av. J.-C.) comportant une représentation de plusieurs fractions.

Il n’est pas toujours facile de trouver une telle décomposition : on sait que les Égyptiens de l’Antiquité avaient des tables de calcul dans lesquelles ils trouvaient les exemples courants et qu’ils connaissaient quelques astuces pour obtenir rapidement certaines décompositions.

Le papyrus de Rhind [2] (vers 1550 avant notre ère) montre de telles décompositions. Par exemple, on y trouve une « table de deux » qui donne des développements en fractions unitaires pour $\frac{2}{5}$, $\frac{2}{7}$, etc.

À partir du XII^e siècle, en Inde et dans le monde arabe, on commence à voir apparaître une écriture qui ressemble à celle que nous connaissons $\frac{\mbox{numérateur}}{\mbox{dénominateur}}$.
En Europe, Fibonacci,
en 1202 en Italie, suivi par Nicole Oresme,
au XIV^e siècle en France, reprennent la notation arabe pour désigner ceux qu’on appelle les nombres rompus. Les termes « numérateur » et « dénominateur » font leur apparition .

Quelques résultats généraux sur la décomposition d’une fraction en fraction égyptienne.

À partir des années 70, la notion de fraction égyptienne connaît un regain d’intérêt. Par exemple, la conjecture d’Erdős-Graham, énoncée en 1980, a été démontrée en 2000. Et bien d’autres questions à ce sujet sont toujours d’actualité.

Pour commencer, indiquons que toute fraction peut se décomposer en fraction égyptienne. Et ce d’une infinité de façons.

En effet, on peut dans un premier temps décomposer n’importe quelle fraction en somme de fractions unitaires de même dénominateur.
Par exemple, la fraction $\frac{2}{5}$ peut s’écrire en utilisant deux fois la fraction unitaire $\frac{1}{5}$ :
\[\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}.\]

Attention, cette décomposition n’est pas une fraction égyptienne puisque le même dénominateur est répété.

Mais remarquons que :
\[\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}.\]

Cette astuce est due à Fibonacci (1202). Le lecteur curieux en saura plus en cliquant ci-dessous.

Ainsi on obtient une décomposition de $\frac{2}{5}$ en fraction égyptienne :
\[\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}.\]

Remarquons qu’à une même fraction peuvent correspondre plusieurs fractions égyptiennes.
En effet, par exemple,
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$ et $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}$ sont deux fractions égyptiennes représentant la fraction $\frac{4}{5}$.

Par ailleurs, en lien avec la propriété citée ci-dessus, Fibonacci avait donné un algorithme pour décomposer en fraction égyptienne une catégorie de fractions [3].

Mais celui-ci aboutit souvent à des décompositions longues, avec des dénominateurs grands.
Ainsi, pour la fraction $\frac{4}{65}$, il donnera la fraction égyptienne $\frac{1}{17}+\frac{1}{369}+\frac{1}{203873}+\frac{1}{83128196385}$ alors que la formule $\frac{1}{26}+\frac{1}{65}+\frac{1}{130}$ convient aussi.
Si on se met à la place d’un Égyptien de l’Antiquité, qui n’a que cet outil pour décrire une fraction, on aura tendance à choisir la deuxième version !

Comme les Égyptiens de l’Antiquité, les mathématiciens d’aujourd’hui s’intéressent à la longueur [4] d’une telle décomposition et à la grandeur [5] des dénominateurs utilisés.

Des mathématiciens comme James Sylvester, Solomon Golomb, Waclaw Sierpinski, Paul Erdős, Ernst G. Straus, Ronald Graham, ou Gérald Tenenbaum ont contribué à ce champ de recherche.
Et nombre de ces questions restent des problèmes ouverts.

On se concentrera ici sur la question de la longueur des décompositions, l’idée étant de trouver une décomposition la plus courte possible.

Que peut-on dire dans le cas d’une fraction de la forme $\frac{2}{n}$ ou $\frac{3}{n}$ avec $n$ est un entier strictement positif ?

Si on autorise la répétition du dénominateur, on constate immédiatement que $\frac{2}{n}$ (resp. $\frac{3}{n}$) peut s’écrire comme somme de deux (resp. trois) fractions unitaires.
Si on cherche une fraction égyptienne, on parvient à une décomposition de longueur au plus deux (resp. trois) pour toute fraction de la forme $\frac{2}{n}$ (resp. $\frac{3}{n}$) où $n$ est un entier strictement supérieur à 1.

Nous arrivons au cas qui nous intéresse particulièrement.

Le cas d’une fraction de la forme $\frac{4}{n}$ où $n$ est un entier strictement positif.

Si on autorise la répétition du dénominateur, on trouve naturellement une décomposition de longueur 4.

Mais il semblerait qu’une décomposition de longueur 3 soit possible. Et c’est l’objet de cet article.

Erdős et Straus ont travaillé sur cette question à la fin des années 40.

Dans une publication de 1950, ils ont énoncé la conjecture suivante :

Conjecture :
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, la fraction $\displaystyle\frac{4}{n}$ peut être exprimée sous la forme d’une fraction égyptienne de longueur au plus 3.

Ce qui revient encore à dire que :

Conjecture :
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on peut trouver une décomposition de $\frac{4}{n}$ en une somme de trois fractions unitaires (non nécessairement distinctes).

Une remarque importante :

Remarquons qu’il suffit d’étudier le cas où le dénominateur est un nombre premier (c’est-à-dire un entier au moins égal à 2 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même).

En exemples, voici la décomposition dans le cas des nombres premiers 2, 3, 5 et 7 :

\[\frac{4}{2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2},\]

\[\frac{4}{3}=\frac{1}{1}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6},\]

\[\frac{4}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{10},\]

\[\frac{4}{7}=\frac{1}{21}+\frac{1}{2}+\frac{1}{42}.\]

Que sait-on aujourd’hui ?

• À l’aide de l’ordinateur, par des méthodes algorithmiques, cette conjecture a été vérifiée pour tout entier $n$ plus petit que $10^{17}$.

• De plus, elle est démontrée pour de nombreuses classes de nombres. Notamment, il a été prouvé par Mordell en 1969 que la conjecture est vérifiée pour tous les nombres premiers sauf ceux congrus à 1, 121, 169, 289, 361 et 529 modulo 840.

Et pour les fractions de la forme $\frac{5}{n}$, $\frac{6}{n}$, etc. ?

En 1956, Sierpinski a formulé la même conjecture pour les fractions de la forme $\frac{5}{n}$ où $n$ est un entier au moins égal à 2. Ce problème est toujours ouvert lui aussi.

Et Andrzej Schinzel, qui fut un étudiant de Sierpinski, a énoncé une généralisation de cette conjecture.

Conjecture :

Pour tout entier
$k$
strictement positif, il existe un entier strictement positif $N$ tel que, pour tout
entier $n\geq N$, il existe une décomposition de la fraction $\frac{k}{n}$ en somme de trois fractions unitaires.