La conjetura de Erdős-Straus

Piste verte Le 10 octobre 2022  - Ecrit par  Sandrine Lagaize
Le 21 novembre 2022  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : La conjecture d’Erdős-Straus Voir les commentaires
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Dar media vuelta, pagar el tercio provisional, esperar un cuarto de hora en una sala de espera, ... Las fracciones unitarias están presentes en nuestro día a día. ¿Pero tal vez no te importa ni el tercero ni el cuarto ?

La conjetura de este trimestre se refiere a la descomposición de una fracción en una suma de fracciones unitarias.

¿Qué es una fracción ?

Si divido un pastel de fresas en ocho partes iguales, cada parte representa un octavo del pastel. Si un invitado glotón come tres rebanadas, su postre corresponde a tres octavos del pastel. Tres octavos es un ejemplo de fracción ; lo denotamos $\frac{3}{8}$. En esta expresión, el entero 3 es llamado numerador y el entero 8 es llamado denominador.

Representación de la fracción $\frac{3}{8}$

¿Qué es una fracción unitaria ?

¿Quieres un trozo de tarta de fresa ? Un octavo es un ejemplo de una fracción unitaria : se lo denota $\frac{1}{8}$. Más precisamente, una fracción unitaria es una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es un número entero estrictamente positivo.

Representación de la fracción unitaria $\frac{1}{8}$

¿Qué es una fracción egipcia ?

Es una suma de fracciones unitarias cuyos denominadores son todos distintos. Podemos considerar que nuestro invitado gourmet comió dos porciones de tarta de fresas : una cuarta parte de la tarta a la que añadió una octava parte. Por lo tanto, su parte puede escribirse $\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$. Visto de esta forma, comió una fracción egipcia de la tarta de fresas.

Explicación sobre la suma de dos fracciones :

Como se trata de sumar fracciones, aquí hay algunos recordatorios en forma de ejemplos e ilustraciones. Un primer ejemplo en el caso de que sumamos dos fracciones con el mismo denominador :
\[\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1+2}{8}=\frac{3}{8}.\]

Representación de la fracción egipcia $\frac{1}{4} + \frac{1}{8}$

Para sumar dos fracciones con distinto denominador, deben escribirse de tal forma que exhiban el mismo denominador. Para esta manipulación nos basamos en el hecho de que una misma fracción se puede escribir de diferentes formas. En efecto, las expresiones $\frac{1}{4}$ y $\frac{2}{8}$ representan la misma porción de la tarta de fresas.

Representación de la fracción $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$

Así, para sumar, por ejemplo, $\frac{1}{8}$ a $\frac{1}{4}$, escribimos esta última de la forma $\frac{2}{8}$ para así volver al caso precedente :
\[\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1+2}{8}=\frac{3}{8}.\]

De la misma manera, para sumar $\frac{1}{2}$ a la fracción $\frac{1}{3}$, notamos que la fracción $\frac{1}{2}$ se puede escribir también como $\frac{3}{6}$, y que $\frac{1}{3}$ también corresponde a $\frac{2}{6}.$
Así
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}.\]

Representación de la suma $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

¿Cuál es la relación con Egipto ?

Para responder a esta pregunta, abramos una página de historia.

Historia de las fracciones, o una fracción de la historia :

Las fracciones son una herramienta aritmética muy antigua ya que siempre ha sido necesario compartir cantidades. Los antiguos egipcios, por ejemplo, usaban números enteros y fracciones unitarias. Los primeros rastros de fracciones unitarias utilizadas en Egipto datan de 2300 o 2500 a.C.

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Jeroglífico que representa una fracción

Cada fracción unitaria está representada allí por un jeroglífico en forma de boca bajo el cual figura un símbolo que corresponde al denominador.

Salvo las excepciones $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{4}$, no había ningún símbolo para representar fracciones con numerador distinto de uno. Estos números fueron entonces representados por una suma de fracciones unitarias. Además, para evitar confusiones, era fundamental no utilizar dos veces la misma fracción en la descomposición. Así, para denotar la fracción $\frac{2}{5}$, no se escribía $\frac{1}{5}+\frac{1}{5}$, sino $\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$.

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Relieve en el templo de Kôm Ombo (siglo II a.C.) que contiene una representación de varias fracciones

No siempre es fácil encontrar tal descomposición : sabemos que los antiguos egipcios tenían tablas de cálculo en las que encontraban ejemplos comunes y que conocían algunos trucos para obtener rápidamente ciertas descomposiciones.

El papiro del Rhind [1] (que data aproximadamente de 1550 a.C.) exhibe algunas de tales descomposiciones. Por ejemplo, allí se encuentra una ’’tabla del 2’’ que muestra desarrollos en fracciones unitarias de $\frac{2}{5}$, $\frac{2}{7}$, etc.

À partir del siglo XII, tanto en India como en el mundo árabe, comenzó a aparecer una escritura similar a la que conocemos hoy : $\frac{\mbox{numerador}}{\mbox{denominador}}$. En Europa, Fibonacci,
en 1202 en Italia, seguido por Nicole Oresme en el siglo XIV en Francia, retomaron la notación árabe para denotar lo que se conoce como los números quebrados. Los términos ’’numerador’’ y ’’denominador’’ hacen entonces su aparición.

Algunos resultados generales sobre la descomposición de una fracción en fracción egipcia.

A partir de la década de 1970, la noción de fracción egipcia experimentó un resurgimiento de interés. Un ejemplo de esto es la conjetura de Erdős-Graham, formulada en 1980, y probada en 2000. Muchas otras preguntas al respecto siguen siendo relevantes...

Para comenzar, indiquemos que cualquier fracción se puede descomponer en una fracción egipcia, y esto puede hacerse de una infinidad de formas.

En efecto, primeramente se puede descomponer cualquier fracción en suma de fracciones unitarias de igual denominador. Por ejemplo, la fracción $\frac{2}{5}$ puede escribirse usando dos veces la fracción unitaria $\frac{1}{5}$ :
\[\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}.\]

Pero atención : esta descomposición no es una fracción egipcia, pues se repite un mismo denominador. Sin embargo, notemos que :
\[\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}.\]

Esta astucia es debida a Fibonacci (1202). El lector aprenderá más al respecto haciendo clic abajo.

Propiedad (Fibonacci, 1202)

Para todo entero $n$ estrictamente positivo, se tiene
\[\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}.\]

Así se obtiene una descomposición de $\frac{2}{5}$ en fracción egipcia :
\[\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}.\]

Observemos que a una misma fracción pueden corresponder varias fracciones egipcias. Por ejemplo, $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$ y $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}$ son dos fracciones egipcias que representan la fracción $\frac{4}{5}$.

Por otra parte, en relación con la propiedad de arriba, Fibonacci dio un algoritmo para descomponer en fracción egipcia toda una categoría de fracciones [2].

Sin embargo, a menudo este entrega descomposiciones largas y con denominadores grandes. Por ejemplo, para la fracción $\frac{4}{65}$, entrega la fracción egipcia $\frac{1}{17}+\frac{1}{369}+\frac{1}{203873}+\frac{1}{83128196385}$, pese a que la fórmula $\frac{1}{26}+\frac{1}{65}+\frac{1}{130}$ también funciona. Si nos ponemos en lugar de un egipcio de la Antigüedad que no tiene sino esta herramienta para describir una fracción, ciertamente se inclinaría por la segunda versión.

Como los antiguos egipcios, los matemáticos de hoy se interesan en la longitud [3] de una descomposición y en la grandeza [4] de los denominadores usados.

Matemáticos como James Sylvester, Solomon Golomb, Waclaw Sierpinski, Paul Erdős, Ernst G. Straus, Ronald Graham o Gérald Tenenbaum han contribuido a este campo de investigación. Y muchas de las preguntas siguen siendo problemas abiertos. Nos concentraremos aquí en la pregunta de la longitud de las descomposiciones. El objetivo, por supuesto, es encontrar la descomposición más corta posible.

¿Qué se puede decir de una fracción de la forma $\frac{2}{n}$ o $\frac{3}{n}$, con $n$ entero y positivo ?

Si autorizamos la repetición del denominador, se constata inmediatamente que $\frac{2}{n}$ (resp. $\frac{3}{n}$) puede escribirse como suma de dos (resp. tres) fracciones unitarias. Si buscamos una fracción egipcia, llegamos a una descomposición de longitud no mayor a dos (resp. tres) para toda fracción de la forma $\frac{2}{n}$ (resp. $\frac{3}{n}$), donde $n$ es un entero mayor que 1.

Algunos ejemplos
$\frac{2}{2}=\frac{1}{1}$ $\frac{3}{2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$ $\frac{3}{3}=\frac{1}{1}$
$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$
$\frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$ $\frac{3}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$

Para mayor precisión

Para $\frac{2}{n}$ :

Notemos que si $n$ es par, la fracción $\frac{2}{n}$ puede simplificarse en una fracción unitaria. Por otra parte, si $n$ es impar mayor que 1, la descomposición $\frac{1}{(n+1)/2}+\frac{1}{n(n+1)/2}$ funciona.

Para $\frac{3}{n}$ :

Si $n$ es múltiplo de 3, entonces la fracción $\frac{3}{n}$ se simplifica en una fracción unitaria.

En caso de que $n$ no es múltiplo de 3 :

Notemos para comenzar que para $\frac{3}{2}$, la descomposición $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}$ sirve.

Luego, para un denominador par al menos igual a 4, es decir, para $n=2m$ con $m$ un entero mayor o igual que 2, la descomposición $\frac{1}{2m}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}$ funciona. Finalmente, para un denominador impar distinto a 1, es decir, para $n=2m+1$, con $m$ un entero positivo, la descomposición $\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{(2m+1)(m+1)}$ conviene.

Llegamos al fin a un caso que nos interesa particularmente.

El caso de una fracción de la forma $\frac{4}{n}$, donde $n$ es un entero positivo.

Si permitimos la repetición del denominador, naturalmente encontramos una descomposición de longitud 4. Pero parece que es posible una descomposición de longitud 3. Y ese es el tema de este artículo. Erdős y Straus trabajaron sobre esta cuestión a finales de la década de 1940.

Una palabra sobre Erdős

Paul Erdős (1913-1996) fue un matemático húngaro. Si bien se interesó por otros campos como la política y la historia, Erdős vivió su vida en torno a las matemáticas, considerándolas tanto un arte como una ciencia. A veces daba una demostración más elegante de ciertos resultados conocidos. Erdős trabajó extensamente en el análisis combinatorio y contribuyó en gran medida a su desarrollo, pero sus artículos también tratan otras áreas como la teoría de conjuntos, la teoría de grafos, la teoría de números, el análisis, el estudio de polinomios y la geometría combinatoria. A lo largo de su carrera, escribió más de 1500 artículos, solo o con coautor(es). Los intercambios entre matemáticos de todo el mundo eran fundamentales para él. Se le conocen más de 450 coautores.

Una palabras sobre Straus

Ernst G. Straus (1922-1983) fue un matemático estadounidense nacido en Alemania. Comenzó su carrera junto a Einstein y luego trabajó en los campos de la teoría analítica de números, la teoría de grafos y la combinatoria.

En una publicación de 1950, anunciaron la conjetura siguiente :

Conjetura :
Para todo entero $n$ mayor que 3, la fracción $\displaystyle\frac{4}{n}$ puede expresarse como una fracción egipcia de longitud no mayor que 3.

Esto se traduce en lo siguiente :

Conjetura :
Para todo entero $n$ mayor o igual que 2, se puede hallar una descomposición de $\frac{4}{n}$ como suma de tres fracciones unitarias (no necesariamente distintas).

¿Por qué son equivalente estos dos enunciados ?

En efecto, para $n$ al menos igual a 3, poco importa si se requiere o no una descomposición en fracciones unitarias distintas. Una descomposición en tres fracciones unitarias cualesquiera siempre se puede reformular en una fracción egipcia (es decir, con fracciones unitarias distintas por pares) de longitud 3 gracias a la siguiente observación :

Para cualquier entero $m$ al menos igual a 1, tenemos
\[\frac{1}{2m}+\frac{1}{2m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}\qquad(1),\]
y la expresión de la derecha hace aparecer dos fracciones unitarias diferentes cuando $m$ es al menos igual a 2. De la misma forma, para todo entero $m$ positivo o nulo, se tiene
\[\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m+1}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{(m+1)(2m+1)}\qquad (2),\]
y la expresión de la derecha hace aparecer dos fracciones unitarias distintas cuando $m$ es al menos igual a 1.

Así, la fracción $\frac{4}{3}$ puede ser escrita como $\frac{1}{1}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$, pero también como $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$ al colocar $m=3$ en la igualdad (1).

De la misma forma, la fracción $\frac{4}{4}$ puede ser escrita como $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$, pero también como $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$ al colocar $m=1$ en la igualdad (2).

Una observación importante :

Notemos que basta con estudiar el caso en que el denominador es un número primo (es decir, un número entero al menos igual a 2 cuyos únicos divisores son 1 y él mismo).

¿Por qué ?

Para cualquier entero estrictamente positivo $n$, si existe una descomposición de $\frac{4}{n}$ en suma de tres fracciones unitarias, entonces lo mismo es cierto para cualquier fracción de la forma $\frac{4}{mn}$ donde $m$ es un entero estrictamente positivo.

En efecto, si existen tres enteros positivos $a$, $b$ y $c$ tales que
$\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$, entonces $\frac{4}{mn}=\frac{1}{ma}+\frac{1}{mb}+\frac{1}{mc}$.

En ejemplos, aquí aparecen descomposiciones para el caso de los número primos 2, 3, 5 y 7 :

\[\frac{4}{2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2},\]

\[\frac{4}{3}=\frac{1}{1}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6},\]

\[\frac{4}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{10},\]

\[\frac{4}{7}=\frac{1}{21}+\frac{1}{2}+\frac{1}{42}.\]

¿Qué se sabe hoy ?

  • Con la ayuda del computador, mediante métodos algorítmicos, esta conjetura ha sido validada para todo entero $n$ menor que $10^{17}$.
  • Además, fue demostrada para diversas familias de números. En particular, fue probado por Mordell en 1969 que la conjetura se satisface para todos los números primos que no son congruentes a 1, 121, 169, 289, 361 y 529 módulo 840.

¿Y para las fracciones de la forma $\frac{5}{n}$, $\frac{6}{n}$, etc ?

En 1956, Sierpinski formuló la misma conjetura para las fracciones de la forma $\frac{5}{n}$, donde $n$ es un entero al menos igual a 2. Este problema sigue también aún abierto.

Unas palabras sobre Sierpinski

El matemático polaco Waclaw Franciszek Sierpinski (1882 - 1969) es conocido por sus numerosos trabajos sobre teoría de conjuntos, teoría de números, topología y su trabajo sobre fractales, incluido su famoso mantel de Sierpinski.

Y Andrzej Schinzel, que fue alumno de Sierpinski, enunció una generalización de esta conjetura.

Conjetura :

Para todo entero positivo $k$, existe un entero positivo $N$ tal que, para todo
entero $n\geq N$, existe una descomposición de la fracción $\frac{k}{n}$ en suma de tres fracciones unitarias.

Post-scriptum :

La autora agradece calurosamente a Shalom Eliahou, Bruno Martin y Jean Aymes por su escritura atenta y sus consejos valiosos.

Article original édité par Shalom Eliahou

Notes

[1El papiro del Rhind es expuesto en el British Museum.

[2Aquellas de la forma $\frac{k}{n}$, donde $n$ es un entero estrictamente positivo y $k$ es un entero estrictamente comprendido entre 0 y $n$. Aquí hay una calculadora que, con la ayuda de los diferentes algoritmos que hoy existen, entrega descomposiciones para ese tipo de fracciones.

[3Se denomina longitud lel número de fracciones unitarias que intervienen en la descomposición.

[4Aquí nos referimos ya sea al valor del denominador más grande o de la cantidad de sus factores primos.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «La conjetura de Erdős-Straus» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Crédits image :

Image à la une - La ilustración del Ojo de Horus y de una tesis del egiptólogo G. Möller (en 1911) según la cual las partes del ojo representan las fracciones de la unidad de medida hékat.
Commons Attribution-Share Alike 3.0
Relief du temple de Kôm Ombo (IIe siècle av. J.-C.) comportant une représentation de plusieurs fractions. - Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0

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