La elipse belga y el albañil italiano

Pista verde El 24 julio 2013  - Escrito por  Michèle Audin, Rossana Tazzioli
El 7 octubre 2020  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Ellipse belge et maçon italien Ver los comentarios
Leer el artículo en  

Usted tiene su cono, su plano, su elipse como en la figura rosada y azul, y luego dibuja las esferas tangentes al cono y al plano...

Qué representa esta fotografía?

JPEG - 688.9 KB

Reflejos, contraluz... sin embargo

no, no es una fotografía malograda...

Numerosos artículos ya han sido escritos acerca de los objetos que representan, ilustran o explican alguna noción matemática. Muchos de esos objetos están expuestos en lugares donde trabajan matemáticos. El de aquí, como se ve, está en una biblioteca, la del Instituto Henri Poincaré en París. Varios de los modelos expuestos tienen una historia [1] pero eso no es lo que nos interesa aquí.

... pero puede ser un modelo malogrado

Bonito, pero malogrado [2] en el sentido de que lo que él muestra no está claro si uno no lo sabe antes: un pedazo de bola posado en un soporte de madera, un pedazo de metal, otro pedazo de bola, como una cabeza con un sombrero de payaso. Palabras matemáticas:

  • el sombrero de payaso es un trozo de cono
  • el soporte es otro trozo de cono, un pedazo del mismo cono
  • el pedazo de metal tiene la forma de una elipse (un círculo un poco aplanado)

Vamos un poco más lejos:

  • los dos (pedazos de) bolas son tangentes al cono (el largo de las dos circunferencias que forman el borde)
    Esto es lo que no se puede verdaderamente imaginar si uno no lo sabe antes:
  • las dos bolas son tangentes al plano en el cual se encuentra la elipse.

¿Aún no está claro? Entonces es que realmente el modelo está malogrado. Observe la figura siguiente que nosotros dibujamos con el nombre de ’’teorema belga’’.

JPEG - 21.1 KB
Elipse de Apolonio

Si nosotros le decimos que esas dos figuras representan lo mismo, entenderá sin duda que la elipse de cobre del modelo es la intersección de un cono (bastante virtual) y de un plano (totalmente inexistente).

Elipse de Apolonio...

La intersección de un cono y de un plano es una cónica. Siguiendo la posición del plano (figura siguiente), esta intersección puede tener formas diferentes: parábola (roja), hipérbole (azul) o elipse (verde) [3].

... o del jardinero

Una definición distinta de la elipse: plante dos estacas en la tierra, tome una cuerda, fije cada uno de sus extremos a las estacas. Tense la cuerda con un raspador y raspe... dibujando así en su jardín una linda curva, oval o circular aplanada, dentro de la cual usted podrá plantar pasto o flores, y que en realidad es una elipse. La definición que acaba de inspirarle el jardinero es una definición matemática: el conjunto de puntos cuya suma de distancias (la longitud de la cuerda) con dos puntos dados (las dos estacas) es constante (la cuerda mantiene la misma longitud) es una elipse [4].

Queda explicar por qué esta curva verde que vimos aparecer cortando el cono con un plano, y que bautizamos como ’’elipse’’, es una elipse en el sentido del jardinero. ¿Cómo determinar los dos puntos donde el jardinero planta sus estacas, los focos de la elipse?

Una manera poco elegante de hacerlo sería escribir ecuaciones. Pero afortunadamente, también hay teoremas belgas.

Los teoremas ’’belgas’’

Ellos afirman, en especial, que los enfoques ’’Apolonio’’ y ’’jardinero’’ son equivalentes.

Usted tiene su cono, su plano, su elipse como en la figura rosada y azul, y luego dibuja las esferas tangentes al cono y al plano. En ’’las esferas tangentes al cono’’, la palabra ’’tangente’’ no debe darle miedo: una bola de helado en un cono de barquillo -si usted lo compra donde un heladero corriente- [5], será justamente tangente al cono. Observe la figura rosada y azul. Usted toma una de esas bolas y la infla hasta que toque el plano. Por encima y por debajo.

El teorema de Dandelin afirma que esos dos puntos, los dos puntos donde esas dos esferas tocan el plano, son justamente los focos de la elipse.

Y eso no es ni siquiera difícil de demostrar.

JPEG - 15.2 KB

Llamemos $F$ y $F'$ a los puntos de tangencia de la pequeña y la gran esfera con el plano de la elipse, y $P$ a un punto de la elipse.

Tracemos la ’’generatriz’’ del cono pasando por $P$ (es decir, simplemente, la recta que une $P$ con el vértice del cono). Llamemos $M$ y $M'$ a los puntos donde esta recta es tangente a la pequeña y a la gran esfera.

Las rectas $PF$ y $PM$ son dos tangentes a la pequeña esfera que pasan por $P$, por lo tanto los segmentos $PF$ y $PM$ tienen la misma longitud. Lo mismo para $PF'$ y $PM'$ utilizando la gran esfera. Por lo tanto,
\[PF+PF'=PM+PM'=MM'\]
y, claramente, $MM'$ es constante (no depende de $P$).

Hay enunciados del mismo tipo para las parábolas y las hipérbolas (encontrará los enunciados en el párrafo sobre el tren azul aquí abajo). El conjunto constituye lo que se llama los ’’teoremas belgas’’.

¿Por qué ’’belgas’’?

Porque fueron enunciados por dos matemáticos belgas, Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874) y Germinal Dandelin (1794-1847). Ellos ya eran amigos cuando fueron alumnos en el liceo de Gand. Ambos se interesaban en las matemáticas, pero también en la literatura y la música [6].

Nacido en Francia, Dandelin fue alumno de la Escuela Politécnica y coronel de los ejércitos de Napoleón. Regresó a Bélgica después de la derrota de Napoleón.

Quetelet enseñó en la Universidad de Gand y fue el promotor de una nueva disciplina, la estadística social, que desarrolló en numerosas obras.

Alrededor de 1820, los dos amigos enunciaron teoremas sobre las cónicas y, entre ellos, el teorema de Dandelin. Fue Théodore Olivier, que enseñaba geometría descriptiva en el Conservatorio de Artes y Oficios, quien difundió esos teoremas dándoles el nombre de ’’teoremas belgas’’. Las demostraciones de esos teoremas se desarrollan como simples construcciones de geometría en el espacio, lo que constituye, según Olivier, su verdadera fuerza. Olivier construyó muchos modelos en madera o en metal, que utilizó en sus clases. No sabemos si construyó modelos ’’Dandelin’’ ni lo que habrían llegado a ser esos modelos.

El albañil italiano, el tren azul, los lectores de bibliotecas, tres citas literarias

Para concluir este artículo en el espíritu de la sección Matemáticas en otros lugares, les proponemos tres citas literarias.

La primera pone en escena al albañil italiano que aparece en el título de este artículo. ’’Demuestra’’ que un modelo (en yeso) puede tener virtudes pedagógicas. El albañil italiano es un personaje del libro de Jules Vallès, El Niño.

El Niño

El héroe, Jacques Vingtras, no muy hábil en matemáticas, es enviado a tomar clases particulares [7].

[...] él me pasaba un pequeño libro.

’’Yo lo hice, dijo. ¿Le gusta las matemáticas?...’’

En mi semblante vio que no.

’’¡No ! – Bueno ! Tal vez mi libro le guste de todas maneras. Tenga, viene con una caja al lado.’’

Él me condujo hasta la puerta, sosteniendo siempre sus pantalones y levantando sus anteojos con la punta de los dedos, y escuché que le decía a su perro:

’’Es una lección de cuarenta centavos. Tú tendrás tu sopa, y yo tendré pan.’’

Él había sido enviado donde mi padre, por casualidad, y mi padre le había encontrado una clase particular. Ese era el objeto de la carta.

’’¿Le gusta las matemáticas?’’

[...]

¿Qué había en su caja?

Pedazos de yeso.

¿Y en ese libro? Palabras de geometría.

Al día siguiente, un domingo, en vez de ir donde un amigo, como mi padre me lo había permitido, pasé mi día con el libro y los yesos.

Es el sábado siguiente a mi entrada a clases.

Yo iba muy contento a participarle a este hombre, que me contó su historia.

Se había salvado de morir bajo los golpes de los agentes del rey de Nápoles, que habían venido a detenerle como conspirador, y de quienes se había defendido para salvar documentos que comprometían a otras personas. Es ahí cuando les cortaron los dedos. Pudo arrastrarse hasta un rincón, fue recogido, salvado y enviado a Francia.

’’¡Conspirador ! ¿Usted era conspirador?

– Yo era albañil, por fortuna. Aproveché lo que sabía por mi oficio para hacer esos modelos de geometría. Por cierto: parece que usted comprendió mi sistema.

– Basta con observar y tocar. Tenga, ¿quiere que le explique ?’’

Tomando los yesos que encontré bajo la mano, rehice mi demostración.

’’¡Eso es! eso es ! decía, asintiendo con la cabeza. Uno quiere enseñarles a los niños lo que es un cono, cómo se lo corta, el volumen de la esfera, ¡y les muestran líneas! ¡Líneas! ¡Dénles el cono en madera, la figura en yeso, enséñenles eso, tal como se corta una naranja! ¡Teología, todo su antiguo sistema! ¡Siempre el buen Dios, el buen Dios!

– ¿Qué está diciendo del buen Dios?

– Nada, nada.’’

Pareció que tenía rabia, y volvió a hablarme de la geometría con los hilos y el yeso..

Los modelos del albañil italiano parecen haber sido más exitosos que nuestro modelo en madera y cobre.

El tren azul

No es ciertamente en un tren de lujo que el albañil y conspirador italiano había hecho el viaje que lo llevó a Francia. El tren azul es el ambiente de novelas policiales de Boileau-Narcejac.

En la cita que sigue [8], el héroe, Michel, tomado como rehén, trata de emborrachar a sus secuestradores con un discurso ininterrumpido donde cita la teoría de Dandelin. No todos los días uno encuentra verdaderos enunciados de matemáticas (incluso belgas) en una novela policial. Aquí los enunciados parecen el ejemplo mismo de textos donde uno no entiende nada. Tal vez esos autores observaron nuestro modelo.

Paseando, yo reviso mis clases... No es broma... Lo hago de memoria... ¿Quieren que les recite la teoría de Dandelin ?... (Nuevo vistazo por el retrovisor. El hombre no se había movido). ’’Todo plano paralelo a un plano tangente a un cono de revolución corta el cono siguiendo una parábola. El foco es el punto de contacto con el plano secante de la esfera inscrita en el cono y tangente a ese plano. La directriz [9] es la intersección del plano de contacto entre la esfera y el cono con el plano secante...’’

Se cruzaron con un auto. A la luz de los faros, Michel pudo observar más nítidamente al hombre. Él estaba ahora apoyado contra la ventana, con la boca colgando un poco, como la de un muerto.

’’El lugar de los vértices de los conos de revolución que contienen una parábola dada es la parábola focal de ella. Esta curva es también la envoltura de los ejes de los conos considerados...’’

El automóvil viró en zigzag, bajó la velocidad, y se detuvo.

’’Toda sección plana de un cilindro de revolución es una elipse cuyo eje menor es igual al diámetro del cilindro...’’

Especies de espacios

Para agradecer al lector anónimo cuyo reflejo contribuye a la calidad del logo de este artículo... y a la biblioteca, espacio tranquilizador donde este artículo tuvo su origen, les dedicamos una última cita [10], solo por gusto:

Los lectores estudiosos leen en las bibliotecas. Los profesores hacen sus clases. Los estudiantes toman apuntes. Los contadores alinean columnas de cifras. Los aprendices de pastelero rellenan con crema a la mantequilla hileras de pastelitos. Los pianistas tocan sus escalas. Sentados a sus mesas, meditativos y concentrados, los escritores alinean palabras.

Imagen de Epinal. Espacio tranquilizador.

Post-scriptum :

Además del lector anónimo a quien agradecimos más arriba y a la biblioteca donde este artículo nació, nosotras (MA y RT) agradecemos a Brigitte Yvon-Deyme, la bibliotecaria (del Instituto Henri Poincaré) por las informaciones que nos dio sobre el modelo...

La redacción de Paisajes Matemáticos y nosotras mismas agradecemos a los relectores cuyos nombres o seudónimos son Herve5 y Nicolas Duhamel por el tiempo que se tomaron para releer una versión preliminar de este artículo y por sus sugerencias para mejorarlo.

Artículo original editado por Michèle Audin

Notas

[1ligada por ejemplo a la del Instituto y a las relaciones amistosas de su fundador y primer director Émile Borel con el fundador y primer director del Palais de la Découverte, Jean Perrin

[2Es una opinión. Se puede no estar de acuerdo. El modelo fue realizado por Martin Schilling en Halle (Alemania) a inicios del siglo XX. Schilling fabricó muchos otros, para ilustrar otros teoremas, otras propiedades. Sus modelos en general son mucho más claros.

[3Esas figuras ya fueron utilizadas en otro artículo de este sitio.

[4Se ha hablado ya de cónicas e incluso de elipses en muchos artículos de Images des Mathématiques. Sugerimos usar el motor de búsqueda del sitio para encontrar otros. Nos contentaremos con hacer un vínculo con este, porque de él vienen las figuras de esta parte.

[5Esperamos, por usted, que sepa encontrar también lugares donde las bolas de helado sean más bien como el de esta fotografía.

JPEG - 9.9 KB
Helado de casata de Sicilia

[6Ellos compusieron para el teatro y redactaron el libreto de una ópera, Jean Second, que fue representada en Gand en 1816.

[7El primer volumen de la trilogía autobiográfica del escritor, periodista y partidario del alzamiento de la Commune o ayuntamiento de París de 1871, Jules Vallès, El Niño -de donde fue extraído el texto que sigue- fue publicado en 1879, cuando el autor estaba exiliado en Londres.

[8Es una referencia que nos viene de la página Wikipedia dedicada al teorema de Dandelin.

[9Ya que, además de los focos, las cónicas tienen directrices... Quienes saben lo que es, tienen así el enunciado completo del teorema; los otros pueden dejarse llevar por este mar de palabras.

[10Georges Perec, Especies de espacios.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La elipse belga y el albañil italiano» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Colección privada de las autoras.
Glace à la cassate sicilienne - Michèle Audin
Théorème belge - Michèle Audin pour Mai vu du quai Conti

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

Registros

Este artículo es parte del registro «Matemáticas y literatura» consulte el registro
La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.