La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

Le 3 décembre 2008  - Ecrit par  Benoît Kloeckner Voir les commentaires (7)
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Le restaurant administratif où je me nourris tous les midis possède une fontaine à eau assez classique, munie de deux robinets, qui a une particularité semble-t-il assez répandue : le débit total est le même que l’on actionne un robinet ou les deux. Lorsque deux personnes viennent remplir leur carafe, en général elle le font en même temps, en utilisant les deux robinets. Est-ce vraiment une bonne idée ?

Imaginons qu’une première personne, Alice, arrive à la fontaine pour remplir sa carafe. Juste quand elle va commencer l’opération une deuxième personne, Benjamin, arrive à son tour. Il a le choix entre deux stratégies : actionner le deuxième robinet pour remplir sa carafe en même temps qu’Alice, ou attendre qu’elle ait fini pour commencer.

Lorsqu’un seul des robinets fonctionne, il remplit une carafe en environ 20 secondes. Lorsque les deux robinets sont actionnés, ils remplissent chacun une carafe en 40 secondes. Si Benjamin choisit d’utiliser le deuxième robinet, Alice et lui passeront 40 secondes à la fontaine. Si par contre il choisit d’attendre, Alice n’y passera que 20 secondes, et lui 40 (20 à attendre, 20 pour remplir sa carafe).

Temps passé à la fontaine
Acteur si Benjamin utilise le deuxième robinet si Benjamin attend
Alice 40 secondes 20 secondes
Benjamin 40 secondes 40 secondes

Benjamin ne gagne donc absolument rien à se précipiter sur le deuxième robinet, alors qu’Alice y perd 20 secondes. La meilleure solution globale est donc d’attendre, et de ne jamais utiliser les deux robinets simultanément.

L’optimum au sens de Pareto est un concept d’économie et de théorie des jeux qui décrit bien ce genre de situations, où les intérêts de différents acteurs (par exemple les acteurs économiques : entreprises, consommateurs, état) sont en jeux. La définition est la suivante : on dit qu’une situation est un optimum de Pareto s’il est impossible d’améliorer le résultat pour un acteur sans détériorer celui d’un autre.

Dans le cas qui nous préoccupe ici, il y a deux situations : celle où Benjamin utilise le deuxième robinet et celle où il attend avant de remplir sa carafe. La seconde est un optimum de Pareto, mais pas la première, puisqu’il est possible d’améliorer le résultat d’Alice (réduire son temps de passage à la fontaine de 40 à 20 seconde) sans détériorer celui de Benjamin (dont le temps d’attente total est de toute façon de 40 seconde).

Atteindre un optimum de Pareto est toujours souhaitable (si quelqu’un peut y gagner sans que personne y perde, pourquoi s’en priver ?) Il faut toutefois bien comprendre que tous les optimum de Pareto ne sont en général pas équivalents. Prenons un autre exemple : on dispose de nourriture à distribuer entre les différents acteurs ; leurs besoins sont supposés identiques, et la nourriture est supposée se conserver facilement, de sorte qu’obtenir plus de nourriture est toujours un gain. Si l’on choisit de distribuer toute la nourriture, de quelque façon que ce soit, on se trouve dans un optimum de Pareto : donner encore plus de nourriture à l’un ne peut se faire qu’en en donnant moins à un autre (c’est ce qui s’appelle déshabiller Pierre pour habiller Paul). En particulier, donner toute la nourriture à une personne et rien aux autres est aussi optimal au sens de Pareto que répartir de façon égale la nourriture. On voit donc que cet « optimum » est une notion assez large !

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Pour citer cet article :

Benoît Kloeckner — «La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto» — Images des Mathématiques, CNRS, 2008

Commentaire sur l'article

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  • La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

    le 4 mars 2014 à 16:50, par Mak.H

    Ce n’est pas l’optimum de Pareto qui est décrit ici mais la théorie des jeux. La definition de l’optimum de Pareto est une situation ou il n’existe aucun echange mutuellement avantageux pour les agents (d’où la notion de degradation de la situation d’un agent). Ou est l’echange dans l’exemple ? Le deuxième qui arrive a la fontaine ne donne rien, il a juste à décider de si il fait la fleur au premier de le laisser finir plus vite. Le choix qui s’offre a lui est donc de coopérer ou pas (approche non-coorpérative (c’est a dire individuelle) de la théorie des jeux) sachant que l’exemple s’applique a le définition du jeu : des « joueurs » qui cherche à « gagner » (ici perdre le moins de temps possible a la fontaine), un ensemble de choix possibles appelés stratégies et des règles (ici le debit de l’eau).
    Le second individu ne peut donc pas être mieux mais juste, dans l’exemple, nuire à l’autre. On en arrive par ce lien au dilemme du prisonnier (deux suspects sont interrogés, si les deux passent a tables ils font de la prison tout les deux, si un seul le fait il touche une prime et si aucun ne dénonce l’autre, ils sont libres tout les deux) qui représente effectivement une sous optimalité au sens de Pareto, mais qui ne la définit pas.

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