¡La lógica no es lógica !

Le 2 octobre 2010  - Ecrit par  Pierre Colmez
Le 3 octobre 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La logique c’est pas logique ! Voir les commentaires
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Es lo que me dijo mi hija cuando se le explicó que $p\Rightarrow q$ es verdadero [1] si $p$ es falso. Hay que reconocer que a veces la lógica reserva grandes sorpresas.

El Institute for Advanced Study de Princeton celebró sus 80 años, lo que dio lugar a dos jornadas de gala con conferencias ofrecidas por prestigiosos oradores. En una de ellas, Vladimir Voevodsky nos explicó, probablemente en homenaje a Gödel (uno de los grandes antiguos alumnos del instituto) por qué él pensaba que la aritmética era no consistente. Pensamiento un poco angustiante, pero no totalmente absurdo, al ser la aritmética elemental más misteriosa de lo que uno podría imaginar, como lo muestra el ejemplo de las secuencias de Goodstein.

Uno parte por un natural $n$ que se escribe en base $2$, y los exponentes (y los exponentes de exponentes, etc.) también escritos en base $2$ : por ejemplo
$21$ será escrito bajo la forma $2^{2^2}+2^2+1$. Se reemplaza los $2$ por $3$ ; se quita $1$, se reescribe el resultado en base $3$, se reemplaza los $3$ por $4$, se quita $1$, se reescribe el resultado en base $4$, y uno continúa. Por ejemplo, partiendo de $21=2^{2^2}+2^2+1$, se obtiene sucesivamente
$3^{3^3}+3^3+1$, luego $3^{3^3}+3^3$, luego $4^{4^4}+4^4$, luego $4^{4^4}+3\cdot 4^3+3\cdot 4^2+3\cdot 4+3$, luego $5^{5^5}+3\cdot 5^3+3\cdot 5^2+3\cdot 5+3$, etc. Este último número ya tiene más de $20\,000$ cifras en escritura decimal, y debiese ser más o menos claro que la secuencia explota muy, muy rápido...

Sin embargo, la verdad es que esta secuencia tiende [2] hacia $0$, cualquiera que sea la elección del término inicial $n$ (i.e. es constante, igual a $0$, a partir de un cierto rango), pero que esto no es demostrable [3] en la aritmética ordinaria (de Peano)...

Notes

[1Ella aceptó un poco mejor esto tan extraño cuando su hermana le explicó que su profesora le había dicho que para comprender había que negar la frase : $p\Rightarrow q$ quiere decir que uno no puede tener $p$ sin tener $q$, y por lo tanto el contrario es que uno puede tener $p$ y $\overline q$ (donde $\overline q$ es la negación de $q$), y por lo tanto, que $p\Rightarrow q$ es lo mismo que ’’$\overline p$ o $q$’’, y por lo tanto es verdadero si $p$ es falso.

[2Si todos los términos son no-nulos, y si uno reemplaza por $\omega$ los $2$, $3$, $4$, $5$, etc. que aparecen en las escrituras de los términos sucesivos de esta secuencia, donde $\omega$ es un ordinal infinito, se obtiene una secuencia estrictamente decreciente de ordinales, lo que es imposible...

[3Los ordinales de la anterior nota no son objetos de la aritmética de Peano ; yo no sé cómo se demuestra que el resultado no se puede probar en la aritmética de Peano, y reconozco que esta imprecisión participa en la magia del enunciado...

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¡La lógica no es lógica !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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