C’est ce qu’a déclaré ma fille quand on lui a expliqué que
$p\Rightarrow q$ est vrai [1]
si $p$ est faux.
Il faut bien avouer que la logique réserve parfois des surprises de taille.

L’Institute for Advanced Study de Princeton fête ses 80 ans cette année, ce qui a donné lieu à deux journées de gala avec des conférences données par des orateurs prestigieux. Dans l’une d’entre elles, Vladimir Voevodsky nous a expliqué, probablement en hommage a Gödel (un des grands anciens de l’Institut), pourquoi il pensait que l’arithmétique était non consistante. Pensée un peu angoissante, mais pas totalement absurde, l’arithmétique
élémentaire étant nettement plus mystérieuse que ce que l’on pourrait imaginer comme le montre l’exemple des suites de Goodstein.

On part d’un entier $n$ que l’on écrit en base $2$, les exposants (et les exposants d’exposants, etc.) étant
aussi écrits en base $2$ : par exemple,
$21$ sera écrit sous la forme $2^{2^2}+2^2+1$. On remplace les
$2$ par des $3$ ; on enlève $1$, on réécrit le résultat en base $3$, on remplace les $3$ par des $4$,
on enlève $1$, on réécrit le résultat en base
$4$, et on continue. Par exemple,
en partant de $21=2^{2^2}+2^2+1$, on obtient successivement
$3^{3^3}+3^3+1$, puis $3^{3^3}+3^3$, puis $4^{4^4}+4^4$,
puis $4^{4^4}+3\cdot 4^3+3\cdot 4^2+3\cdot 4+3$, puis
$5^{5^5}+3\cdot 5^3+3\cdot 5^2+3\cdot 5+3$, etc.
Ce dernier nombre a déjà plus de $20\,000$ chiffres en écriture
décimale, et il est clair que la suite explose très très vite...

Pourtant, « la » vérité est que cette suite tend [2] vers $0$, quel que soit le choix du terme initial $n$ (i.e. est constante, égale à $0$, à partir d’un certain rang), mais que
ceci n’est pas démontrable [3] dans l’arithmétique ordinaire
(de Peano)...