La maldición

Le 15 juillet 2012  - Ecrit par  Olivier Courcelle
Le 9 novembre 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Recorriendo las páginas de una vieja obra olvidada en algún rincón oscuro de una polvorienta biblioteca, me volvió a la memoria una siniestra maldición que acosa para siempre esta parte de las matemáticas que uno llama ’’sistemas dinámicos’’.

Newton era un gran hechicero que inventó el cálculo diferencial y formuló la ley de gravitación universal. Con el fin de dar más peso a su teoría, necesitaba encontrar el movimiento real de los astros a partir de sus ecuaciones. Misión cumplida en el caso de dos cuerpos, como la Tierra y el Sol, por ejemplo ; pero en cuanto un tercer cuerpo, como la Luna, entraba en el baile...

Entonces, una noche de luna llena, justamente, como vuelto loco por ese disco brillante que se negaba siempre a someterse a su cálculo, Newton lanzó esa terrible maldición que flota para siempre sobre la comunidad de los dinámicos : ’’Haría falta primero tropezar para tener éxito ahí donde fracasé. Deseo que entre los más dignos continuadores de esta teoría que dejo a los hombres, se encuentre siempre uno cada siglo que no pueda hacer progresos decisivos sin equivocarse antes de manera estridente. Que mi voluntad sea cumplida por los siglos de los siglos’’. 

Fue Alexis Clairaut (1713-1765) quien primero logró conciliar la teoría de la gravitación con la órbita observada de la Luna y, en consecuencia, fue él quien debió primero sufrir la terrible maldición de Newton, ya que Clairaut no consiguió llegar de inmediato al resultado correcto. El cálculo le daba primero un ’’movimiento del apogeo’’ dos veces más débil. Sacando las consecuencias lógicas de su resultado, él anunció durante una gran sesión de entrada pública de la Academia de Ciencias (15 de noviembre de 1747) que la ley de gravitación era falsa.

Gran conmoción en la opinión, acto de protesta en la Academia, posición esencialmente inmovilista de Euler y de d’Alembert, los rivales de Clairaut en el problema, que encontraban por cierto el mismo resultado en el movimiento del apogeo.

Clairaut pensaba de hecho que la ley del cuadrado exigía ser precisada por términos de orden superior. Fue tratando de buscando formularlas que identificó al parecer las aproximaciones indebidas con las cuales él había procedido primero. Veredicto de Euler después de haber tomado conocimiento de los trabajos corregidos de Clairaut :

Yo le felicito con conocimiento de causa [...], y me atrevo incluso a decir que yo veo este descubrimiento como el más importante y profundo que se haya hecho nunca en la matemática [1].

¿Quién otro que Poincaré en el siglo XIX para exponerse a las furias póstumas de Newton ? Fue él quien mostró que la búsqueda de una solución analítica a un problema de tres cuerpos era vana y propuso una teoría cualitativa de los sistemas dinámicos que tenía ’’por sí misma un interés de primer orden’’. En su memoria presentada al gran premio del rey Oscar II de Suecia cometió en efecto un famoso error. Pero fue él mismo quien al corregirla descubrió la existencia de soluciones ’’homoclinas’’, soluciones que conllevan una dinámica muy complicada... Tan complicada en verdad que él prefirió no mostrarla :

Uno estará impresionado por la complejidad de esta figura, que ni siquiera busco trazar. Nada es más adecuado para darnos una idea de la complicación del problema de tres cuerpos y en general de todos los problemas de dinámica [2]...

La figura a la cual Poincaré hacía ilusión escondía un objeto en forma de herradura. Esta simple imagen daba tantas informaciones acerca de la complejidad de la dinámica engendrada por los ciclos homoclinos, que su primer dibujante no podía escapar a la infernal maldición que ya se sabe.

Steve Smale es un gran matemático de más de 80 años, conocido por haber resuelto la conjetura de Poincaré en dimensión superior o igual a 5, que frecuentaba asiduamente las playas de Rio de Janeiro, daba vueltas una esfera con la única fuerza de su pensamiento, etc. Ahora bien, un día que él se había propuesto caracterizar los sistemas dinámicos ’’estructuralmente estables’’, es decir, que resisten las perturbaciones, los que en el fondo existen en la naturaleza, él conjeturó que esos sistemas presentaban una dinámica especialmente simple : todo debía converger hacia un número finito de órbitas periódicas... El efecto innegable de la zancadilla secular de Newton. Y es precisamente al dibujar su herradura que Smale comprendió toda la extensión de su error [3].

El problema con esta historia, evidentemente, es que uno no conoce su fin. Entonces ¿quién será el dinamista maldito del siglo XXI ? ¡El porvenir lo dirá seguramente !

PS. Gracias a Étienne Ghys por sus pertinentes comentarios a una versión anterior de este artículo

Notes

[1Clairaut a Euler, 10 abirl1751

[2Barrow-Green (June), Poincaré and the Three Body Problem, American Mathematical Society, 1996.

[3From Topology to Computation : Proceedings of the Smalefest, Morris W. Hirsch, Jerrold E. Marsden, Michael Shub eds., Springer, 1993.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La maldición» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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