La medida de las figuras del plano

De Janos Bolyai a Hugo Hadwiger

Piste bleue Le 23 juillet 2020  - Ecrit par  Yves Coudène
Le 12 août 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : La mesure des figures du plan Voir les commentaires
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Sobre la imposibilidad de transformar un triángulo apuntando hacia arriba en uno apuntando hacia abajo con solo cortes y traslaciones.

En el artículo Un triángulo y un enigma, habíamos formulado la pregunta siguiente :

Se puede descomponer un triángulo equilátero que apunta hacia arriba en un número finito de piezas y luego ensamblarlas para que quede apuntando hacia abajo solo trasladando las piezas [1] ?

Veremos en este artículo que esto es imposible. Es un problema que sin duda habría excitado (y enriquecido) a Sam Loyd, pero la solución no era conocida en su época. El final de esta historia data de los años 50. Explicaremos dónde se sitúa este problema ; pero antes, volvamos a la escuela y sus nociones de área y perímetro.

Invariancia del área y del perímetro

Comencemos señalando que no es posible cortar un cuadrado en un número finito de piezas poligonales y luego moverlas para obtener un cuadrado dos veces más grande. La operación de corte y las isometrías del plano preservan el área, por lo que debemos tener la misma área al inicio y al final de la construcción. Tratemos de aclarar esto.

La noción de área se remonta a la antigüedad. Los griegos la definen primero para triángulos (base x altura ...) y luego la extienden a figuras más generales [2], como el disco o las cónicas, por un método que consiste en llenar o cubrir la figura con triángulos.

Así definida, el área es claramente invariante por isometrías del plano, en particular, por traslaciones y rotaciones. Además, ella posee la propiedad siguiente : si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces el área de la unión de A y B (denotada $A \cup B$ [3]) es igual a la suma de las áreas de A y B. Si no son disjuntos, se debe restar el área de la intersección (denotada $A \cap B$ [4]) para obtener el área de la unión :
\[ área(A \cup B) = área(A) + área(B) - área(A \cap B) \]

Hablaremos de medidas aditivas para denotar cantidades que satisfacen la igualdad precedente. El área no es la única medida aditiva que se puede definir en las figuras del plano. Por ejemplo, el perímetro -definido como se hace habitualmente, es decir, sumando las longitures de los lados- también es aditivo.

perímetro área
rectángulo 16 15
cuadrado 12 9
intersección 8 4
unión 20 20

Atención : ¡un segmento de recta tiene un perímetro igual al doble de su longitud ! La noción de perímetro es posteriormente extendida a figuras más generales mediante un paso al límite. Fue usando este método que Arquímedes dio un valor aproximado del ’’$\pi$erímetro’’ del disco, $2\pi \simeq 44/7$, aproximándolo por polígonos.

Los matemáticos griegos estaban entonces bastante conscientes de que el perímetro y el área son, en cierto sentido, operaciones continuas [5] que pueden ser calculadas mediante aproximación por polígonos.

El teorema de clasificación de Hadwiger

Hay una tercera medida aditiva definida para figuras planas, llamada característica de Euler. Describámosla brevemente : figuras elementales como puntos, segmentos, rectángulos o triángulos [6] tienen una característica de Euler igual a uno. Una figura compuesta por un número finito de segmentos, triángulos o rectángulos desarticulados de dos en dos tiene una característica igual al número de segmentos, triángulos y rectángulos que la componen. Finalmente, la característica de una figura general se calcula dividiéndola en figuras elementales y usando la aditividad.

En el siguiente dibujo, obtenemos la característica de Euler de un rectángulo con agujeros dividiéndolo en una unión de dos partes, cada una compuesta de dos rectángulos.

característica de Euler perímetro área
los dos rectángulos horizontales 2 16 6
los dos rectángulos verticales 2 16 6
intersección 4 16 4
unión 0 16 8

Sucede que no existe ninguna otra medida aditiva definida sobre la familia de figuras del plano que sea invariante por rotaciones y traslaciones. Los matemáticos de la Grecia antigua habrían sin duda alguna apreciado este resultado, pero hubo que esperar hasta 1959 para que fuese demostrado en toda generalidad.

Teorema (Hadwiger, 1959)

Toda medida aditiva continua [7] invariante por isometrías directas (más precisamente, por traslaciones y rotaciones del plano) puede expresarse como una función del área, del perímetro y de la característica de Euler (de hecho, como una suma ponderada) [8].

Una medida misteriosa

¿Sigue siendo cierto el resultado si nos interesan las medidas aditivas solo por las traslaciones -y no necesariamente por las rotaciones- ? ¡La respuesta es no !. Sorprendentemente, existe una medida aditiva continua, invariante por las traslaciones del plano, que es diferente de las medidas descritas en el teorema anterior. Esto es lo que permitirá mostrar que no podemos invertir un triángulo usando solo traslaciones.

Llamemos sombreros puntiagudos los triángulos que apuntan hacia arriba y cuyos tres lados son de longitud igual a uno. Del mismo modo, los sombreros caídos son los triángulos con lados de longitud uno y que apuntan hacia abajo. La medida misteriosa mm se construye usando la siguiente fórmula.

mm (polígono) =

área (polígono + sombreros puntiagudos) - área (polígono + sombreros caídos)

La expresión ’’polígono + sombreros puntiagudos’’ designa la parte del plano compuesta de todos los sombreros puntiagudos centrados en puntos del polígono, como se muestra en el dibujo a continuación :

De igual manera, la fórmula ’’polígono + sombreros caídos’’ designa la parte del plano obtenida usando sombreros caídos en lugar de puntiagudos.

Obtenemos así sos polígonos ’’espesos’’, y tomamos la diferencia entre sus áreas. En el caso de un rectángulo, ambos tienen la misma área. La medida misteriosa del rectángulo es por tanto nula. Sin embargo, la situación es bien diferente para un triángulo.

El área de ’’sombrero caído + sombreros puntiagudos’’ vale seis veces el área del sombrero caído, mientras que el área de ’’sombrero caído + sombreros caídos’’ vale cuatro veces el área del sombrero caído. La medida misteriosa del sombrero caído es por tanto igual al doble de su área.

Para el sombrero puntiagudo, se puede calcular su medida misteriosa simplemente invirtiendo la figura precedente. Observamos entonces que ella es negativa, igual a la opuesta de la del sombrero caído...

El corte imposible

Se puede demostrar que esta medida misteriosa es aditiva e invariante por traslación (esto requiere de algunos calculos...) Como la medida del sombrero puntiagudo es diferente de la del sombrero caído, no puede haber cortes que permitan pasar de uno a otro por traslación. en efecto, la suma de las medidas de las diferentes partes involucradas en el corte debe ser igual a la medida del triángulo inicial, pero también a la medida del triángulo final, porque el valor de cada término que aparece en esta suma no es modificado por el proceso de traslación que aplicamos a cada una de las piezas.

En 1996, Rolf Schneider obtuvo una clasificación de las medidas aditivas continuas e invariantes por las traslaciones del plano y, en general, del espacio. El estudio de las propiedades de estas medidas es un tema de investigación muy activo en la actualidad. Los problemas que acabamos de discutir en este artículo pertenecen al dominio de geometría integral. Los estudiantes que deseen ir más lejos en este tema pueden consultar el libro de Daniel A. Klain y Gian-Carlo Rota [9]

Post-scriptum :

Agradezco a Aziz El Kacimi, amic y Christian Mercat por sus relecturas atentas y sus comentarios.

Article original édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Subentendemos que las piezas aludidas son poligonales.

[2Más precisamente, los subconjuntos del plano que son uniones finitas de partes convexas compactas.

[3Se trata del conjunto de puntos que están en A o en B.

[4Se trata del conjunto de puntos que están a la vez en A y B.

[5En el sentido de la distancia de Hausdorff sobre los subconjuntos convexos compactos del plano. Esta distancia es tratada en este artículo de Pierre Lecomte.

[6Y más generalmente, cualquier subconjunto convexo compacto.

[7Continua en el sentido siguiente : para toda sucesión de subconjuntos convexos compactos que converge según la distancia de Hausdorff, el límite de las medidas es igual a la medida del límite.

[8Por ejemplo, dos veces el área menos un tercio del perímetro.

[9D. Klain, G-C. Rota, introduction to geometric probability, Lezioni Lincee. Cambridge University Press.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «La medida de las figuras del plano» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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