Maxime se enfrenta a su cocina, pensativo. Su familia le encomendó una misión de suma importancia : embaldosar la habitación con baldosas hexagonales. Por si fuera poco, sus hijos discutían sobre la elección de los colores, amarillo o azul (los niños a veces tienen gustos sorprendentes). Como a Maxime no le gustan los conflictos, decidió elegir el color de las baldosas de forma aleatoria y justa. Cada vez que coloque una baldosa, elegirá su color lanzando una moneda. Lanza una moneda : ¡cruz ! La primera baldosa es amarilla. La coloca en la esquina más alejada de la puerta. Lanza nuevamente su moneda : ¡cara ! La baldosa adyacente a la anterior es azul. Muy rápidamente, Maxime se preguntó por el resultado final, no por la belleza de su futura cocina, sino por su carácter lúdico. Por ejemplo, ¿será posible cruzar la habitación caminando solo sobre hexágonos azules contiguos ? O, si prefiere caminar sobre las líneas que separan los hexágonos azules de los hexágonos amarillos, ¿cuántos pasos le tomará, comenzando desde la puerta, para llegar a la pared opuesta ?

Más allá de su apariencia lúdica, las preguntas de Maxime han interesado a matemáticos y físicos durante más de un siglo. La coloración aleatoria de una red (aquí los hexágonos forman una red de panal) es el llamado patrón de percolación (del latín ’’percolare’’, fluir a través). El origen etimológico de este modelo viene de la percolación de un líquido a través de un material poroso, por ejemplo, agua a través del café molido.

El verdadero estudio científico de los patrones de percolación comenzó con el trabajo del ingeniero Simon Broadbent y el matemático John Hammersley en Inglaterra. Ellos introdujeron un modelo de este tipo en 1957 para comprender cómo el polvo podría obstruir las máscaras antigás. Desde entonces, la percolación nunca ha dejado de despertar el interés de los científicos, en particular, porque se encuentra de una u otra forma en muchos fenómenos : flujo de un fluido en un material poroso, gelificación de un líquido, propagación de un incendio o epidemia, paso de corriente eléctrica a través de una mezcla de materiales conductores y aislantes, etc.

Tomemos el ejemplo de los incendios forestales. Estos se caracterizan por el hecho de que el fuego se propaga de un árbol a otro si sus hojas se tocan entre sí. Si un bosque se modela mediante un conjunto de hexágonos, algunos ocupados por un árbol y otros no, el estudio de la propagación del fuego equivale a estudiar los grupos de árboles adyacentes. Eso sí, los incendios de copas de árboles no son los más frecuentes. En general, el fuego se propaga principalmente a través de las raíces y no a través del follaje. Por lo tanto, un modelo de percolación es solo una caricatura de un fenómeno más complejo.

Un modelo simple pero rico

Sin embargo, la simplificación permite identificar ciertas propiedades intrínsecas, independientes de los detalles específicos del fenómeno en consideración. Así, hace algunos años en la École Polytechnique, Bernard Sapoval estudió los fenómenos de corrosión y notó sorprendentes similitudes con las propiedades de la percolación (ver la figura a continuación). Más recientemente, en 2008, la teoría de la percolación permitió a un equipo anglo-holandés comprender las epidemias de peste que atacan a los grandes jerbos en Kazajistán.

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En este artículo nos limitaremos al modelo simple de percolación geométrica que constituye el embaldosado de una habitación mediante hexágonos. Veremos que las respuestas a las preguntas de Maxime, y a otras del mismo tipo, no solo sorprenden, sino también hacen de la percolación un modelo fecundo.

Ir de lado a lado

Volvamos a la primera pregunta de Maxime. Una vez que se complete el embaldosado, ¿será posible cruzar de una pared a otra caminando solo sobre hexágonos azules adyacentes ? Como Maxime se hizo la pregunta antes de colocar los azulejos en su cocina, no puede decir si la habitación será transitable o no : la elección del color de los azulejos es aleatoria, por lo que no tiene la información necesaria.

Es imposible saber a priori si la habitación será transitable o no, pero podemos estimar la probabilidad de que así sea. Un jugador de lotería no sabe si ganará o no, pero puede calcular la probabilidad de acertar el premio mayor : teniendo en cuenta que todos los números tienen la misma posibilidad de ser el número ganador, la probabilidad de que el jugador gane vale $1 /N$, donde $N$ es el número de números posibles (para la lotería francesa, $N$ equivale a alrededor de $19$ millones). En nuestro caso, también podemos preguntarnos qué posibilidades tiene Maxime de poder cruzar su pieza. El cálculo será mucho más complejo que para la lotería.

Imagina que la cocina de Maxime es cuadrada. En este caso particular, calcular la probabilidad de que haya un camino de una pared a la otra es bastante sencillo. Podemos notar que nos encontramos ante una alternativa : o hay un camino de hexágonos azules que van de izquierda a derecha, o hay un camino de hexágonos amarillos que van de arriba abajo que impide que exista un camino de hexágonos azules que vayan de de izquierda a derecha (ver la figura de abajo). Además, la probabilidad de que un camino amarillo cruce de arriba abajo es la misma que un camino azul se cruce de izquierda a derecha, ya que la pieza es un cuadrado y el problema sigue siendo el mismo si intercambiamos amarillo y azul (el la elección del color se hace con las dos probabilidades iguales a $1/$2). Así, podremos cruzar en la mitad de los casos, lo que significa que la probabilidad de cruzar es $1/2$. En conclusión, la pregunta de Maxime admite una respuesta elemental para una cocina cuadrada y dos colores equiprobables.

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A continuación, salvo que se indique lo contrario, supondremos siempre que los dos colores tienen la misma probabilidad, lo que corresponde a la llamada percolación crítica, la situación más interesante y para la que existen potentes métodos de análisis teórico.

Acabamos de considerar el caso de una habitación cuadrada. ¿Qué pasa cuando la habitación ya no es cuadrada, sino rectangular ? Esta pregunta fue planteada por primera vez en 1894, en una forma algo diferente, por el matemático estadounidense De Volson Wood en la revista mensual The American Mathematical Monthly. Luego, el editor comentó : “Este es un muy buen problema, y ​​si alguien nos brinda una solución completa, la publicaremos en el próximo número’’. Era demasiado optimista, porque la pregunta permaneció abierta durante más de un siglo...

Primero podemos notar que el argumento usado para una pieza cuadrada ya no funciona en el caso de un rectángulo, ya que la probabilidad de un camino azul de izquierda a derecha ya no es la misma que la probabilidad de un camino amarillo hacia arriba y hacia abajo. A decir verdad, es imposible calcular exactamente la probabilidad de poder cruzar. Sin embargo, nos puede interesar una cuestión muy cercana.

Cuando el tamaño de las baldosas tiende a cero

Hasta ahora, no hemos especificado el tamaño de la habitación o, de manera equivalente, el tamaño de los hexágonos. Si Maxime pavimenta su cocina cuadrada de tres metros por tres metros con hexágonos de diez centímetros de lado, o tres centímetros, el razonamiento anterior para la habitación cuadrada sigue siendo válido y la probabilidad de poder atravesar la habitación sigue siendo igual a $1/2$. Pero si la cocina es de tres por cuatro metros, el resultado dependerá a priori del tamaño de los hexágonos.

Llevemos más lejos el razonamiento e imaginemos un mosaico por hexágonos de un micrómetro, un nanómetro, etc. Considerando así fichas hechas de hexágonos cada vez más pequeños, la probabilidad de cruce se aproxima cada vez más a un valor calificado como probabilidad límite. Dado que la percolación es un modelo relevante solo para sistemas que contienen un número muy grande de hexágonos, la aproximación que consiste en suponer que el tamaño de los hexágonos tiende a cero es natural. ¿Cuál es el valor de la probabilidad límite para una pieza rectangular ?

La respuesta a esta pregunta llegó en varias etapas. En primer lugar, llamemos “límite de escala” de la percolación al modelo obtenido haciendo tender hacia cero el tamaño de los hexágonos. Muchos otros modelos de física estadística (disciplina que estudia los sistemas compuestos por un número muy elevado de partículas) admiten un límite de escala. Sin embargo, se muestra que el límite de escala de los modelos bidimensionales de la física estadística puede describirse mediante una teoría cuántica de campos bidimensional. Siendo la física de campos un campo muy desarrollado de la física, esta conexión es crucial para el estudio de modelos planos.

En 1984, los físicos rusos Belavin, Polyakov y Zamolodchikov, los tres de nombre Alexander, presentaron argumentos que mostraban que estos campos bidimensionales, límites de los modelos bidimensionales de la física estadística cuando el tamaño de cada elemento tiende a cero, tienen un inmenso grupo de simetrías : el grupo de las ’’transformaciones conformes’’. Se trata de transformaciones del plano que conservan los ángulos en cada punto, pero no necesariamente las distancias. Los ejemplos más simples son traslaciones, rotaciones y homotecias, pero hay un número infinito de otros. De hecho, se demuestra que cualquier función $f$ de una variable compleja $z$ que sea analítica e inyectiva representa una transformación conforme en el plano (’’analítica’’ significa que en la vecindad de cualquier punto $z_0$, $f( z )$ se puede expresar como una suma posiblemente infinita de potencias enteras de $(z – z_0)$ Los ejemplos de funciones analíticas incluyen polinomios, seno, coseno, función raíz cuadrada (cuando se define correctamente para números complejos), etc. El notable predicción $BPZ$, llamada así por sus tres autores, dio origen a todo un campo de la física : la teoría de campos conformes, cuyas ramificaciones llegan hasta la teoría de cuerdas.

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Del cuadrado al rectángulo

En el caso de la percolación y sus probabilidades de cruzar de un lado al otro, la predicción BPZ implica que la probabilidad límite es idéntica en dos habitaciones diferentes siempre que una de ellas pueda transformarse en la otra mediante una transformación conforme. Esto es lo que permitió al físico británico John Cardy predecir, a principios de la década de 1990, el valor de la probabilidad límite.

La fórmula de la probabilidad límite de que un rectángulo sea transitable que él dio es una expresión complicada que involucra las llamadas funciones hipergeométricas. Sin embargo, el matemático sueco Lennart Carleson (Premio Abel en 2006 por todo su trabajo) notó que adquiere una forma particularmente elegante cuando la habitación tiene la forma de un triángulo equilátero con lado unidad (ver la figura a continuación). Más precisamente, sean $A, B$ y $C$ las esquinas de esta pieza. Como hasta ahora hemos considerado habitaciones con cuatro paredes, para no detener nuestro razonamiento coloquemos la cuarta esquina $D$ de la habitación en el segmento $ca$ (de longitud uno), a distancia $x$ de $A$. Entonces tenemos una habitación con cuatro paredes, $AB, BC, CD$ y $DA$. La fórmula de Cardy es entonces muy simple : la probabilidad límite de que podamos cruzar de la pared $DA$ a la pared opuesta $BC$ es igual a $x$. Este resultado no sorprende cuando $x = 1/2$, pudiendo adaptarse a este caso particular el razonamiento realizado en el caso del cuadrado. Por otro lado, para valores distintos de $x$, es simplemente asombroso.

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J. Cardy se había basado en muchos resultados de la teoría de campos conformes aún no probados. Quedaba pues demostrar rigurosamente su fórmula. La última piedra del edificio la puso en 2001 el matemático ruso Stanislav Smirnov, de la Universidad de Ginebra : finalmente dio, con 107 años de retraso, la respuesta esperada por el editor de The American Mathematical Monthly (nótese que la pregunta se hizo originalmente para una pieza de tamaño fijo, no en el límite de escala). Se llama fórmula de Cardy-Smirnov. La elegante demostración de S. Smirnov, que cabe en unas pocas páginas, hace un uso fundamental de las transformaciones conformes. Le ha valido a este investigador numerosos premios, en particular una medalla <lexicon|mot=Fields> en 2010.

Fractales y Random

Veamos ahora la segunda pregunta de Maxime. Supongamos que está en el umbral de su cocina, en la intersección de dos hexágonos del borde de su pieza, uno azul a su izquierda y uno amarillo a su derecha. Su objetivo es atravesar la habitación caminando sobriamente a lo largo de las uniones de los hexágonos, con la única regla de dejar los hexágonos azules a su izquierda y los amarillos a su derecha.

Tenga en cuenta que Maxime no tiene elección cuando no está en el borde de la habitación embaldosada : en cada nuevo paso, descubre frente a él un hexágono, azul o amarillo, que determina la dirección (izquierda o derecha) hacia donde debe ir. La única indeterminación llega cuando toca el borde. En este caso, gira de tal forma que le será posible llegar al borde opuesto sin cortar el camino ya recorrido (ver la figura siguiente). La curva que se obtiene siguiendo la trayectoria de Maxime se denomina ’’proceso de exploración’’. Este proceso termina tan pronto como Maxime toca la pared opuesta. Responder a la pregunta de Maxime se reduce a estimar la longitud de la curva.

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La curva de exploración puede describir un objeto físico como una interfaz o un límite. Imaginemos que el borde del dominio a la derecha de Maxime está completamente coloreado de amarillo y representa la arena de la playa, mientras que el borde de la izquierda está coloreado de azul y representa el mar. El proceso de exploración describe entonces la frontera entre el el mar y la playa, el mar que contiene islotes y la playa que contiene charcos.

En cuanto a la probabilidad de cruzar una habitación, podemos proceder a la aproximación que consiste en hacer que el tamaño de los hexágonos tienda a cero. Los matemáticos y físicos esperan entonces que el proceso de exploración tome la apariencia de una curva aleatoria. ¿De qué tipo ? En 1999, Oded Schramm, un brillante matemático israelí que murió en 2008 en un accidente de montaña, presentó un candidato natural para esta curva. Utilizando el trabajo que data de 1923 de Charles Loewner, un matemático nacido en la República Checa, Schramm descubrió una familia de curvas planas aleatorias construidas a partir de transformaciones conformes y movimiento browniano unidimensional. Estas curvas continuas y aleatorias (ver la segunda imagen de la primera figura), parametrizadas por un número real $\kappa$, se denotan $SLE(\kappa)$ (por Schramm-Loewner Evolution). Son fractales aleatorios, es decir, curvas aleatorias que tienen el mismo aspecto independientemente de la escala en la que se examinen.

Schramm había conjeturado vínculos entre los límites de escala de varios modelos bidimensionales y las curvas $SLE(\kappa)$, en particular $SLE(6)$ para la filtración descrita aquí.

En 2001, S. Smirnov (nuevamente...) logró demostrarlo para la percolación.
Volvamos a la cantidad de pasos necesarios para cruzar la habitación o, en otras palabras, la cantidad de pasos de exploración sigilosa. El resultado de S. Smirnov permite aproximarse a la trayectoria de exploración mediante una curva continua $SLE(6)$. No podemos calcular la longitud de esta última, ya que es fractal (¡su longitud sería infinita !). Por otro lado, podemos calcular su dimensión fractal, ligada al número de hexágonos de tamaño $L$ que son necesarios para cubrirlo por completo. Cuando $L$ tiende a cero, se demuestra que este número tiende a infinito de la misma manera que $1/L^{4/3}$, y la dimensión fractal de la curva de exploración es entonces igual a $4/3$. Para una línea, el número de hexágonos aumentaría como $1/L$, por lo tanto, la dimensión fractal igual a $1$, como se esperaba.

El hecho de que se necesiten $1/L^{4/3}$ hexágonos de tamaño $L$ para cubrir la curva continua implica que el número de hexágonos necesarios para cubrir la curva de exploración discreta es del orden de $1/L^{4 /3}$. Si los hexágonos de la baldosa también son de tamaño $L$, este número corresponde exactamente al número de pasos necesarios para cruzar la habitación. Por supuesto, el razonamiento anterior es aproximado, pero puede hacerse riguroso. Es posible extraer de la curva continua la información necesaria para comprender el comportamiento del modelo discreto. El límite de escala es principalmente útil por esta razón : proporciona un objeto muy simétrico que se puede estudiar más fácilmente.

Imaginemos que el tamaño de los hexágonos del mosaico de Maxime es de diez centímetros (0,1 metros) y que la pieza tiene diez metros de punta a punta. Entonces omará alrededor de $(10/0,1)^{4/3} = $317 pequeños pasos a Maxime poder cruzar la cocina. Se pueden hacer muchas otras preguntas sobre este modelo de percolación. Supongamos, por ejemplo, que uno de sus hijos hubiera engañado a Maxime para que le proporcionara una moneda sesgada. Esto arrojará cara con probabilidad $p$ y, por lo tanto, sello con probabilidad $1 – p$, pero $p$ ya no vale $1/2$. Entonces, la situación es muy diferente del caso $p = 1/2$, donde los números de celdas amarillas y azules están balanceados. Si $p < 1/2$, en su mayoría veremos hexágonos amarillos. Por el contrario, cuando $p > 1/2$, dominan los azules.

Un ejemplo de sistema crítico

Imagina que estamos considerando hexágonos cada vez más pequeños ; o, lo que es lo mismo, que los hexágonos sean de tamaño fijo y que consideremos una cocina cada vez más grande. Una pregunta natural es : ¿cuál es la probabilidad de que uno pueda llegar al borde de la habitación comenzando desde el centro y caminando solo sobre hexágonos azules ?

Cuando $p < 1/2$, casi seguro estamos en una pequeña isla de la que nos será imposible escapar : la probabilidad de poder llegar al borde por un camino azul tiende a 0 cuando la cocina crece. Por otro lado, cuando $p > 1/2$, la probabilidad de poder escapar se mantendrá por encima de cierto valor, independientemente del tamaño de la moneda. De hecho, si extendemos la habitación hasta el infinito, un hexágono pertenecerá a un camino infinito de hexágonos azules contiguos con una probabilidad positiva. Este fenómeno constituye la transición de fase de percolación y fue probado en 1982 por Harry Kesten de la Universidad de Cornell.

Ejemplos para :

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Los físicos dicen que un sistema se encuentra en un estado crítico si cualquier mínima variación en los parámetros provoca un trastorno general del sistema. Un ejemplo de la física es el cambio de estado de agua líquida a hielo cuando la temperatura alcanza los 0°C. El valor $p =1/2$ es por tanto el valor crítico del modelo de percolación. Si disminuimos un poco $p$, obtenemos un continente de hexágonos amarillos que se extiende de un extremo a otro de la red ; si aumentamos $p$ un poco, obtenemos en cambio un mar de hexágonos azules.

El comportamiento de un sistema durante una transición de fase se describe mediante propiedades macroscópicas del sistema, las llamadas cantidades termodinámicas. Para la percolación, se puede por ejemplo estudiar la densidad $\theta(p)$ del grupo de hexágonos azules y contiguos que se extiende de un extremo al otro de la red, es decir, la proporción media de hexágonos azules pertenecientes a este conjunto (el conglomerado es único y el modelo es invariante bajo traslación, por lo que es posible definir este promedio). Esta densidad es 0 para $p < 1/2$ y es estrictamente positiva para $p > 1/2$. Estudiar la transición de fase significa, por ejemplo, examinar cómo se comporta $\theta(p)$ cuando $p$ se acerca a $1/2$ por valores más altos. En dimensión $2$, gracias al resultado de la invariancia conforme, se demuestra que $\theta(p)$ decrece hacia $0$ como $(p – 1/2)^{5/36}$.

El trabajo de Stanislas Smirnov permite comprender el comportamiento de otras cantidades termodinámicas en el modelo, como la longitud de correlación. Esta es una medida de la distancia hasta la cual dos puntos en el sistema se influencian entre sí. En el punto crítico de un sistema, la longitud de la correlación tiende al infinito según una ley que, a veces, es posible determinar.

Otros grafos y otras dimensiones

La filtración se describió en el artículo sobre una red de hexágonos, pero el término filtración se refiere a una familia de patrones mucho más grande.
Imagina un grafo, es decir, un conjunto de puntos, llamados vértices, y líneas, llamadas aristas, que conectan algunos de estos vértices. Un mosaico de hexágonos forma un grafo : los vértices son los puntos de intersección de tres hexágonos y los bordes son simplemente los bordes entre los hexágonos. Una percolación de aristas en un grafo es el proceso que se obtiene cuando cada arista se borra con una cierta probabilidad p, quedando todo lo demás igual. Obtenemos entonces de nuevo un grafo que tiene los mismos vértices, pero solo un subconjunto de sus aristas.

También podemos considerar la percolación en una cuadrícula (una red de cuadrados). Aunque este modelo es un poco diferente del modelo hexagonal descrito en el cuerpo del texto, comparte muchas particularidades con él. Por ejemplo, también exhibe una transición de fase que tiene las mismas propiedades que la percolación en hexágonos.

Esta semejanza entre modelos a priori diferentes se llama universalidad : las propiedades macroscópicas de estos sistemas no dependen de la geometría local (hexagonal/cuadrada), sino solo de propiedades generales (aquí, la independencia entre las diferentes caras/aristas).

Además, la percolación no está restringida a la dimensión $2$. Por ejemplo, podemos estudiar la percolación en una red tridimensional. Esta es mucho más misteriosa que la filtración en la red planar hexagonal. Estar en tres dimensiones complica mucho la tarea, y algunas cuestiones muy elementales se encuentran entre los problemas más importantes de la física estadística. Por ejemplo, para demostrar que $\theta(p_c)=0$ en $\mathbb Z^3$, es decir, el hecho de que no es posible pasar de 0 a infinito cuando el parámetro $p$ es exactamente igual a $p_c$, constituye una de las principales conjeturas de la teoría de probabilidades (este resultado se conoce en dimensión 2). Nótese que la dimensión 3 es la del espacio en el que vivimos y, por lo tanto, es tanto más fundamental entenderla.

Paradójicamente, la percolación sobre grafos $\mathbb Z^d$ para $d\gg 3$ se entiende mucho mejor, porque estos grafos se asemejan a árboles, es decir, grafos sin caminos cerrados. La percolación en los árboles es mucho más fácil de analizar y tiene interpretaciones en términos de filogenia.

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Conclusión

El estudio de una transición de fase que ocurre para un valor crítico de un parámetro está en el corazón de la física estadística actual. Los modelos de percolación, cuya formulación es simple, incluso lúdica, se enmarcan en este contexto. Al igual que otros modelos de la física estadística, resultan de gran interés para la física, la biología y otras ciencias, y ofrecen a los matemáticos un campo de juego que aún está lejos de agotarse.

Bibliografía

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• G. Grimmett, Percolation, Springer, 1999.

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• V. Beffara et H. Duminil-Copin, Lectures on planar percolation with a glimpse of Schramm-Loewner Evolution, juin 2011 (www.unige.ch/ duminil/publi/lecture_notes_percolation.pdf).

• S. Smirnov, Towards conformal invariance of 2D lattice models, International congress of mathematicians, vol. II, pp. 1421-1451, European
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• W. Kager et B. Nienhuis, A guide to stochastic Löwner evolution and its applications, 2006 (http://arxiv.org/abs/math-ph/0312056).