La persecución de la liebre por un perro

Pista azul El 28 marzo 2015  - Escrito por  Jacques Sesiano
El 29 junio 2020  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : La poursuite du lièvre par un chien Ver los comentarios
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Muchos problemas considerados como recreaciones matemáticas se originan en situaciones de la vida cotidiana; solamente -y es por ello que adquieren una calificación como recreaciones matemáticas- las condiciones impuestas se vuelven poco verosímiles e incluso inverosímiles.

El problema de los dos correos es el siguiente: el primero se pone en camino, y un segundo -ya sea posteriormente o al mismo tiempo pero desde un lugar más alejado- debe encontrarse con él. El recorrido diario del segundo debe ser mayor al del primero, o llegar a serlo. En este segundo caso se puede imponer, para comodidad del cálculo, que su avance diario crezca uniformemente según una progresión aritmética (lo que el lector deseoso de representar esta situación en la vida corriente apenas podrá concebir). Incluso se puede imponer que este aumento vaya en progresión geométrica, lo que parecerá realmente absurdo. Evidentemente, se puede también aplicar estas condiciones al primer correo, con la única restricción de que al final este se junte con aquel [1].

Semejantes problemas, con esos tres tipos de condiciones, eran comunes en la Edad Media, no solamente para hacer las matemáticas más placenteras al estudiante, sino también para acostumbrarlo al cálculo (en el caso particular de las dos últimas condiciones, para el cálculo de la suma de las secuencias aritmética y geométrica). Es seguro que esos problemas se remontan a la Antigüedad: algunos ejemplos fueron transmitidos, reaparecieron ya sea en los primeros siglos del Imperio Bizantino, ya sea en escritos en árabe desde los primeros siglos de la Hégira, ya sea en la Alta Edad Media. Pero el problema de las persecuciones tomó también otra forma en Occidente: la del perro tras una liebre y, a veces, también con otro animal. Vamos a tratar los casos simples del problema de los dos correos, después del cual examinaremos el caso del perro y de la liebre, que ilustraremos con algunos ejemplos medievales o de principios del siglo XV [2].

I. Los dos correos

1. Caso de velocidades constantes

Sea $d$ la distancia inicial entre los dos correos y $a_1$, $a_2$ sus avances diarios, naturalmente con $a_2>a_1$ para que el segundo pueda alcanzar al primero. Como el avance del primero reduce cada día en $a_2-a_1$ el tiempo de la persecución, entonces el tiempo que le toma al segundo alcanzar al primero estará dado por
\[\displaystyle t=\frac{d}{a_2-a_1}\,.\]

Si uno supone que el segundo parte $\tau$ días después del primero, transformaremos ese tiempo en una distancia inicial ($d=\tau\cdot a_1$). Al tiempo $t$ encontrado se le debe agregar $\tau$ si se desea conocer también la duración del recorrido del primero.

2. La velocidad del perseguidor está en progresión aritmética

Si $a_1$, $a_2$ designan de nuevo sus avances diarios desde la partida, pero el del segundo en el día $j$ pasa a ser $a_2^{(j)}=a_2+r(j-1)$, el tiempo $t$ de encuentro será determinado igualando el avance del primero después de $t$ días y el del segundo después de ese mismo tiempo. En otros términos,

\[t\cdot a_1=t\cdot a_2+r\,\frac{(t-1)t}{2},\]
de donde
\[t=\frac{2\,(a_1-a_2)+r}{r}\,.\]

3. La velocidad del perseguidor está en progresión geométrica

Dados nuevamente sus avances diarios desde la partida $a_1$ y $a_2$, la velocidad del segundo en el día $j$ vale esta vez $a_2^{(j)}=a_2\cdot r^{j-1}$. El tiempo $t$ de encuentro aquí será determinado también igualando el avance del primero después de $t$ días y el del segundo después de ese mismo tiempo, es decir
\[t\cdot a_1=a_2\,\frac{r^t-1}{r-1},\]
de donde
\[a_2\cdot r^{t}=a_1\cdot t\,(r-1)+a_2\,.\]
Esta última relación, siendo una ecuación exponencial, evidentemente no fue resuelta en la Edad Media, donde se conformaban con calcular los avances después de cada jornada y aproximar la solución mediante una interpolación lineal. A menos que uno no se conforme con el número entero de días, como en este manuscrito francés del siglo XV:

Un ladrón, después de haber cometido su fechoría, huye para evadir las manos de la justicia y cabalga regularmente 30 leguas cada día. El prefecto, acompañado por sus sargentos le persigue y el primer día sólo cabalga una legua, el segundo dos, el tercero cuatro, el cuarto ocho, y así sucesivamente, aumentando cada día la mitad [3]. A saber: ¿en cuántos días y cuántas leguas dicho prefecto habrá alcanzado a dicho ladrón?

El texto simplementa agrega:

Respuesta. Al octavo día. El ladrón cabalga 240 leguas, y dicho prefecto también en ocho días cabalga 255. Así, parece que dicho prefecto atrapa a dicho ladrón al llegar el octavo día.

II. La persecución de la liebre por el perro

A primera vista, este problema parecería bastante simple, ya que se trata -como en el primer caso- de una persecución donde ambas velocidades son constantes. Es al darle forma a la ecuación donde reside la dificultad, lo que explica que la solución general haya sido conseguida tardíamente. Antes que todo, la distancia inicial $d$ puede ser expresada mediante las unidades usuales de longitud, pero también con la cantidad de saltos de la liebre, $d_l$, o de saltos del perro, $d_p$. Como las longitudes de los saltos del perro, $l_p$, y de los saltos de la liebre, $l_l$, son habitualmente diferentes, tendremos $d_l\not=d_p$ ($d=d_l\cdot l_l=d_p\cdot l_p$). Pero la frecuencia de los saltos, pese a que es constante para cada animal, difiere entre ambos: durante un intervalo de tiempo dado $\tau$, el perro hará $\nu_p$ saltos, mientras que la liebre saltará $\nu_l$ veces. Así, durante el tiempo $\tau$, la liebre habrá avanzado $a_l=\nu_l\cdot l_l$, mientras que el perro habrá progresado la cantidad mayor $a_p=\nu_p\cdot l_p$. De este modo, como en nuestro caso de los correos que se desplazaban a velocidades constantes (donde $\tau$ es la duración del día), el tiempo $t$ entre el comienzo de la persecución y el encuentro deberá obedecer a la proporción
\[\frac{t}{\tau}=\frac{d}{a_p-a_l}=\frac{d}{\nu_p\cdot l_p-\nu_l\cdot l_l}.\]
Ahora, si la distancia es expresada en saltos de la liebre o en saltos del perro, esto tomará las formas
\[\frac{t}{\tau}=\frac{d_l\cdot l_l}{\nu_p\cdot l_p-\nu_l\cdot l_l},\qquad \frac{t}{\tau}=\frac{d_p\cdot l_p}{\nu_p\cdot l_p-\nu_l\cdot l_l}.\]
Se puede deducir entonces los números de saltos de la liebre $n_l$ y del perro $n_p$ hasta que se encuentren gracias a
\[\frac{t}{\tau}=\frac{n_l}{\nu_l}=\frac{n_p}{\nu_p}\,.\]
De este modo, se calcula, respectivamente,
\[n_l=\frac{\nu_l\cdot d}{\nu_p\cdot l_p-\nu_l\cdot l_l}=\frac{\nu_l\cdot d_l\cdot l_l}{\nu_p\cdot l_p-\nu_l\cdot l_l}=\frac{d_l}{\frac{\nu_p}{\nu_l}\cdot \frac{l_p}{l_l}-1},\qquad (1)\]
\[n_p=\frac{\nu_p\cdot d}{\nu_p\cdot l_p-\nu_l\cdot l_l}=\frac{\nu_p\cdot d_p\cdot l_p}{\nu_p\cdot l_p-\nu_l\cdot l_l}=\frac{d_p}{1-\frac{\nu_l}{\nu_p}\cdot \frac{l_l}{l_c}}.\qquad (2)\]

Observación. Los textos consideran habitualmente $l_p>l_l$, a lo más —y raramente — $l_p=l_l$. Ciertamente, una liebre difícilmente será atrapada por un poodle...

III. Ejemplos

1. Las frecuencias de los saltos son iguales

Supongamos que las frecuencias de los saltos sean iguales durante un mismo tiempo, de modo que $\nu_p=\nu_l$, y por lo tanto también, durante toda la persecución: $n_p=n_l\equiv n$. En otras palabras, los saltos son simultáneos, con -evidentemente- $l_p>l_l$ para que el encuentro tenga lugar. Si la distancia inicial está dada en medidas de longitud, nuestras fórmulas (1) y (2) se transforman:
\[n=\frac{d}{l_p-l_l}.\]

Un manuscrito francés del siglo XV relata un problema semejante, que en realidad es la traducción de uno de aquellos que contiene la colección de Alcuin, escrita a finales del siglo VIII, y que se basa en fuentes de la Baja Antigüedad.

Hay un campo que tiene 150 pies de largo, donde en un extremo está un galgo y en el otro está una liebre. Ahora bien, ambos se ponen a correr juntos, la liebre para escapar y el galgo para atraparla. Con cada salto, el galgo avanza 9 pies, y la liebre no más que 7 pies. Se pregunta cuántos pies correrán el uno y el otro antes que la liebre sea pillada.

Respuesta. La longitud del campo, si como está dicho, es de 150 pies, tomamos la mitad, o sea, 75. El perro por lo tanto avanza 9 pies con cada salto; multiplique 75 por 9, y es 675: esa cantidad de pies corrió el galgo antes de atrapar a la liebre. Y la liebre con cada salto avanzó sólo 7 pies; multiplique 75 por 7, y son 525 pies, que es lo que corrió la liebre antes de ser atrapada.

Te lo demuestro. Sustrae 525 pies, que es el recorrido de la liebre, de 675 pies, que es el recorrido del galgo; se mantiene la longitud del campo, que es de 150 pies.

Aquí, $d=150$, $l_p=9$, $l_l=7$. El autor calcula entonces que $n=75$, luego determina la distancia así cubierta por uno y otro animal, es decir $75\cdot 9$ y $75\cdot 7$, cuya diferencia necesariamente debe igualar la distancia inicial de separación.

2. Las longitudes de los saltos son iguales

Aquí, $l_p=l_l\equiv l$ (y, en consecuencia, $\nu_p>\nu_l$, o $n_p>n_l$, para que el encuentro tenga lugar). Como $d=d_l\cdot l=d_p\cdot l$, tendremos $d_l=d_p=d_{pl}$, ya que la diferencia inicial es cubierta en un mismo número de saltos, pero con frecuencias distintas. Nuestras fórmulas (1) y (2) pueden escribirse entonces como
\[\frac{n_l}{\nu_l}=\frac{d_{pl}}{\nu_p-\nu_l}=\frac{n_p}{\nu_p},\]
que da el número de veces que la liebre efectúa $\nu_l$ saltos y el perro $\nu_p$ saltos.

Encontramos un ejemplo en la Coss de Christoff Rudolff de 1525, que Michael Stifel reedita, con comentarios, en 1553 [4].

Una liebre va 90 saltos delante de un perro y cada vez que la liebre completa 12 saltos, el perro completa 15, y la liebre salta de manera uniforme tanto como el perro. La pregunta es: ¿cuántas veces debe el perro efectuar 15 saltos para capturar a la liebre?

Aquí, $d_{pl}=90$, $\nu_p=15$, $\nu_l=12$, de modo que el cuociente de abajo es igual a 30. Efectivamente, el perro deberá efectuar $30\cdot 15=450$ saltos para llegar a la liebre, que en el mismo tiempo efectuará 360, perdiendo de ese modo su ventaja inicial. En el libro de Rudolff la resolución es algebraica, siendo en nuestra escritura $15x=12x+90$, donde $x$ designa el número de grupos de saltos buscado.

3. Caso general

La Coss presenta otro ejemplo de ese tipo, pero esta vez para el caso general (y con la persecución de un zorro):

Un perro cazador persigue a un zorro. El zorro tiene 60 saltos de ventaja. Cada vez que el zorro efectúa 9 saltos, el perro efectúa 6; sin embargo 3 saltos del perro hacen tanto como 7 saltos del zorro. La pregunta es: ¿cuántos saltos debe efectuar el perro hasta que atrape al zorro?

Los datos son por lo tanto $d_l=60$, $\,\nu_l=9$, $\,\nu_p=6$, $3\cdot l_p=7\cdot l_l$. Las relaciones vistas en II permiten encontrar la respuesta:
\[\frac{n_l}{\nu_l}=\frac{n_p}{\nu_p}=\frac{d_l}{\nu_p\cdot \frac{l_p}{l_l}-\nu_l} =\frac{60}{6\cdot \frac{7}{3}-9}=\frac{60}{5}=12,\]
de manera que los números de saltos durante la persecución serán $\,12\cdot 6=72\,$ para el perro y $\,12\cdot 9=108\,$ para el zorro.

Como esto resuelve el caso general, vale la pena reproducir el razonamiento del autor.
Ya que 6 saltos del perro valen, en distancia, 14 de los del zorro, no obstante que de nuevo durante 6 saltos del perro el zorro hace 9, es la diferencia de saltos del zorro, 5, la que servirá para cubrir el retraso. Habrá en consecuencia tantas veces 6 saltos del perro que valen 60 dividido por 5, es decir $12\cdot 6=72$, que le permitirán al perro recuperar los $\,12\cdot 9=108\,$ saltos de la carrera del zorro más los 60 de su avance inicial.

Stifel, que reeditó el tratado de Rudolff, piensa que en relación a los problemas verdaderamente ’’útiles’’, las explicaciones que exigen estos problemas ’’ridículos’’ son desproporcionadas. Él se sentía obligado sin embargo a conservar todos los problemas de la obra original. Sin duda tiene razón en la forma. Pero los problemas recreativos en general han tenido un rol insospechado en el desarrollo de las matemáticas: además de que agudizaban la reflexión del estudiante y aumentaban su atracción por las matemáticas, permitían -debido a su lejanía con situaciones verosímiles- una mayor libertad. De ese modo, el primer reconocimiento de la solución negativa de un problema, y por lo tanto de un número negativo, apareció en la primera mitad del siglo XV, durante la resolución de un problema recreativo [5].

Post-scriptum :

La redacción de Paisajes Matemáticos agradece a los lectores richecoeur, Bruno Duchesne, Jérôme y Aline Parreau por sus correcciones y sus juiciosos comentarios.

Artículo original editado por Marc Moyon

Notas

[1La noción de progresión es sin duda conocida por los lectores. Recordemos de todas maneras que si a es el recorrido durante el primer día, el recorrido en cada uno de los días siguientes será ya sea aumentado en una cantidad constante $r$ (progresión aritmética) o ya sea multiplicado por una constante $r$ (progresión geométrica). Las fórmulas de suma para estos dos tipos de progresiones eran conocidas desde la Antigüedad.

[2Ejemplos que tomamos de nuestra obra Récréations mathématiques au Moyen Âge (Lausanne 2014), pp. 104—112.

[3La distancia cubierta en el día $j-1$ es la mitad de la que será cubierta en el día $j$.

[4Es significativo que con esta obra, poco más de un siglo y medio después, el padre de Leonard Euler le inculcó a su hijo los primeros elementos de las matemáticas.

[5Vea nuestra Introduction à l’histoire de l’algèbre (Lausanne 1999), pp. 120—123 (pp. 115—118 de la traducción en inglés, Providence 2009).

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La persecución de la liebre por un perro» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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