Introduction

La topologie des surfaces est bien comprise dès la fin du 19-ième
siècle. Toute surface orientée et sans bord peut être décrite
topologiquement comme le bord d’un bretzel. Le nombre de trous du
bretzel est aussi le nombre maximal de courbes disjointes tracées
sur la surface sans la séparer : ce nombre, appelé genre, suffit
à classer les surfaces. Du point de vue topologique la surface la
plus simple est donc la sphère $\textbf {S}^2 \subset {{R}}^3$ qui
est le bord de la boule unité et sur laquelle toute courbe fermée
sépare.

Une étude similaire pour les hypersurfaces (ou variétés) sans bord de
dimension supérieure n’a vraiment commencé qu’avec le mémoire de
Henri Poincaré sur l’Analysis Situs en
1895 ([Poin]), qui marque la naissance de
la topologie algébrique moderne.

En 1904, dans le cinquième et dernier complément à l’Analysis
Situs ([Poin]), Poincaré construit un exemple qui montre qu’en
dimension trois on ne peut pas caractériser la sphère unité
$\textbf {S}^3 \subset \textbf {R}^4$ par la propriété que toute
surface plongée la sépare. Il faut faire appel à des notions
topologiques plus fines. Pour distinguer l’espace tridimensionnel
qu’il a construit de la sphère ${{S}}^3$ Poincaré utilise le
groupe fondamental. C’est un invariant algébrique qu’il a
introduit dans son premier mémoire sur l’Analysis Situs et qui prend
en compte les chemins fermés (lacets) dans l’espace considéré
qui ne peuvent pas être rétractés sur un point par une
déformation continue (on dit alors que le lacet est
essentiel). Si aucun lacet n’est essentiel, le groupe
fondamental est trivial et l’espace est dit simplement
connexe [1] . C’est le cas de toutes les sphères $\textbf {S}^n$ de
dimension $n \geq 2$. Poincaré montre que son exemple n’est pas
simplement connexe.

A la fin de son article il pose la question suivante, désormais
célèbre : « Est-il possible que le groupe fondamental d’une
variété $V$ de dimension $3$ se réduise à la substitution
identique, et que pourtant $V$ ne soit pas la sphère ?
 » [2].
L’affirmation qu’une variété simplement connexe de dimension $3$
est la sphère $\textbf {S}^3$ est connue sous le nom de
Conjecture de Poincaré. Cette conjecture s’est révélée
être un problème extrêmement difficile. Elle trouve une
généralisation naturelle dans la Conjecture de
Géométrisation formulée par William Thurston dans les années
$70$ pour décrire toutes les variétés de dimension $3$.

Thurston ([Thu]) conjecture que huit géométries homogènes
suffisent pour décrire les briques élémentaires permettant de
construire toutes les variétés de dimension $3$ (voir aussi
([Sco]). La conjecture de géométrisation a ainsi replacé la
géométrie différentielle au cœur de l’étude des
variétés de dimension $3$.

Au début des années quatre-vingts Richard Hamilton a lancé un nouveau
programme pour démontrer la conjecture de géométrisation et, en
particulier, la conjecture de Poincaré. Son approche est basée sur
le flot de Ricci : il s’agit d’analyser et de contrôler les
solutions d’une équation différentielle, liée à la courbure
(le flot de Ricci), sur l’espace des métriques riemanniennes de la
variété considérée. Lorsque le flot évolue la métrique
s’homogénéise, mais l’étalement de la courbure n’est pas
uniforme : en temps fini elle peut s’accumuler et devenir infinie
(nous dirons « exploser ») en certains points de la variété. Ce sont
ces phénomènes, appelés singularités du flot de Ricci, que
Hamilton n’a pas réussi à contrôler.

Récemment, Grigori Perelman a défini pour le flot de Ricci une
quantité monotone, appelée entropie, qui lui a permis de
décrire la manière dont apparaissent les singularités et de
les classer. Avec cela il a réussi le tour de force de mener
à son terme le programme de Hamilton. Il construit à partir du
flot de Ricci un flot avec chirurgie permettant de se
débarrasser des singularités. Nous décrivons maintenant la preuve
de la conjecture de Poincaré proposée par Perelman.

Le flot associé à la courbure de Ricci

On cherche un procédé évolutif qui produise une métrique
riemannienne privilégiée sur une variété différentielle $M$
donnée (voir encadré Définition 1). Le souhait est que celle-ci soit une
métrique de courbure de Ricci constante ; une telle métrique est
dite d’Einstein.

Le flot associé à la courbure de Ricci (voir encadré Définition 1) est une équation différentielle sur l’espace (de dimension infinie)
${\mathcal M}$ des métriques riemanniennes sur la variété
$M$. L’idéal serait que cette équation différentielle ordinaire
soit donnée par l’opposé du gradient d’une fonction (de sorte que
les trajectoires convergent vers les minima) ; le candidat naturel pour
une telle fonction est celle que les physiciens appellent la
fonctionnelle de Hilbert-Einstein ; il s’agit d’une intégrale de
courbure (la courbure scalaire) dont les points critiques sont les
métriques dites d’Einstein, c’est-à-dire les métriques telles
que ${\rm Ric}_g=\lambda g$. Malheureusement un calcul simple montre que
son gradient donne naissance à une équation qui n’admet pas de
solutions en général. Par contre une modification de cette
équation stérile convient. On appelle flot de Ricci, une famille
$g(t)$ de métriques riemanniennes sur $M$, définie sur un
intervalle $[0,T[$ et qui vérifie l’équation d’évolution
suivante (voir encadré Exemple 2) :

\[\begin{equation}\frac{\partial{g}}{\partial t}=-2 {\mathop{\rm Ric}\nolimits}_{g(t)}\label{equation_1}\end{equation}\]

Définition 1

Une variété différentielle de dimension $n$ est un espace
localement modelé sur l’espace euclidien standard $\textbf {R}^n$ : chaque
point a un voisinage ouvert homéomorphe à $\textbf {R}^n$ qu’on appelle
une carte et le passage d’une carte à une autre s’opère par
un difféomorphisme de classe $C^\infty$. En dimension $3$ la
structure différentielle est unique à difféomorphisme près
alors qu’on peut munir $\textbf {R}^4$ d’une infinité de structures
différentielles deux-à-deux non difféomorphes. Dans la suite
toutes les variétés seront de classe $C^\infty$ et orientables.

Pour faire de la géométrie dans $M$ (par exemple calculer la
longueur d’une courbe, des distances, des volumes, etc.) on a besoin
d’une structure supplémentaire, appelée métrique
riemannienne et notée $g$ : c’est la donnée en chaque point $x$
des cartes d’un produit scalaire $g_i(x)$, variant de façon
$C^\infty$ avec $x$ et compatibles avec les changements de cartes.
Les courbures associées à une métrique mesurent l’écart
infinitésimal à la métrique standard de $\textbf {R}^n$. Elles se
calculent par des expressions polynomiales des coefficients de $g$,
$\partial g$ et $\partial^2 g$.

Par exemple, à chaque $2$-plan $P$ de l’espace tangent $T_xM$, on
associe la courbure sectionnelle $K(P)$, qu’on peut définir comme
suit. On appelle $C(r)$ le cercle de centre $x$, de rayon $r$ tangent
à $P$. Alors sa longueur satisfait la formule
\[ \ell(C(r)) =2\pi r(1-\frac{K(P)}{6}r^2+o(r^2))\,,\] et $K(P)$
mesure le défaut au périmètre euclidien. La courbure de Ricci
(on dit aussi le tenseur de Ricci) est, en chaque point $x$ de $M$,
une forme bilinéaire symétrique sur $T_xM$ (pas nécessairement
définie positive). Sa valeur dans une direction $v \in T_xM$, qu’on
note $\rm Ric_g(v,v)_x$, se calcule en prenant la somme des courbures
sectionnelles des $2$-plans engendrés par $v$ et $e_i$ où $e_i$
parcourt une base orthonormée de l’orthogonal de $v$ dans
$T_xM$. Elle mesure un défaut dans l’aire de petites sphères. La
courbure scalaire $R(x)$ est une fonction sur $M$ définie
en chaque point $x$ comme la trace de la courbure de Ricci
$\rm Ric_g(\cdot,\cdot)_x$ par rapport au produit scalaire $g_x$,
c’est-à-dire la somme de ses valeurs propres. Elle mesure un
défaut d’ « euclidianité » dans le volume des petites boules.

Le point de vue des équations différentielles, évoqué
ci-dessus, est très difficile à mettre en œuvre sur l’espace de
dimension infinie ${\mathcal M}$. On lui préfère l’approche plus
efficace qui consiste à écrire $\ref{equation_1}$ en paramétrant $M$ (par
des coordonnées locales). Alors, $\ref{equation_1}$ devient une équation
aux dérivées partielles parabolique du type
réaction-diffusion.

Exemple 2

Sur la sphère ronde, le flot de Ricci a pour solution
$g(t)=(1-2\lambda t)g_0$ sur l’intervalle $[0,\frac{1}{2\lambda}[$, si
la courbure de Ricci de la métrique initiale est $\rm Ric_{g_0}=\lambda g_0$ avec $\lambda >0$.

Plus généralement le flot évolue par homothétie si la
métrique initiale est d’Einstein. On peut résumer l’évolution en
disant que les métriques de courbure négative enflent et celles de
courbure positive se contractent.

Les travaux de R. Hamilton

Hamilton ([Ham-3]) a démontré l’existence d’une solution en temps
petit pour toute donnée initiale lisse (voir [DeT] pour une preuve
simple). De plus on peut prolonger le flot tant que les courbures
sectionnelles (voir encadré Définition 1) restent bornées en valeur absolue. Pour contrôler les courbures, on écrit leurs équations
d’évolution et on utilise des principes du maximum.

Principes du maximum sur les courbures

Commençons par la courbure scalaire, qui évolue selon
l’équation parabolique :

\[\begin{equation}\frac{\partial R}{\partial t}=\Delta R +2|\rm Ric|^2\label{equation_2}\end{equation}\]

où toutes les quantités dépendent de $g(t)$. En un point $x$
minimisant la courbure scalaire de $g(t)$, le laplacien $\Delta R$ est
positif ou nul et donc $\frac{\partial R}{\partial t}\geq 0$. Heuristiquement, on peut penser que le minimum sur $M$ de la
courbure scalaire de $g(t)$, qu’on note $R_{min}(t)$, croît avec
$t$. Un principe du maximum permet de montrer cela de manière
rigoureuse. Mieux, si $R_{min}(0)>0$, on peut montrer que $R_{min}(t)$
tend vers $+\infty$ en temps fini (si le flot existe). Dans ce cas, on
est sûr que le maximum des courbures sectionnelles
tend vers $+\infty$ en temps fini. Pour avoir plus d’informations, on
utilise l’équation d’évolution du tenseur de Ricci, qui est de la
forme :

\[\begin{equation}\frac{\partial \rm Ric}{\partial t}=\Delta \rm Ric + Q(\rm Ric)\label{equation_3} \end{equation}\]

où $Q$ est une expression quadratique. Un principe du maximum
vectoriel montre que si $\rm Ric_{g_0}\geq 0$ alors $\rm Ric_{g(t)} \geq 0$. Si de plus $\rm Ric_{g_0} > 0$, c’est vrai pour tout $t$ et on a
alors en tout point le pincement

\[\begin{equation}\frac{|\rm Ric - \frac{R}{3}g|}{R} \leq \frac{\alpha}{R^\beta},\label{equation_4} \end{equation}\]

où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes strictement positives.
Ceci signifie que lorsque $R(x,t) \rightarrow +\infty$, l’écart
relatif en $x$ de $\rm Ric_{g(t)}$ à sa moyenne $\frac{R}{3}g(t)$ tend
vers $0$. À l’aide d’un contrôle du gradient de la
courbure scalaire, Hamilton montre que, sous l’hypothèse de
stricte positivité de la courbure de Ricci, celle-ci explose en
temps fini partout à la même vitesse. Alors,
quitte à la renormaliser pour la rendre de volume constant, $g(t)$
converge vers une métrique de courbure sectionnelle constante
strictement positive, d’où le

$\quad$

La situation est radicalement différente si la courbure de Ricci
n’est pas strictement positive. Le résultat le plus général est
que, pour toute donnée initiale, le flot existe sur un
intervalle maximal $[0,T[$ et que si $T <\infty$ le maximum des
courbures sectionnelles au temps $t$ tend vers $+\infty$ quand
$t\rightarrow T$. Dans le dernier cas, on dit que $T$ est un temps
singulier. En général la courbure explose sur une partie
seulement de la variété, on dit que le flot rencontre une
singularité. Cependant une variante des résultats précédents,
le théorème dit de « pincement » de Hamilton-Ivey, montre que
la partie négative de la courbure devient négligeable comparée
à la courbure scalaire. En particulier, la courbure scalaire
contrôle toutes les courbures. Disons maintenant quelques mots sur
l’étude des singularités.

Etude des singularités : la technique du zoom

Cette technique, classique en analyse, a été mise en œuvre dans
ce contexte par Hamilton dans ([Ham-sing]) et ([Ham-comp]). Un zoom
consiste à dilater la métrique et ralentir l’écoulement du temps
pour avoir une nouvelle solution du flot. On va considérer des
suites de zooms et tenter de passer à la limite (voir encadré Dilatation parabolique).
Si on peut montrer l’existence de flots limites et les classifier, on
obtient des modèles pour les singularités. L’existence du flot
limite a été un des points de blocage du programme
d’Hamilton. Cette question vient d’être complètement résolue par
Perelman.

En général on considère une suite de zooms sur des points
$(x_k,t_k)$ telle que $Q_k:=R(x_k,t_k) \rightarrow +\infty$ et
maximise la courbure scalaire sur $M \times [0,t_k]$. Alors la suite
de dilatations paraboliques $g_k(t)$ en $(x_k,t_k)$ est de courbure
bornée sur des intervalles $[-t_k Q_k,0]$ convergeant vers
$]-\infty,0]$. Une condition adéquate pour assurer la convergence
de la suite (ou d’une sous-suite) $(M,g_k(t),x_k)$ — en un sens que
nous ne préciserons pas — vers un flot
$(M_\infty,g_\infty(t),x_\infty)$ est une minoration du volume de la
boule unité centrée en $x_k$ (pour la métrique $g_k(0)$) par une
constante strictement positive indépendante de $k$. Le premier
apport frappant de Perelman ([Per1]) est d’établir que cette
minoration est toujours satisfaite si l’explosion de la courbure a
lieu en temps fini. Par construction, la limite obtenue est un flot
sur $]-\infty,0]$ de courbure bornée et non nulle. De plus, le théorème
de pincement de Hamilton-Ivey permet de montrer que la courbure
sectionnelle est positive ou nulle sur le flot limite.

Dilatations paraboliques

L’idée du zoom est formalisée par la notion de dilatation parabolique. Étant donné un flot de Ricci $g(t)$ sur $M\times [0,T[$, un point $x_0$ et un temps $t_0$, c’est la solution du flot donnée par la formule
\[ g_0(t)=Q_0\cdot g\big (t_0 + \frac{t}{Q_0}\big )\] où
$Q_0=R(x_0,t_0)$. Elle est définie sur $[-t_0 Q_0,(T-t_0)Q_0[$. C’est une renormalisation telle que $R_{g_0}(x_0,0)$
soit égale à $1$.

Le flot avec chirurgie de G. Perelman

Un résultat majeur du premier article de Perelman ([Per1]) est le
théorème des voisinages canoniques, qui décrit la métrique
$g(t)$ aux points de grande courbure scalaire. Si la courbure est
grande partout, on en déduit la classification de $M$. Dans ce cas
on dit que le flot s’éteint. Sinon l’idée (qui remonte à
Hamilton ([Ham-iso]) est de se débarrasser des morceaux de $M$ de
grande courbure en coupant la variété le long de sphères $\textbf {S}^2$
et en rebouchant les trous par des boules $B^3$. Bien entendu, il faut
faire cela en contrôlant la topologie et la géométrie. Puis on
relance le flot sur la nouvelle variété, peut-être non connexe,
et on itère le processus. Éventuellement, certaines composantes
connexes disparaissent lors des chirurgies, on dit aussi qu’elles
s’éteignent. Perelman démontre dans [P2] qu’on peut poursuivre ce
flot avec chirurgie indéfiniment, pour toute donnée initiale
convenablement normalisée. Sur chaque intervalle de temps fini, on
n’opère qu’un nombre fini de chirurgies. Si le flot s’éteint
complètement en temps fini, on peut classer toutes ses composantes
connexes et donc la variété de départ. C’est ce qui se passe
dans la preuve de la conjecture de Poincaré. La classification en
temps long est plus difficile et nous ne l’aborderons pas ici.

Les voisinages canoniques

Le théorème des voisinages canoniques affirme essentiellement
qu’aux points de grande courbure scalaire d’un flot de Ricci, la
géométrie est canonique, c’est-à-dire presque isométrique à
un nombre fini de modèles simples. Pour ne pas inclure trop de
paramètres, par dilatation de la métrique initiale, on peut
supposer que le flot vit sur $[0,1]$ au moins et demander que les
boules unités de la métrique initiale soient presque
euclidiennes. On dira la donnée initiale normalisée. Alors,

Par deux variétés $\varepsilon$-presque-isométriques nous
entendons deux variétés difféomorphes et dont les métriques
riemanniennes sont $\varepsilon$-proches ainsi que leurs dérivées
d’ordre $\leq 1/\epsilon$.
En particulier, les courbures sur ces voisinages sont comparables à
la courbure scalaire $R(x,t)$. La taille des voisinages correspondant
à (i) et (ii) est comparable à $R(x,t)^{-1/2}\times 2/\varepsilon$. De plus les
oscillations spatiales et temporelles de la courbure scalaire sont
contrôlées par des constantes universelles.

Figure 1.

Description du premier temps singulier

Dans ce paragraphe, on suppose fixés $\varepsilon>0$ et une
échelle $r>0$ pour laquelle $g(t)$ satisfait l’hypothèse des
voisinages canoniques. On décrit la métrique $g(t)$ lorsque $t \rightarrow T<\infty$ et $T$ est un temps singulier. Notons $\Omega$
l’ensemble des points où la courbure scalaire reste bornée, c’est-à-dire
\[ \Omega=\{x \in M,\ R(x,\cdot) \leq c(x) <+\infty\}\,.\] Par
hypothèse, il existe $x \in M$ tel que $R(x,t) \rightarrow +\infty$
donc $\Omega$ est strictement plus petit que $M$.

$\Omega$ est vide : le flot s’éteint

Alors on peut montrer que $M$ est une variété sphérique, un
produit $\textbf {S}^2 \times \textbf {S}^1$ ou une somme connexe de projectifs notée
${{P}}^3({{R}}){\#}{{P}}^3({{R}})$. En effet, si la courbure
explose partout, on peut trouver un temps $t_0$ proche du temps
singulier $T$ tel que $(M,g(t_0))$ est recouverte par un nombre fini
de voisinages canoniques. S’il y a un voisinage de type iii) $M$ est
difféomorphe à une variété sphérique. Sinon on met bout à
bout des gorges jusqu’à ce qu’elles se referment en un ${{S}}^2 \times {{S}}^1$ ou bien on les bouche par des capuchons pour obtenir $\textbf {S}^3$,
${{P}}^3({{R}})$ ou ${{P}}^3({{R}}){\#}{{P}}^3({{R}})$.

$\quad$

$\Omega$ n’est pas vide

Les contrôles sur la courbure permettent de montrer que $\Omega$ est
un ouvert sur lequel la métrique $g(t)$ converge vers une métrique
régulière $g(T)$. Essentiellement, $g(T)$ satisfait l’hypothèse
des voisinages canoniques par passage à la limite. Pour comprendre
la structure de $\Omega$, on se donne une échelle de courbure $\rho < r$ et on définit l’ensemble
\[\Omega_\rho= \{ x\in \Omega\,;\, R(x,T) \leq \rho^{-2}\}.\]

L’ensemble $\Omega$$\Omega_\rho$ est recouvert par des gorges
et des capuchons. L’examen des différentes combinaisons montre que
tout point $x\in \Omega$$\Omega_\rho$ est dans un des
ensembles suivants :

i) un $\varepsilon$-tube : un cylindre $\textbf {S}^2\times I$
union d’un nombre fini de gorges et dont le bord est dans
$\Omega_\rho$.

ii) Une $\varepsilon$-pointe, c’est-à-dire une
réunion d’une infinité de gorges, difféomorphe à $\textbf {S}^2\times {{R}}^+$. Le bout $\textbf {S}^2\times\{0\}$ est dans $\Omega_\rho$, tandis
qu’à l’autre bout la courbure scalaire tend vers $+\infty$.

iii) Une réunion d’un nombre fini de gorges fermée par
un capuchon reliée par le bord à $\Omega_\rho$.

iv) Des composantes connexes disjointes de $\Omega_\rho$ :
des doubles pointes difféomorphes à $\textbf {S}^2\times {{R}}$,
réunion d’une infinité de gorges, et des capuchons pointés
difféomorphes à ${{R}}^3$, réunion d’une infinité de
gorges fermée par un capuchon (voir fig. 2).

Figure 2.

La chirurgie

On opère sur cet ensemble $\Omega$ la chirurgie décrite
comme suit :

1°) on élimine toutes les composantes connexes de $\Omega$
disjointes de $\Omega_\rho$,

2°) on tronque les pointes (reliées à $\Omega_\rho$)
et on les bouche par un capuchon difféomorphe à une boule (voir
fig. 3).

On obtient ainsi une nouvelle variété différentielle,
éventuellement non connexe, que nous noterons $M_1$. En tout temps
$t recouverte par des voisinages canoniques. On vérifie ainsi que $M$ est
la somme des différentes composantes connexes de $M_1$ et éventuellement
d’un nombre fini d’anses $\textbf {S}^2 \times \textbf {S}^1$ et d’espaces
projectifs ${{P}}^3({{R}})$.

Figure 3.

Cette chirurgie doit se pratiquer de manière métrique,
c’est-à-dire en contrôlant précisément les recollements
effectués. Pour cela, on choisit de tronquer les pointes au milieu
d’une $\delta$-gorge, pour un paramètre $0<\delta \ll \varepsilon$. On définit ainsi une chirurgie avec paramètre
$(r,\delta)$, où $r$ est l’échelle de courbure (dépendant de
$\varepsilon$) à partir de laquelle on a des voisinages canoniques
et le paramètre $\rho$ est fixé en posant $\rho=\delta r$. On
munit alors $M_1$ d’une métrique riemannienne bien choisie $g_1(T)$
qui devient la donnée initiale de l’équation $\ref{equation_1}$ et on
relance le flot simultanément sur les composantes connexes de $M_1$.

$\quad$

Le flot avec chirurgie

Le tour de force de Perelman dans [P2] est d’avoir réussi à
itérer indéfiniment la construction ci-dessus :
fixons un $\varepsilon>0$,

On dit qu’une variété riemannienne $(M,g_{0})$ est normalisée si
les courbures sectionnelles sont bornées en valeur absolue par $1$
et si le volume de toute boule unité est au moins la moitié du
volume euclidien. Perelman démontre qu’il existe des fonctions
strictement décroissantes $(r(t),\delta(t))$ universelles, telle que
le flot avec chirurgie existe sur $[0,\infty [$ pour toute donnée
initiale $(M,g_0)$ normalisée.

En particulier, il n’y a qu’un nombre fini de chirurgies sur chaque
intervalle fini. Si $M_k$ est la variété obtenue après le
$k$-ième temps singulier, en tenant compte des composantes qui
s’éteignent, $M$ s’obtient comme la somme connexe des composantes
connexes de $M_k$ avec un certain nombre de copies de $\textbf {S}^2\times \textbf {S}^1$ et
de quotients finis de $\textbf {S}^3$. Si $M_{k}$ est vide le flot s’éteint
et $M$ est difféomorphe à une somme connexe d’un nombre fini de
$\textbf {S}^2 \times \textbf {S}^1$ et de quotients finis de $\textbf {S}^3$. En particulier si $M$
est simplement connexe elle est difféomorphe à $\textbf {S}^3$.

La conjecture de Poincaré

L’existence d’un flot avec chirurgie en temps infini étant établie, la
preuve de la conjecture de Poincaré consiste à montrer qu’il
s’éteint en temps fini sur une sphère d’homotopie, c’est-à-dire
sur une variété simplement connexe. D’après ce
qui précède celle-ci est alors difféomorphe à $\textbf {S}^3$. Nous
donnons maintenant plus de détails.

On se donne une variété $M_{0}$ compacte, simplement connexe que
l’on suppose irréductible (voir encadré Irréductibilité). On la munit d’une métrique normalisée $g_{0}$. Pour cette donnée initiale, on construit un flot avec chirurgie $(M_k,g_k(t))$ défini sur
$[0,\infty)$. On sait que chaque $M_k$ (tant qu’il est non vide)
contient une composante $M_k^1$, difféomorphe à $M_0$ et que les
autres composantes sont des sphères. On peut donc considérer la
restriction du flot avec chirurgie à cette seule composante. Pour
montrer qu’il s’éteint en temps fini, nous esquissons l’argument de
T. Colding et W. Minicozzi ([CM]), plus simple techniquement que celui de
Perelman ([Per3]).

Irréductibilité

On dit qu’une variété
orientable $M$ est irréductible si toute sphère plongée $\textbf {S}^2 \subset M$ borde une boule $B^3$. Cela implique que si $M$ est somme
connexe de deux variétés, l’une d’elles est difféomorphe à $M$
et l’autre à $\textbf {S}^3$. Le théorème de Kneser affirme que toute
variété orientable est somme connexe d’un nombre fini de
variétés irréductibles et de copies de $\textbf {S}^2\times \textbf {S}^1$. En
particulier, si $M$ est simplement connexe elle est somme connexe d’un
nombre fini de variétés simplement connexes irréductibles.

La largeur de $(M_0,g(t))$ est définie par minimax de l’énergie
des sphères $\textbf {S}^2$ d’un balayage de $M_0$. C’est une quantité
géométrique strictement positive lorsque le lacet définissant
le balayage est essentiel dans l’espace $\mathcal H$ des applications
de $\textbf {S}^2$ dans $(M_0,g(t))$, continues et d’énergie
bornée. L’existence d’un lacet essentiel dans $\mathcal H$ est une
conséquence de la simple connexité de $M_0$. On fixe alors une
fois pour toute la classe d’homotopie $\beta$ d’un lacet essentiel
dans $\mathcal H$. On définit la largeur $ W([\beta],g(t))$ de la
variété riemannienne $(M_0,g(t))$ par :
\[ W([\beta],g(t))= \inf_{\gamma \in [\beta]} \sup_{s \in [0,1]} E(\gamma(s)),\]
où
\[ E(f) = \int_{\textbf {S}^2} |df|_{g(t)}^2 \rm dvol_{\textbf {S}^2}\,,\]
est l’énergie de l’application
$f :\textbf {S}^2\rightarrow (M_0,g(t))$.

La preuve de l’extinction en temps fini repose alors sur les deux faits
suivants :

1°) Sur les parties lisses du flot la largeur $W([\beta],g(t))$
décroît assez vite le long du flot d’après l’inégalité
suivante de Colding et Minicozzi ([CM]) :
\[ \frac{d W([\beta],g(t)}{d t} \leq -4\pi + \frac{3}{4(t+C)}W([\beta],g(t)).\]
($C$ est une constante
calculable.) Cela assure l’extinction en temps fini si le flot reste
lisse, puisque la largeur atteint $0$ en temps fini et, par ailleurs,
doit être strictement positive.

2°) Si $t_{k+1}$ est un temps singulier pour le flot $g_k(t)$
sur $M_0$, on a
\[\lim_{t \rightarrow t_{k+1}^-} W([\beta],g_k(t)) \geq W([\beta],g_{k+1}(t_{k+1}))\,.\]
Cela résulte de l’existence d’un
difféomorphisme $(1 + \xi(t))$-lipschitzien entre $(M_0,g_k(t))$ et
$(M_0,g_{k+1}(t_{k+1}))$ avec $\xi(t) \rightarrow 0$ quand
$t\rightarrow t_{k+1}$.

Références

[B] L. Bessières, Conjecture de Poincaré : la preuve de R. Hamilton et
G. Perelman, Gazette des Mathématiciens, 106 (2005), 7-35.

[Bes] G. Besson Preuve de la conjecture de Poincaré en déformant
la métrique par la courbure de Ricci, d’après G. Perelman à
paraître à Astérisque. Version modifiée du séminaire Bourbaki
n° 947, (2004-2005), 57-ième année.

[CM] T. Colding et W. Minicozzi, Estimates for the extinction
time for the Ricci flow on certain three-manifolds and a question
of Perelman, J. of the A.M.S., 18 (2005), n° 3, 561-569.

[DeT] D. DeTurck, Deforming metrics in the direction of
their Ricci tensor, J. Differential Geom., 18 (1983), 157-162.

[Ham-3] R. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci
curvature, J. Differential Geom. 17 (1982), n° 2, 255-306.

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