THÉORÈME DE PYTHAGORE

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

De belles démonstrations

Les démonstrations classiques du théorème de Pythagore n’ont pas seulement un intérêt mathématique. Elles retiennent aussi l’attention pour l’ingéniosité et l’élé- gance des solutions proposées.

Le théorème de Pythagore dans le Chou Pei Suan Ching

Ce document chinois, qui pourrait se traduire de manière approximative comme Le Classique du gnomon et des Voies célestes circulaires, offre une belle démonstration qui fait seulement appel à des translations de pièces.

EUCLIDE, PYTHAGORE ET LES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE

Euclide vivait à Alexandrie vers les années 300 av. J.-c. il fut l’auteur d’une œuvre fondamentale pour le développement des mathématiques et de la science : les Éléments de géométrie (stoicheia). Il y présente avec une grande rigueur toute la connaissance géométrique de son époque, déduisant de manière logique toutes les propriétés principales (théorèmes) à partir de définitions, postulats et axiomes. L’œuvre d’Euclide ne réalise pas seulement une synthèse brillante, elle organise également cette pensée géométrique par un important travail de structuration. C’est pour cette raison qu’elle reste aujourd’hui, malgré les siècles qui nous séparent d’elle, la référence fondamentale pour l’apprentissage de la géométrie. La bible exceptée, les Éléments de géométrie est l’œuvre qui a été le plus souvent traduite et diffusée, que ce soit sous forme de copies manuscrites ou, plus tard, de versions imprimées.

Page des éléments de géométrie issue du Manuscrit dit d’Orville, écrit en grec à Constantinople au IXe siècle.

Cette œuvre est composée de plusieurs livres. Les quatre premiers concernent la géométrie plane, qui inclut la congruence de triangles, l’égalité d’aires et, bien entendu, le théorème de pythagore (livre I, proposition 47). elle présente aussi la proportion d’or, le cercle, les polygones réguliers et certaines quadratures. Ainsi, le théorème pythagoricien apparaît dans un contexte géométrique d’aires des figures. Pythagore est également présent dans le livre VI en relation avec les proportions mais aussi dans le livre X où il est question des racines carrées.

Le théorème de Pythagore vu par Euclide

Pour le théorème de Pythagore, Euclide propose l’approximation graphique suivante. Euclide transforme chaque carré à partir d’un côté en un parallélogramme d’aire égale (leur base et leur hauteur étant égales). Il replace ensuite ces parallélogrammes dans le carré selon l’hypoténuse. Cette démonstration géniale montre la partie oc- cupée par chacun des carrés à partir des côtés de l’angle droit.



Le théorème de Pythagore dans une mosaïque arabe

Cette magnifique démonstration basée sur des mosaïques est attribuée à al-Naiziri d’Arabie (900 ap. J.-C.). La mosaïque du fond est formée par les carrés des côtés de l’angle droit, et celle qui lui est superposée, par ceux de l’hypoténuse. Les deux re- couvrent la même surface.Il s’agit d’une forme de démonstration tout à fait originale.


Le théorème de Pythagore vu par Henry Perigal

Parmi d’autres joyaux figure la démonstration que proposa en 1873 le mathématicien passionné que fut Henry Perigal. Le tour de force consiste à proposer le casse-tête suivant : diviser un grand carré en quatre morceaux.

LA DÉMONSTRATION D’UN PRÉSIDENT DES ETATS-UNIS

En 1876, avant de devenir le vingtième président des États-Unis, James Abram Garfield (1831- 1881) trouva et publia une démonstration originale du théorème de Pythagore, dont il parla avec plusieurs collègues membres du Congrès. Selon toute attente, durant sa présidence, il ne réalisa aucune autre découverte mathématique. Il suffit de calculer l’aire d’un quadrilatère de deux manières distinctes :

Aire du trapèze = Aire du triangle 1+ Aire du triangle 2 + Aire du triangle 3

\[ \frac{1}{2} (a+b)(a+b)= \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}cc, \frac{1}{2}(a^2 +2ab+b^2)=\frac{1}{2}(ab+ab+c^2) \]
d’où \[a^2 +b^2 +2ab=2ab+c^2,\text{c’est-à-dire}\; a^2 +b^2 =c^2.\]

Le théorème de Pythagore démontré par Léonard de Vinci

L’éclectique Léonard deVinci (1452-1519) apporta une brillante preuve du théorème. Il dessina le triangle et les trois côtés selon les trois carrés, il ajouta la pièce $ECF$ en haut et plaça de manière stratégique une autre reproduction $A’C’B’$ du triangle en bas. En traçant $DD’$ et $CC’$, qui sont en réalité perpendiculaires, on observe que $DD’$ divise l’hexagone supérieur $ABDEFD’A$ symétriquement ; les deux autres parties peuvent faire une rotation et se placer de façon à cacher l’hexagone $ACBA’C’B’A$. Ensuite, la somme des deux carrés à partir des côtés de l’angle droit doit être égale au carré placé le long de l’hypoténuse.

Autres démonstrations et casse-tête

On peut obtenir, de manière très simple et très élégante, des démonstrations directes du théorème de Pythagore. Il faut tout simplement diviser les deux carrés à partir des côtés de l’angle droit du triangle rectangle en pièces et essayer de former à partir de ces pièces un carré le long de l’hypoténuse, un peu à la façon d’un casse-tête.

Le mathématicien chinois Liu Hui, qui vivait au iiie siècle, durant le règne de Wei, publia en l’an 263 un livre important sur l’histoire des mathématiques, dans lequel il présenta plusieurs solutions aux problèmes de l’époque. Il traite du Jiuzhang Suanshu ou Les Neuf Chapitres de l’art mathématique.Y apparaît, notamment, une approximation du nombre Pi (3,141014) et l’auteur suggère 3,14 comme la meilleure représentation de la constante.Y figure également une démonstration du théorème de Pythagore sous la forme d’un casse-tête.

UNE DISTRACTION AVEC LES CASSE-TÊTE PYTHAGORICIENS

Les casse-tête démontrent que le théorème peut devenir un jeu. Il s’agit de coller une photographie carrée de la taille du carré à partir de l’hypoténuse. On place la photographie sur le carré de l’hypoténuse, puis on la découpe suivant le tracé de la figure géométrique et on déplace les morceaux obtenus vers les carrés des côtés. On demande ensuite à quelqu’un de recomposer la photographie. En terminant le puzzle, cette personne n’aura pas seulement découvert le contenu de la photographie, mais elle aura aussi réalisé la démonstration du théorème le plus célèbre de l’histoire.

Dans ce curieux puzzle, les carrés des côtés de l’angle droit se divisent de la manière suivante : le plus petit en deux moitiés ; le plus grand en cinq pièces qui sont obtenues à partir du triangle rectangle initial déplacé vers les deux sommets opposés du plus grand carré, exactement comme l’indique la figure qui suit. Au moyen de ces sept pièces, il est possible de recomposer le carré de l’hypoténuse avec une répartition pour le moins particulière.

Johannes Eduard Böttcher (1847-1919) fut un physicien allemand. Il fut recteur du Realgymnasium de Leipzig, mais une grande partie de son travail d’investigation concernait les mathématiques pures. En 1886, il publia un modeste article dans la Revue pour l’enseignement des mathématiques et les sciences naturelles titré de manière très simple : « Modèle simple pour la démonstration du théorème de Pythagore ». Dans cet article, il proposa le casse-tête suivant :

Ce puzzle consiste à diviser chacun des carrés des côtés en quatre triangles égaux deux à deux et avec eux d’obtenir ainsi le carré de l’hypoténuse avec une curieuse symétrie centrale, exactement comme le montre l’illustration.

Cette mathématique récréative se retrouve chez le Britannique Henry Ernest Dudeney (1857-1930). Très inventif, Dudeney, qui contre toute attente manquait de formation mathématique et était tout à fait autodidacte, inventa et publia une grande quantité de casse-tête et autres jeux d’ingéniosité dans les quotidiens de l’époque. Ces jeux donnèrent lieu par la suite à la publication de volumes entiers –- une véritable bible pour les passionnés de défis mathématiques. Pythagore était présent dans nombre d’entre eux.

Le casse-tête suivant, composé de cinq pièces, permet de fabriquer le carré de l’hypoténuse avec le petit carré et la décomposition de l’autre en quatre petits mor- ceaux, autour du carré.



Elisha Scott Loomis (1852-1940), professeur d’origine américaine, dont la vo- cation était de vulgariser la science et la philosophie, n’est sans doute pas l’auteur le plus commenté dans les cercles mathématiques. Il n’y a aucune équation ni aucun théorème qui porte son nom et ses nombreuses publications ont été oubliées, à une exception près : La Proposition pythagoricienne, de 1927, qui regroupe et classifie 371 démonstrations du théorème de Pythagore.

En traçant la parallèle à l’hypoténuse depuis le sommet d’un angle droit, on di- vise le petit carré en deux morceaux. Ensuite, à l’aide d’une droite perpendiculaire à la première, on divise le carré de l’autre côté en trois. Si on recompose les cinq morceaux ainsi obtenus, on obtient le carré de l’hypoténuse.

Comme on peut le voir, nombreuses et variées sont les démonstrations du théorème de Pythagore. Celui qui le désire peut se poser comme défi personnel de trouver des nouvelles démonstrations.

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Sommaire du livre

Pour aller plus loin

• Découpage d’Airy et théorème de Pythagore ( piste verte).

• Quelques propriétés des carrés parfaits ( piste verte).

• Un arbre pythagoricien (piste bleue).

• Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov (piste bleue).