La forma del Universo

Ya que determinar la forma de nuestro pequeño planeta no fue para nada un asunto sencillo, el lector puede fácilmente imaginar que abordaremos nuestro inmenso universo con una cierta prudencia. ¿Qué forma tiene en realidad el Universo ? Es una pregunta que no es fácil de contestar. Por largo tiempo el hombre lo percibió como un espacio que se extiende en tres direcciones hacia el infinito y al centro del cual estaba situada la Tierra. Algunos siglos después se desarrolló una teoría (mucho más interesante que aquella relacionada con la esfericidad de la Tierra) según la cual la Tierra ya no estaba en el centro del Universo, sino que giraba alrededor del Sol, que a su vez tampoco se encontraba en el centro del Universo : no sería más que una estrella situada en el seno de una galaxia de tamaño mediano y sumergida en un Universo que finalmente no tendría centro. Nosotros, humanos viviendo en este inmenso espacio, ¿sabremos, observando a nuestro alrededor, definir de manera inteligente la forma del Universo ?

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Nos parece, al encontrarnos en el espacio y mirando alrededor nuestro, que los tres ejes de coordenadas se extienden hacia el infinito. Podríamos concluir entonces que el Universo es un espacio cartesiano. Sin embargo, eso significaría volver a decir que la Tierra es plana únicamente porque es posible dibujar sus ejes sobre el suelo. ¡No cometamos los mismos errores !

El Universo podría ser el equivalente a una esfera, pero en dimensión 3 (diremos una hiperesfera, aunque los matemáticos la llamen 3-esfera). Es difícil representarla ; puede ser porque las hipermanzanas no existen. Si el Universo se ’’curvara’’, entonces podríamos dar toda la vuelta : un hipotético trayecto en línea recta pasaría por un punto antipodal (¿qué elemento extraordinario se encontraría en las hiperantípodas ?) y regresaría, describiendo una gran curva. Fue el matemático alemán Bernhard Riemann quien primero formuló esta tesis, en 1854.

En realidad, el ambiente que percibimos es restringido. Puede ser que tengamos la impresión concreta de observar, con nuestros telescopios, galaxias lejanas, pero en realidad la porción del espacio observable es ínfima comparada con las dimensiones globales del cosmos. De ese modo, la única conclusión que podemos sacar es que nuestro Universo es ’’localmente equivalente al espacio cartesiano tridimensional’’.

Partamos del principio de que es posible definir localmente coordenadas en cualquier otra parte del Universo. Muchos postulados de la física verifican esta propiedad. El primero afirma que las ecuaciones de la física no deben depender del punto donde uno se encuentre o de la posición en la cual uno se encuentre (principio de coherencia). El segundo postulado es un principio de relatividad (formulado de una manera más elaborada en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein), que enuncia que no existe un sistema de coordenadas privilegiado.

Una variedad es un espacio que puede ser visto ’’localmente’’ como el espacio cartesiano. Por lo tanto, cualquier punto puede estar indiferentemente definido por coordenadas. La palabra variedad viene del hecho de que este espacio tiene direcciones ’’variadas’’.

Una variedad de dimensión 2 es una superficie. Es posible definir coordenadas $(x,y)$ en la vecindad de un punto.

El problema puede ser estudiado entonces bajo el ángulo de las matemáticas. ¿Cuáles son los espacios de dimensión 3 ? ¿Cómo identificarlos y construirlos ? ¿Cuál de entre ellos es nuestro Universo ?

Las matemáticas a las cuales debemos acudir son extremadamente complejas, en la medida en que tratan un problema hasta ahora no resuelto y sobre el cual numerosos especialistas han trabajado y trabajan aún. Los resultados parciales obtenidos son, sin embargo, de gran interés científico. Simplifiquemos el problema gracias a algunas hipótesis relativas al Universo :

• El espacio ciertamente no tiene ningún límite, no se termina nunca. Es, por lo tanto, ilimitado.

• Otra hipótesis, más discutible pero sin embargo razonable, supone que el Universo no es infinito. Podría ser entonces un espacio finito, pero ilimitado (como la Tierra). Desde un punto de vista filosófico, esta tesis es defendible, ya que reenvía a las paradojas de la infinitud, en el caso que el Universo esté compuesto por una cantidad infinita de materia. Sin embargo, estos argumentos son débiles. Deberemos no obstante tenerlos en cuenta, ya que un descubrimiento ulterior podría obligarnos a enfrentar una hipótesis de ese tipo. Veremos más adelante cómo los caracteres ’’ilimitados’’ y ’’finitos’’ pueden ser compatibles.

• Se supone en general que la materia está distribuida más o menos equitativamente en el Universo. La distribución de galaxias parece en efecto más o menos uniforme. Eso tiene un impacto en la geometría del espacio, ya que esta pasa a ser homogénea, es decir, que la geometría es (casi) la misma en todas partes. Esta hipótesis se funda en la exploración del Universo observable y es compatible con otras teorías, como la del Big Bang.

Encontrar las 3-variedades que verifican estas tres propiedades es más fácil que determinar todas las 3-variedades. Se trata de un problema que, hasta el día de hoy, no ha sido enteramente resuelto. Desde luego los científicos están en condiciones de acompañar el desarrollo matemático de experimentos cosmológicas (que consisten en captar las radiaciones cósmicas) que permitan hacer avanzar las investigaciones. Sin embargo, nada se ha establecido aún.

Vamos ahora a penetrar en un mundo hecho de matemáticas, de topología y de geometría. Mostraremos hasta qué punto es difícil aprehender la forma global de los espacios, tanto como comprender la manera en la cual la forma local y la forma global (la geometría y la topología) están íntimamente ligadas. Estudiaremos los descubrimientos matemáticos de estos últimos 150 años sobre las variedades, para enseguida enfocarnos en el problema que nos interesa.

Nos interesaremos en las superficies con el fin de familiarizarnos poco a poco con la topología y la geometría de las variedades. Tendremos por compañeros a encantadores personajes : los habitantes de Flatland, héroes de una historia de paso a una dimensión superior, que nos ayudará a profundizar nuestro conocimiento de la realidad, dando prueba siempre de espíritu crítico.

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Para profundizar

He aquí algunos artículos sobre este tema :

• Geometría, medir la Tierra, ¿medir la Tierra? (pista verde).

• Los triángulos de Euclides, de Gauss y de Gromov (pista azul).

• La conjetura de Poincaré (pista azul).

• Una habitación hyperbólica (pista roja).

• Triangulaciones : de la Tierra al nudo de trébol (pista roja).

• La banda que ’’todo el mundo conoce’’ (pista roja).

• La dualidad de Poincaré ( fuera de pista ).