Le nombre Pi à la loupe

Piste bleue Le 20 décembre 2018  - Ecrit par  Bruno Martin Voir les commentaires

Il permet de calculer le périmètre et l’aire d’un disque ; on le rencontre dès l’école primaire ; des comptines, des livres entiers lui sont dédiés. Le nombre $\pi$ est une véritable vedette des mathématiques. Depuis plus de deux mille ans, de nombreux scientifiques ont cherché à mieux comprendre les propriétés de ce nombre, avec succès car $\pi$ est beaucoup moins mystérieux de nos jours qu’il ne l’était dans l’Antiquité. Et pourtant la suite de ses décimales reste encore bien énigmatique...

En 2010, François Gramain a écrit sur ce site un article très complet sur les décimales du nombre $\pi$. Il y décrit notamment les progrès successifs, de l’Antiquité à nos jours, qui font que nous connaissons aujourd’hui ses vingt mille milliards premières décimales.

La suite des décimales de $\pi$ est, comme nous allons le voir, l’objet d’une conjecture qui semble particulièrement ardue. Prenons comme point de départ cette citation de François Gramain :

« La plupart des mathématiciens pensent que ces décimales sont réparties “au hasard” : ce n’est, bien sûr, pas un véritable hasard qu’on attend, puisque on a une définition bien précise [de $\pi$], mais une bonne répartition doublée d’inattendu, ce qui ressemble au hasard... »

Nous allons prendre le temps de préciser et d’éprouver cette affirmation, le temps de deux articles. Nous nous poserons également la question de savoir ce qu’il en est pour d’autres nombres que $\pi$...

Si les décimales de $\pi$ sont réparties « au hasard » alors instinctivement on se dit que l’on doit trouver parmi elles autant de $0$ que de $1$, que de $2$... que de $9$. Cela pose un petit problème car contrairement à des nombres comme $1/5=0,8$ ou $13/4=3,25$, $\pi$ n’est pas ce que l’on appelle un nombre décimal : ses décimales sont en nombre infini (on en est certain, on sait le démontrer et ce n’est pas facile d’ailleurs !).

En conséquence, pour donner une traduction mathématique précise à l’assertion selon laquelle on trouve, par exemple, autant de $0$ que de $1$ parmi les décimales de $\pi$, nous devons prendre quelques précautions. La démarche consiste à calculer les fréquences d’apparitions de $0$, de $1$,..., de $9$ parmi les premières décimales, puis de voir ce qu’il se passe à mesure que l’on prend davantage de décimales en compte.

Allons-y ! Observons pour commencer les $100$ premières décimales de $\pi$ :
\[ \begin{array}{rl} \pi & = 3, \,14159265358979323846\\ & \qquad \, 26433832795028841971\\ & \qquad \, 69399375105820974944\\ & \qquad \, 59230781640628620899\\ & \qquad \, 86280348253421170679\ldots \end{array} \]
On peut compter combien de fois apparaissent $0$, $1$,..., $9$ et reporter les résultats dans un tableau :

Les $100$ premières décimales
Chiffres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nombre d’apparitions 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14

Si les $100$ premières décimales étaient parfaitement réparties, nous aurions observé $10$ apparitions du chiffre $0$, $10$ apparitions du chiffre $1$, etc. Ce n’est pas le cas mais sans doute était-ce trop en demander ! Observons toutefois que les résultats ne sont guère éloignés de $10$.

Poursuivons et prenons maintenant en compte les $200$ premières décimales : on trouve
\[ \begin{array}{rl} \pi & = 3, \,14159265358979323846\\ & \qquad \, 26433832795028841971\\ & \qquad \, 69399375105820974944\\ & \qquad \, 59230781640628620899\\ & \qquad \, 86280348253421170679\\ & \qquad \, 82148086513282306647\\ & \qquad \, 09384460955058223172\\ & \qquad \, 53594081284811174502\\ & \qquad \,84102701938521105559\\ & \qquad \,64462294895493038196\ldots \end{array} \]
À nouveau, comptons le nombre d’apparitions de $0$, de $1$...

Les $200$ premières décimales
Chiffres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nombre d’apparitions 19 20 24 19 22 20 16 12 25 23

Nous y verrons plus clair en calculant les pourcentages d’apparitions plutôt que les nombres d’apparitions :

Pourcentages d’apparitions
Chiffres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

100 premières décimales (en $\%$) 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
200 premières décimales (en $\%$) 9,5 10 12 9,5 11 10 8 6 12,5 11,5

Les valeurs des pourcentages obtenus tournent autour de $10\,\%$. On constate que d’une ligne à l’autre, les écarts entre ces différents pourcentages se sont (un peu) resserrés.
Prenons maintenant en compte les $100$, les $1000$, les $10000$, etc., les $10^6$ premières décimales en compte. Je ne prends plus la peine d’écrire les décimales de $\pi$ (cela prendrait beaucoup de place !). Les pourcentages sont arrondis en prenant deux chiffres après la virgule.

Pourcentages d’apparitions
Chiffres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

$10^2$ premières décimales 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
$10^3$ premières décimales 9,3 11,6 10,3 10,2 9,3 9,7 9,4 9,5 10,1 10,6
$10^4$ premières décimales 9,68 10,26 10,21 9,74 10,12 10,46 10,21 9,7 9,48 10,14
$10^5$ premières décimales 10,00 10,14 9,91 10,03 9,97 10,03 10,03 10,03 9,98 9,90
$10^6$ premières décimales 10,00 9,98 10,00 10,02 10,02 10,04 9,96 9,98 10,00 10,01

On constate que les pourcentages d’apparitions se rapprochent tous de $10\,\%$ à mesure que l’on prend davantage de décimales en compte. Il n’y a pas exactement autant de $0$, que de $1$,..., que de $9$ parmi les premières décimales de $\pi$ mais les écarts entre les pourcentages semblent inexorablement de plus en plus faibles.

C’est encore plus parlant si on visualise les courbes d’évolution de ces pourcentages. Commençons par visualiser par exemple, celles correspondant aux chiffres $0$ et $9$.

PNG - 52.1 ko

Tant que l’on reste cantonné aux mille premières décimales, les deux courbes sont assez distantes l’une de l’autre, puis inexorablement semblent être attirées par la valeur de $10\,\%$. On dit que les pourcentages d’apparitions de $0$ et $9$ convergent (ou du moins semblent converger) vers la valeur de $10\,\%$.

Notez que j’ai utilisé une échelle particulière pour l’axe horizontal, les graduations ne sont pas régulières. Cela permet de mettre mieux en évidence ce phénomène de convergence.

Maintenant que notre oeil est exercé, nous pouvons visualiser simultanément les dix courbes correspondant aux pourcentages d’apparitions des chiffres $0$, $1$, $2$,..., $9$ pouvant apparaître parmi les décimales. C’est une sorte d’empreinte digitale de $\pi$ !

PNG - 135.4 ko

Toutes les courbes se rapprochent de la valeur de $10\,\%$ à mesure que l’on prend davantage de décimales en compte ! Eh bien voici la

Conjecture du trimestre : les pourcentages d’apparitions des chiffres $0$, $1$, $2$,..., $9$ dans les décimales du nombre $\pi$ convergent tous vers $10\,\%$.

Bien que nos observations semblent mettre en évidence ce phénomène de convergence, on ne sait pas aujourd’hui démontrer qu’il a bel et bien lieu. Et c’est rageant ! Nous pourrions poursuivre nos calculs en prenant de plus en plus de décimales en compte, et constater que ce phénomène se poursuit. Mais nous nous heurterons tôt ou tard au fait que l’on ne connaît pas les décimales de $\pi$ passé un certain rang. Seule une preuve mathématique peut garantir qu’au-delà, la convergence persistera.

Maintenant, posons-nous la question suivante : ce phénomène de convergence, s’il était prouvé, suffirait-il à affirmer que les décimales de $\pi$ semblent être réparties au hasard ? Pas vraiment !
Prenez le nombre
\[ \begin{array}{rl} 0, &\!01234567901234567890123456789\\ & \!01234567901234567890123456789\\ &\! 01234567901234567890123456789\ldots \end{array} \]
qui est obtenu en répétant indéfiniment le motif $0123456789$. Certes, on se doute que les pourcentages d’apparitions de chaque chiffre vont tendre vers $10\,\%$. Mais voilà, la suite des décimales de ce nombre ne ressemble guère à l’idée que l’on se fait du hasard ! Nous devons donc aller plus loin dans notre exploration des décimales de $\pi$ : ce sera dans quelques mois, dans le deuxième volet de cet article !

Post-scriptum :

L’auteur remercie chaleureusement les relecteurs de cet article dont les noms ou les pseudos sont Shalom Eliahou, Mario, Simon Billouet et Gilles Damamme.

Article édité par Shalom Eliahou

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Pour citer cet article :

Bruno Martin — «Le nombre Pi à la loupe » — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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