Le programme nouveau est arrivé !

Le 25 novembre 2012  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (10)

Les changements de programme en cascade ont fini par atteindre
les classes préparatoires et le projet de programme pour la classe
de math sup a été rendu public récemment (comme la formation
se déroule sur deux ans, il est un peu bizarre de ne rendre public que
le contenu de la première année, ce qui ne permet pas vraiment
de juger de la cohérence de l’ensemble). Il s’agit en gros
du programme de la classe de terminale C de la fin des années 1970,
un peu renforcé en probabilités, un peu plus en analyse et
algèbre linéaire, pas mal diminué en arithmétique et
géométrie (mais « par son langage et ses modes de représentation, la géométrie imprègne l’ensemble du programme »).
Il n’est pas sûr que les élèves
de math sup des années 2010 sauraient faire les épreuves
du baccalauréat des années 1970 (par exemple, l’épreuve
de la session 1978 de l’académie de Paris, épreuve un peu particulière
pour laquelle il a fallu noter sur 28 et décréter que 91 était
un nombre premier [1]).
Cela manque singulièrement d’ambition et d’énoncés
vraiment frappants (comme le théorème de Lagrange selon lequel
le cardinal d’un sous-groupe divise celui du groupe). Évidemment,
rien n’empèche les professeurs de faire passer la culture
mathématique sous forme de problèmes ou d’exercices bien choisis
mais on peut quand même déplorer la platitude du programme.
Peut-être que le cru de l’an prochain réservera de bonnes surprises ?

Une comparaison avec ce que propose
l’université de Cambridge [2] en première année est assez
intéressante (la situation dans le secondaire n’a pas l’air
vraiment meilleure en Angleterre qu’en France ; peut-être que l’intégration par
partie y a survécu) : le programme de math sup proposé est strictement inclus
dans les 80 heures de cours du premier trimestre et 40
heures du second,
mais le complémentaire
est loin d’être négligeable et semble témoigner
d’un reste de traumatisme de la part de membres de la commission
des programmes (Inspection Générale ?) au sujet des classes
d’équipollence de bipoints et de la droite affine d’un ancien
programme du collège. Parmi les absences vraiment dommageables,
il y a :

— la notion de dénombrabilité (et la non dénombrabilité de ${\mathbf R}$),

— L’anneau ${\mathbf Z}/n{\mathbf Z}$
(et le corps ${\mathbf F}_p={\mathbf Z}/p{\mathbf Z}$).

En ce qui concerne le premier point, c’est même dommage d’un point
de vue de la culture tout court : la découverte
de l’existence de plusieurs infinis
est toujours un choc que l’on peut partager avec des gens
ne faisant pas d’études mathématiques.
La suppression du second est assez incompréhensible
vu le caractère formateur de la notion
(et aussi pour son rôle dans la formation d’ingénieurs informaticiens :
les ordinateurs font une grande consommation d’arithmétique dans
${\mathbf Z}/n{\mathbf Z}$ ou d’algèbre linéaire sur ${\mathbf F}_2$).
Je suppose que l’argument a été
qu’il s’agit d’un passage au quotient et donc
d’une notion beaucoup trop abstraite pour les
élèves ce qui dénote une certaine dose de mauvaise foi :
${\mathbf Z}/n{\mathbf Z}$ est juste l’anneau ${\mathbf Z}$ auquel
on a rajouté la relation $n=0$ (ou 10=1 (et donc 9=0)
dans la preuve par 9 de notre enfance),
et donc on fait les calculs comme dans ${\mathbf Z}$ en se permettant
de retrancher le multiple de $n$ que l’on veut au résultat ;
il faut juste faire attention au fait que $ab=0$ n’implique pas
forcément $a=0$ ou $b=0$. Prétendre que le corps
${\mathbf F}_2$ est un objet plus compliqué que celui des
nombres réels est un déni de réalité [3] :
les tables d’addition et de multiplication
dans ${\mathbf F}_2$ sont limpides, alors que dans ${\mathbf R}$...

Se restreindre à l’algèbre linéaire sur ${\mathbf R}$ ou ${\mathbf C}$
est aussi questionnable car la théorie sur un corps général
n’est pas plus compliquée (le support géométrique, qui peut [4]
être une aide sur ${\mathbf R}$, fait déjà
défaut sur ${\mathbf C}$).

Une autre curiosité du programme est son horreur
du vide (enfin de l’ensemble du même nom). Est-ce dû
au traumatisme d’un autre membre de la commission
à la suite de l’exercice
« calculer [5] ${\mathcal P}({\mathcal P}({\mathcal P}(\emptyset)))$ » que l’on
posait en classe de 5-ième dans les années 1970 ? En tout
cas, le résultat est qu’on ne peut pas sommer sur un ensemble vide,
faire le produit sur un ensemble vide, parler d’une famille vide [6] : toutes
choses qui reposent sur des conventions naturelles qui facilitent
bien la vie pour ne pas passer son temps à distinguer des cas
dans les démonstrations (par exemple pour écrire
$\sum_{i\in I}x_i-\sum_{i\in J}x_i=\sum_{i\in I-J}x_i$,
il va falloir imposer que $J$ soit strictement inclus dans $I$ ; pour
construire une base de $E\oplus F$, il va falloir distinguer
les cas $E=0$ ou $F=0$, etc.). C’est tellement absurde que j’en viens
à soupçonner certains membres de la commission de l’avoir
imposé pour avoir quelque chose d’insignifiant à modifier
à l’issue de la consultation mise en place par le ministère
et faire ainsi preuve de bonne volonté face aux critiques éventuelles sans avoir
à toucher à quoi que ce soit de significatif.

Notes

[1Il y avait une équation du second degré
à résoudre dans ${\mathbf Z}/91{\mathbf Z}$ et une proportion
non négligeable des candidats a raisonné en partant du principe
que 91 était premier ; après tout, il n’est pas divisible par 2,3 ou 5.

[2Le premier trimestre est décrit pages 5 et 6,
celui des deux cours du second page 7 ; on remarquera la concision de ce programme par rapport à celui proposé en math sup.

[3Comme ${\mathbf R}$ est
non dénombrable et qu’on ne peut écrire qu’un nombre dénombrable
de formules définissant des nombres réels, la plupart des nombres
réels ne sont pas définissables et donc n’existent pas (pris individuellement)
contrairement à ce que leur nom suggèrerait. Il vaut mieux
passer pudiquement ce point sous silence dans un cours de ce niveau...

[4Ce
n’est pas évident : un de mes collègues m’a raconté qu’il avait
commencé à faire un dessin au tableau pour montrer que le plan d’équation
$x+y+z=0$ et la droite engendrée par $(1,1,1)$ sont en somme directe
dans ${\mathbf R}^3$, mais que les élèves lui ont dit de ne pas
faire ça car ça les embrouillait...

[5Rien c’est rien, mais trois fois rien c’est déjà quelque chose...

[6On ne peut pas non plus considérer d’application de l’ensemble vide dans un ensemble ; je présume que cela explique l’absence de la notion de graphe d’une application.

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «Le programme nouveau est arrivé !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

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  • Le programme nouveau est arrivé !

    le 29 novembre 2012 à 18:04, par projetmbc

    Enseignant la spécialité en Terminale S, je ne comprends pas que l’on ne travaille plus dans Z/nZ. Je vais en parler à mes élèves via un mini-doc hors du cours. Ceci pour dire, que cette notion est simple.

    J’ai été un élève faible en prépa, faute d’avoir été poussé en Term. S, mais je garde tout de même de la spé. le souvenir plus qu’émerveillé des résultats sur sur la cardinalité.

    Je suis globalement inquiet de la médiocrité que l’on est en train d’instutionnaliser à tous les niveaux.

    Pourquoi ? Qui fait ces programmes ? Il serait temps que les enseignants puissent participer à ce processus.

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