Le théorème de Sylvester-Gallai

Pista azul El 21 junio 2022  - Escrito por  Jonathan Chappelon Ver los comentarios

En 1944, le mathématicien Tibor Gallai montra que peu importe la manière de disposer un nombre fini de points dans le plan, il existe toujours une droite passant par uniquement deux de ces points, à condition que tous les points ne soient pas alignés sur une même droite. Ce résultat répond à un problème posé par James J. Sylvester une cinquantaine d’années plus tôt et constitue ce que l’on appelle aujourd’hui le Théorème de Sylvester-Gallai. Nous verrons que ce problème, résolu dans sa forme initiale, suscite encore une question ouverte.

1. Introduction

En 1893, le mathématicien anglais James Joseph Sylvester, alors âgé de 79 ans environ, proposa un problème très simple en géométrie discrète [1].

Problème de Sylvester (1893).
Montrer qu’il n’est pas possible de placer un nombre fini de points dans le plan de sorte que toute droite passant par deux d’entre eux passe par un troisième, à moins qu’ils ne soient tous alignés sur une même droite.

La même année, Herbert J. Woodall annonce avoir obtenu une preuve mais il s’avéra que sa solution était incomplète. Ce problème tomba ensuite dans l’oubli pendant une cinquantaine d’années. En 1943, ne connaissant pas le problème posé par Sylvester, le très prolifique mathématicien hongrois Paul Erdős conjecture le même résultat dans un article de la revue American Mathematical Monthly [2]. Son ami d’enfance, le mathématicien Tibor Gallai prouve cette conjecture l’année suivante [3]. Ce résultat est alors appelé Théorème de Sylvester-Gallai.

Théorème de Sylvester-Gallai (1944).
Pour tout ensemble fini de points dans le plan,

  • soit tous les points sont alignés sur une même droite,
  • soit il existe une droite passant par exactement deux des points de cet ensemble.

La preuve de Gallai n’est pas en réalité la première réponse connue et publiée du problème de Sylvester. En effet, en 1941, dans un article du jeune mathématicien allemand Eberhard Melchior, on trouve un résultat plus général de géométrie projective qui répond au Problème de Sylvester [4]. Depuis, de nombreuses preuves de ce théorème sont apparues dans la littérature. Dans cet article, nous présenterons en détail une preuve qui a été donnée par le mathématicien américain Leroy Milton Kelly en 1958 [5]. Cette preuve est réputée comme étant l’une des plus élémentaires, elle ne nécessite pas de connaissances mathématiques dépassant le niveau du collège.

Cet article est organisé comme suit. Nous commencerons par examiner cas par cas ce qui se passe pour un ensemble d’au plus quatre points en Section 2. Après quelques résultats préliminaires (simples) de géométrie et de dénombrement en Section 3, la preuve de Kelly du Théorème de Sylvester-Gallai sera donnée en Section 4. Nous discuterons ensuite sur la nécessité de la finitude de l’ensemble de points en Section 5 et sur le nombre de droites ordinaires en Section 6. Enfin, des généralisations du Théorème de Sylvester-Gallai seront abordées en Section 7.

2. Pour moins de quatre points

Commençons par regarder ce qu’il se passe pour un petit nombre de points. Tout d’abord, on conviendra que pour $0$ ou $1$ point le problème de Sylvester n’a que peu d’intérêt. Pour $2$ points distincts, ceux-ci déterminent une unique droite.

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Pour $3$ points distincts, il y a deux possibilités : soit les $3$ points sont alignés sur une même droite, soit les $3$ points déterminent un triangle non dégénéré et il existe alors $3$ droites passant exactement par $2$ points.

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Enfin, pour $4$ points distincts, il y a trois possibilités :

  • soit les $4$ points sont alignés sur une même droite,
  • soit les $4$ points ne sont pas alignés sur une même droite mais il y a $3$ points alignés sur une même droite $d$ et $1$ point en dehors de cette droite. Dans ce cas, il y a $3$ droites passant exactement par $2$ points : les droites passant par le point extérieur et l’un des points de $d$.
  • soit $3$ points ne sont jamais alignés et donc chaque couple de points détermine une droite qui ne passe que par $2$ points de notre ensemble. Il y a alors $6$ droites de ce type.
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Ainsi pour des ensembles d’au plus $4$ points, le Théorème de Sylvester-Gallai est bien vérifié : soit tous les points sont alignés sur une même droite, soit il existe une droite passant par exactement deux points de notre ensemble.

En guise d’exercice, le lecteur peut s’essayer à résoudre les cas suivants pour $5$, $6$, $7$ points...

Après cette mise en bouche, nous allons introduire quelques notions et montrer quelques résultats simples de géométrie qui nous serviront dans la preuve générale du Théorème de Sylvester-Gallai.

3. Résultats préliminaires

Commençons par introduire quelques notations des plus classiques en géométrie.

Notations.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan. On notera $(A,B)$ la droite passant par $A$ et $B$, $[A,B]$ le segment fermé d’extrémités $A$ et $B$ et $]A,B[$ le segment ouvert d’extrémités $A$ et $B$.

Continuons avec la notion de distance entre deux points et entre un point et une droite.

Définition (distance entre deux points).
Soient $A$ et $B$ deux points du plan. On appelle distance entre les points $A$ et $B$ la longueur du segment $[A,B]$ que l’on notera $AB$.

Pour la distance d’un point à une droite, la notion de projeté orthogonal d’un point sur une droite est requise.

Définition (projeté orthogonal d’un point sur une droite).
Soient $A$ un point et $d$ une droite du plan. Le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $d$ est l’unique point $H$ de $d$ tel que les droites $(A,H)$ et $d$ soient perpendicullaires.

Il est alors possible d’obtenir le résultat suivant.

Proposition.
Soient $A$ un point et $d$ une droite du plan. Soient $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$ et $B$ un point quelconque de $d$ différent de $H$. Alors,
\[ AH < AB. \]

Preuve

Si le point $A$ est sur $d$, alors $H=A$. Donc $AH=0$ et $AB>0$. Il suit que $AB>AH$ dans ce cas.

Supposons maintenant que $A$ ne soit pas un point de $d$. On a alors

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Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, d’hypoténuse $[A,B]$. L’hypoténuse d’un triangle rectangle étant son plus grand côté (on sait par le Théorème de Pythagore que $AB^2=AH^2+BH^2$), on en déduit que $AB>AH$.

Définition (distance entre un point et une droite).
Soient $A$ un point et $d$ une droite du plan. On appelle distance entre le point $A$ et la droite $d$ la plus petite valeur de $AB$ où $B$ est un point de la droite $d$. La distance entre $A$ et $d$ sera notée $\mathrm{dist}(A,d)$. De la proposition précédente, on déduit que
\[ \mathrm{dist}(A,d) = AH, \]
où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $d$.

Les deux lemmes suivants sont les résultats intermédiaires sur lesquels s’appuie la preuve de Kelly qui sera présentée en Section 4.

Lemme 1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan formant un triangle non dégénéré. Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(B,C)$.

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Alors $AH < AB$ et $AH < AC$.

Preuve

Provient directement de la Proposition précédente. $H$ étant le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(B,C)$, on a $AH < AB$ et $AH < AC$ par la Proposition.

Continuons avec une version plus générale du Lemme 1.

Lemme 2.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan formant un triangle non dégénéré. Soient $D$ un point de $[A,C]$ et $H$ le projeté orthogonal de $D$ sur la droite $(B,C)$.

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Alors $DH < AB$.

Preuve

Si $D=A$, alors $DH < AB$ par le Lemme 1.

Si $D=C$, alors $H=C$ et donc $DH=0$. Il est alors évident que $DH < AB$.

Supposons maintenant que $D$ soit dans $]A,C[$. Considérons la droite parallèle à la droite $(A,B)$ passant par $D$ et notons $E$ son intersection avec la droite $(B,C)$. On a alors

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Les droites $(A,B)$ et $(D,E)$ étant parallèles, on sait par le Théorème de Thalès que
\[ \frac{CE}{CB} = \frac{CD}{CA} = \frac{DE}{AB}. \]
Comme $D$ est dans $]A,C[$, on a $CD < CA$ et donc $\frac{CD}{CA} < 1$. De l’égalité obtenue par le Théorème de Thalès, il suit que $\frac{DE}{AB} < 1$ et donc
\[ DE < AB. \]
On utilise ensuite le Lemme 1 dans le triangle $CDE$ avec $H$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(E,C)=(B,C)$ et l’on obtient l’inégalité
\[ DH < DE. \]
En combinant les deux inégalités, on conclut que
\[ DH < DE < AB. \]

On termine cette section en introduisant les notions de droites de connexion et de droites ordinaires d’un ensemble de points du plan.

Définition.
Soit $\mathcal{P}$ un ensemble (fini ou infini) de points du plan. Une droite de connexion de $\mathcal{P}$ est une droite contenant au moins deux points distincts de $\mathcal{P}$. Une droite ordinaire de $\mathcal{P}$ est une droite contenant exactement deux points distincts de $\mathcal{P}$. Lorsque l’ensemble $\mathcal{P}$ est fini, on note $c(\mathcal{P})$ et $o(\mathcal{P})$ les nombres de droites de connexion et de droites ordinaires de l’ensemble $\mathcal{P}$, respectivement.

Tout ensemble $\mathcal{P}$ d’au moins deux points comporte au moins une droite de connexion. De plus, le cas particulier où $c(\mathcal{P})=1$ correspond au cas où tous les points sont alignés sur une même droite qui est l’unique droite de connexion de l’ensemble.

Proposition.
Pour tout ensemble (fini ou infini) de points du plan, $c(\mathcal{P})=1$ si et seulement si tous les points de $\mathcal{P}$ sont alignés sur une même droite.

Preuve

Tout d’abord, supposons que $c(\mathcal{P})=1$. Notons $d$ l’unique droite de connexion de $\mathcal{P}$. Soient $P_1$ et $P_2$ deux points distincts de $\mathcal{P}$. Comme $(P_1,P_2)$ est une droite de connexion et que $d$ est l’unique droite de connexion, on en déduit que $(P_1,P_2)=d$ et donc les points $P_1$ et $P_2$ sont sur $d$. Les points $P_1$ et $P_2$ étant choisis arbitrairement dans $\mathcal{P}$, on conclut que tous les points de $\mathcal{P}$ sont alignés sur $d$.

Réciproquement, supposons que tous les points de $\mathcal{P}$ soient alignés sur une même droite que l’on notera $d$. Soient $P_1$ et $P_2$ deux points distincts de $\mathcal{P}$. Les points $P_1$ et $P_2$ étant sur $d$, on en déduit que $(P_1,P_2)=d$ et donc $d$ est la droite de connexion pour la paire de points $\{P_1,P_2\}$. Les points $P_1$ et $P_2$ étant choisis arbitrairement dans $\mathcal{P}$, on conclut que $d$ est l’unique droite de connexion de $\mathcal{P}$ et donc $c(\mathcal{P})=1$.

Supposons maintenant que l’ensemble $\mathcal{P}$ soit fini. A chaque paire de points distincts de $\mathcal{P}$, on associe une droite de connexion. Bien sûr, cette droite de connexion peut contenir d’autres points de $\mathcal{P}$. On en déduit donc que lorsque $\mathcal{P}$ est constitué de $n$ points distincts, le nombre maximal de droites de connexion que contient $\mathcal{P}$ correspond au nombre de paires de points de $\mathcal{P}$.

Proposition.
Le nombre de paires d’éléments distincts d’un ensemble fini à $n$ éléments est exactement $\frac{n(n-1)}{2}$.

Preuve

Pour chaque paire, on choisit un premier élément parmi les $n$ éléments possibles puis un second élément parmi les $n-1$ restants. Cela fait $n(n-1)$ choix possibles et pour chaque choix on obtient une paire. Mais chaque paire est obtenue deux fois : on obtient $\{A,B\}$ en choisissant d’abord $A$ puis $B$, ou d’abord $B$ puis $A$. Il y a donc $\frac{n(n-1)}{2}$ paires d’éléments disctints.

Il suit l’encadrement suivant de $c(\mathcal{P})$ lorsque $\mathcal{P}$ est un ensemble fini de points du plan.

Proposition.
Pour tout ensemble $\mathcal{P}$ de $n\geqslant 2$ points du plan, on a
\[ 1\leqslant c(\mathcal{P}) \leqslant \frac{n(n-1)}{2}. \]

Cet encadrement est un bon encadrement car les bornes sont atteintes pour certaines configurations $\mathcal{P}$ de $n$ points du plan. En effet, si les $n$ points de $\mathcal{P}$ sont alignés sur une même droite, on a alors
\[ c(\mathcal{P})=1. \]

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Pour la borne supérieure, supposons que les $n$ points de $\mathcal{P}$ soient cocycliques, c’est-à-dire qu’il existe un cercle $\mathcal{C}$ contenant les points de $\mathcal{P}$. L’intersection d’un cercle et d’une droite dans le plan ne pouvant contenir plus de deux points, on en déduit que toute paire de points distincts de $\mathcal{P}$ définit une droite de connexion ne pouvant contenir un troisième point de $\mathcal{P}$ (c’est une droite ordinaire de $\mathcal{P}$). On en déduit que $\mathcal{P}$ contient alors $\frac{n(n-1)}{2}$ droites de connexion distinctes et donc
\[ c(\mathcal{P})=\frac{n(n-1)}{2} \]
dans ce cas.

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En utilisant cette terminologie de droites de connexion et de droites ordinaires, le Théorème de Sylvester-Gallai peut se réécrire de la manière suivante :

Théorème de Sylvester-Gallai.
Pour tout ensemble fini $\mathcal{P}$ de points du plan tel que $c(\mathcal{P})\geqslant 2$, on a $o(\mathcal{P})\geqslant 1$.

En effet, pour un ensemble $\mathcal{P}$ de points du plan, soit les points sont alignés sur une même droite ou non, c’est-à-dire, soit $c(\mathcal{P})=1$ ou $c(\mathcal{P})\geqslant 2$ par une Proposition précédente.

Nous disposons maintenant de tous les outils nécessaires afin de comprendre la preuve élémentaire donnée par Leroy Milton Kelly en 1958.

4. Preuve de Kelly

Tout d’abord, pour un ensemble de $0$, $1$ ou $2$ points du plan, le théorème de Sylvester-Gallai est évident. En effet, pour $0$ ou $1$ point, il n’y a pas de droite de connexion. Pour $2$ points, il y a une unique droite de connexion (tous les points sont alignés sur une même droite) qui est une droite ordinaire. Il reste alors à démontrer le résultat pour un ensemble fini d’au moins trois points du plan.

Soit $\mathcal{P}$ un ensemble fini de $n \geqslant 3$ points du plan non alignés, c’est-à-dire tel que $c(\mathcal{P}) \geqslant 2$.

Soit $d$ une droite de connexion de $\mathcal{P}$. Pour tout point $P$ de $\mathcal{P}$, on sait que $\mathrm{dist}(P,d)=0$ si et seulement si $P$ est un point de $d$. Comme la droite $d$ ne peut contenir tous les points de $\mathcal{P}$, on en déduit qu’il existe au moins un point $P$ de $\mathcal{P}$ tel que $\mathrm{dist}(P,d)>0$. Ainsi, pour toute droite de connexion $d$, il existe des points de $\mathcal{P}$ qui sont à une distance non nulle de $d$.

On sait qu’il existe un nombre fini $c(\mathcal{P}) \leqslant \frac{n(n-1)}{2}$ de droites de connexion de $\mathcal{P}$ et que, pour chacune d’entre elles, il y a au plus $n-2$ points de $\mathcal{P}$ qui soient à distances non nulles de celle-ci. On en déduit qu’il y a un nombre fini de couples $(P,d)$ de points et de droites de connexion de $\mathcal{P}$ tels que
\[ \mathrm{dist}(P,d) > 0. \]
En effet, il y a au plus
\[ (n-2)\times c(\mathcal{P}) \leqslant (n-2)\times\frac{n(n-1)}{2} \]
couples de ce type. On choisit alors une droite de connexion $d_0$ et un point $P_0$ de $\mathcal{P}$ tels que $\mathrm{dist}(P_0,d_0)$ soit la plus petite valeur strictement positive possible. Comme il y a un nombre fini de couples, cette plus petite valeur strictement positive de $\mathrm{dist}(P,d)$ existe bien toujours. On notera que ce minimum peut être atteint pour plusieurs couples $(P_0,d_0)$.

Nous allons montrer que la droite $d_0$ est ordinaire, c’est-à-dire qu’elle contient exactement deux points distincts de $\mathcal{P}$. Nous allons démontrer ce résultat par l’absurde : il s’agit d’une méthode de démonstration classique en mathématiques qui consiste à supposer qu’un énoncé est faux (ou à supposer que son contraire est vrai) et de montrer que cela aboutit à une contradiction (ce qui signifie que l’hypothèse introduite n’était pas valable).

Supposons donc que la droite $d_0$ contient au moins trois points distincts de $\mathcal{P}$, notons les $P_1$, $P_2$ et $P_3$. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $P_0$ sur la droite $d_0$. Comme le point $P_0$ n’est pas sur la droite $d_0$, on sait que $H \neq P_0$. Réfléchissons à la position relative des points $P_1$, $P_2$ et $P_3$ par rapport au point $H$ sur la droite $d_0$. Le point $H$ partage la droite $d_0$ en deux demi-droites d’origine $H$. Les trois points $P_1$, $P_2$ et $P_3$ appartiennent à au moins une de ces deux demi-droites (si $P_i$ appartient aux deux demi-droites à la fois, alors $P_i=H$). On en déduit qu’il y a une demi-droite contenant au moins deux points parmi les trois points $P_1$, $P_2$ et $P_3$. Supposons alors, quitte à renommer les points, que $P_1$ et $P_2$ soient du même côté de $H$ et que $HP_1 < HP_2$. On a alors les deux configurations suivantes possibles selon que $H = P_1$ ou $H \neq P_1$.

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On considère maintenant le point $Q$ qui est le projeté orthogonal du point $P_1$ sur la droite $(P_0,P_2)$. Le point $P_1$ étant distinct de $P_2$, il ne peut être sur la droite $(P_0,P_2)$ et donc $Q\neq P_1$. Que ce soit dans l’une ou l’autre des configurations, en appliquant le Lemme 2, on obtient que
\[ P_1Q < P_0H. \]
Il suit que
\[ 0 < \mathrm{dist}(P_1,(P_0,P_2)) < \mathrm{dist}(P_0,d_0). \]
On a alors obtenu que le point $P_1$ est à une distance de la droite de connexion $(P_0,P_2)$ de $\mathcal{P}$ qui est strictement inférieure à la distance minimale strictement positive d’un point à une droite de connexion dans $\mathcal{P}$. Nous obtenons bien ainsi une contradiction. Cela signifie que l’hypothèse de départ que la droite $d_0$ contienne trois points distincts de $\mathcal{P}$ est fausse et donc que la droite $d_0$ est ordinaire.

Ceci conclut cette preuve du Théorème de Sylvester-Gallai.

5. Sur la finitude de l’ensemble de points

Dans le Théorème de Sylvester-Gallai, il est supposé que l’ensemble de points est fini. Dans cette section, nous montrerons par des exemples simples que la conclusion de ce théorème n’est plus forcément vraie pour un ensemble infini de points.

Commençons par donner un exemple d’ensemble infini de points du plan non alignés sur une même droite et ne contenant pas de droite ordinaire. Pour faire aussi simple que possible, nous prendrons un ensemble infini «pas trop grand», un ensemble infini dénombrable, c’est-à-dire un ensemble infini dont on peut énumérer les éléments. Si le lecteur n’est pas averti sur cette notion de dénombrabilité, il peut oublier la phrase précédente et continuer la lecture sans aucun problème.

Munissons le plan d’un repère et considérons l’ensemble $\mathcal{P}$ des points à coordonnées entières
\[ \mathcal{P} = \left\{ (x,y)\ \middle|\ x,y\in\mathbb{Z}\right\}. \]
Considérons deux points $P_1=(x_1,y_1)$ et $P_2=(x_2,y_2)$ distincts de $\mathcal{P}$. Alors la droite $d=(P_1,P_2)$ est l’ensemble des points
\[ d = \left\{ (x,y)\ \middle|\ (y_2-y_1)(x-x_1)+(x_1-x_2)(y-y_1)=0\right\}. \]
On en déduit qu’il y a une infinité de points de $\mathcal{P}$ situés sur la droite $d$. Pour être plus précis, ce sont les points
\[ \left\{ (x_1+n(x_2-x_1),y_1+n(y_2-y_1))\ \middle|\ n\in\mathbb{Z}\right\}. \]
Ainsi toute droite de connexion de $\mathcal{P}$ contient une infinité de points de $\mathcal{P}$ et n’est donc pas ordinaire.

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Enfin, pour conclure cette section, donnons un exemple d’un ensemble infini de points non alignés contenant cette fois-ci au moins une droite ordinaire. Supposons que les points de $\mathcal{P}$ soient cocycliques, c’est-à-dire qu’il existe un cercle $\mathcal{C}$ contenant les points de $\mathcal{P}$. Par exemple, prenons l’ensemble des points situés sur le cercle unité suivant :
\[ \mathcal{P} = \left\{ \left(\frac{1}{n},\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\ \right)\ \middle|\ n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\}. \]
L’intersection d’un cercle et d’une droite dans le plan ne pouvant contenir plus de deux points, on en déduit que toute paire de points distincts de $\mathcal{P}$ définit une droite de connexion ne pouvant contenir un troisième point de $\mathcal{P}$ (c’est une droite ordinaire de $\mathcal{P}$). On en déduit que toute droite de connexion de $\mathcal{P}$ est ordinaire. Il y a donc une infinité de droites ordinaires dans ce cas.

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En conclusion, le résultat du Théorème de Sylvester-Gallai n’est pas vérifié en général pour un ensemble infini de points du plan.

6. La conjecture de Dirac

Nous venons de voir par le Théorème de Sylvester-Gallai que pour tout ensemble fini $\mathcal{P}$ de points dans le plan non alignés sur une même droite, on a
\[ o(\mathcal{P}) \geqslant 1. \]
Peut on faire mieux? Tout d’abord, le résultat plus général de géométrie projective démontré par Melchior en 1941 annonce que

Théorème (Melchior 1941).
Pour tout ensemble fini $\mathcal{P}$ de points dans le plan non alignés sur une même droite, on a
\[ o(\mathcal{P}) \geqslant 3. \]

On ne peut donc trouver de configurations de points avec uniquement une ou deux droites ordinaires, le résultat de Melchior nous montre bien que ce n’est pas possible.

Ce résultat a ensuite été amélioré à plusieurs reprises. Soit $\mathcal{P}$ un ensemble de $n\geqslant 3$ points du plan non alignés sur une même droite. Il fut successivement montré que
\[ o(\mathcal{P}) \begin{array}[t]{ll} > \sqrt{2n}-2 & \text{(Motzkin 1951),} \\ \ \\ > \displaystyle\sqrt{\frac{5n}{2}} & \text{(Moser 1957)}, \\ \ \\ \geqslant \displaystyle\frac{3n}{7} & \text{(Kelly et Moser 1958)}, \\ \ \\ \geqslant \displaystyle\frac{6n}{13} \quad (\text{si } n\neq 7) & \text{(Csima et Sawyer 1993)}. \\ \end{array} \]
De plus, en 1951, Gabriel Dirac a émis la conjecture suivante :

Conjecture (Dirac 1951).
Pour tout ensemble fini $\mathcal{P}$ de $n\geqslant 3$ points dans le plan non alignés sur une même droite, on a
\[ o(\mathcal{P}) \geqslant \frac{n}{2}. \]

Les seules valeurs de $n$ connues à ce jour pour lesquelles cette conjecture n’est pas exacte sont $n=7$ et $n=13$ pour lesquelles il est possible de trouver des configurations de $n$ points telles que $o(\mathcal{P})=3$ et $6$, respectivement.

Un exemple de configuration à $7$ points telle que $o(\mathcal{P})=3$ est donnée ci-dessous (les droites ordinaires sont en rouge et les autres droites de connexion en noir). Celle-ci a été proposée par Kelly et Moser en 1958.

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La conjecture de Dirac a été en partie démontrée par Ben Green et Terence Tao en 2013, lorsque le nombre de points $n$ est un nombre suffisamment grand.

Il existe une «preuve» de la conjecture de Dirac qui a été donnée par le jeune mathématicien Sten Hansen en 1981 dans sa thèse de Doctorat. Cependant, cette «preuve» très longue de plus de 100 pages est controversée car personne à ce jour n’a été capable de la valider ou de l’invalider.

7. Généralisations

Deux généralisations possibles du Théorème de Sylvester-Gallai seront présentées ici : une version colorée et une généralisation dans l’espace tridimensionnel.

Au début des années 1960, Ronald Lewis Graham proposa la version colorée suivante du Problème de Sylvester :

Problème (Graham 1960).
Soit $\mathcal{P}$ un ensemble fini de $n\geqslant 3$ points du plan non alignés sur une même droite. Supposons que les points soient colorés avec deux couleurs différentes. Une droite du plan est dite monochrome si tous les points de $\mathcal{P}$ sur cette droite sont de la même couleur. Le problème est de déterminer s’il existe toujours une droite monochrome contenant au moins deux points distincts de $\mathcal{P}$.

La première réponse à ce problème est due à Theodore Samuel Motzkin en 1967. Il démontra que l’on peut toujours trouver une droite monochrome contenant au moins deux points de $\mathcal{P}$.

Un exemple d’ensemble $\mathcal{P}$ à $7$ points colorés en rouge ou bleu est donné ci-dessous. Dans cet exemple, on voit apparaître $5$ droites monochromes ($3$ bleues et $2$ rouges) contenant au moins deux points de $\mathcal{P}$. Les droites non monochromes apparaissent en pointillés.

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Passons maintenant à une généralisation du Problème de Sylvester dans l’espace tridimensionnel. Une première tentative de généralisation de ce problème pourrait être le problème suivant :

Problème.
Soit $\mathcal{P}$ un ensemble fini de points dans l’espace tridimensionnel tel que tous les points de $\mathcal{P}$ ne soient pas contenus dans un même plan. Existe-t-il toujours un plan contenant exactement trois points de $\mathcal{P}$ qui ne soient pas alignés sur une même droite?

Il est possible de donner une réponse négative à ce problème pour une configuration de $6$ points. Prenons, par exemple, $6$ points placés de telle manière qu’il existe deux droites n’appartenant pas à un même plan et telles que chaque droite contienne exactement trois points de notre ensemble. Il est alors facile de voir que tout plan contenant trois points distincts non alignés sur une même droite contient toujours un quatrième point distinct des trois premiers. Une représentation de ce contre-exemple est donnée ci-dessous.

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Ce problème n’est donc pas la meilleure manière de généraliser le Problème de Sylvester en dimension $3$. Prenons le problème dans un autre sens. Dans le Problème de Sylvester, on recherche l’existence d’une droite ordinaire. En dimension $3$, nous allons rechercher un plan ordinaire. Comment bien définir un plan ordinaire? Nous venons de voir que définir un plan ordinaire comme étant un plan contenant exactement trois points non-alignés de notre ensemble n’est pas intéressant. Une définition adéquate est donné dans le problème suivant :

Problème.
Soit $\mathcal{P}$ un ensemble fini de points dans l’espace tridimensionnel tel que tous les points de $\mathcal{P}$ ne soient pas contenus dans un même plan.
Un plan $\Delta$ contenant au moins $3$ points non-alignés de $\mathcal{P}$ est dit ordinaire dans $\mathcal{P}$ si tous les points de $\Delta$ sauf un sont alignés sur une même droite.
Existe-t-il toujours un plan ordinaire dans $\mathcal{P}$?

Ce problème a été résolu positivement par Theodore Motzkin en 1951. Il montra en effet que pour tout ensemble fini $\mathcal{P}$ de points dans l’espace tridimensionnel tel que tous les points de $\mathcal{P}$ ne soient pas contenus dans un même plan, il existe toujours au moins $4$ plans ordinaires.

Si nous revenons sur le contre-exemple $\mathcal{P}$ de $6$ points illustré ci-dessus, nous voyons que tout triplet de points distincts définit un plan ordinaire. En effet, il y a quatre points de $\mathcal{P}$ dans ce plan : $3$ points alignés sur une même droite et un quatrième point situé sur l’autre droite. Il existe ainsi $6$ plans ordinaires pour cette configuration de points dans l’espace tridimensionnel.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths ainsi que l’auteur remercient Thomas Chaumeny et Thierry Barbot pour leur relecture attentive.

Article édité par Shalom Eliahou

Notas

[1J.J. Sylvester. Mathematical Question 11851. Educational Times 59, p. 98, 1893.

[2P. Erdős. Problem 4065. Amer. Math. Monthly 50, p. 65, 1943.

[3T. Gallai. Solution to Problem 4065. Amer. Math. Monthly 51, p. 169-171, 1944.

[4E. Melchior. Uber Vielseite der projektiven Ebene. Deutsche Math. 5, p. 461-475, 1941.

[5L.M. Kelly et W.O.J Moser. On the number of ordinary lines determined by n points. Canad. J. Math. 10, p. 210-219, 1958.

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Para citar este artículo:

Jonathan Chappelon — «Le théorème de Sylvester-Gallai» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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