Nous expliquons ici une méthode « par saut de cavalier » qui place un élément dans une ligne, une colonne et une diagonale différente de son point de départ dans une grille, pour produire les carrés magiques 4x4 dans lesquels les sommes des diagonales brisées sont aussi égales. Cet article traite d’histoire des mathématiques mais peut être utilisé en classe comme activité d’informatique débranchée où on doit interpréter un algorithme.

Un carré magique numérique est un arrangement de nombres dans un tableau carré, de façon à ce que les sommes dans chacune des rangées horizontales et verticales ainsi que dans les deux diagonales soient égales. Voici un carré magique d’ordre 3 avec des chiffres génériques 1 à 9 et la somme constante 15.

Les carrés magiques d’ordres et chiffres variables sont connus au moins depuis deux millénaires dans diverses civilisations et ils ont été des symboles philosophiques et des talismans importants dans les contextes d’alchimie, de médecine, d’astronomie et de divination.

Un peu d’histoire

La première attestation écrite semblerait venir de Chine autour du Ier siècle et représente un carré de trois chiffres par côté. Au cours des siècles, on trouve des carrés dans les mondes arabe, chinois, indien et occidental. Parmi les exemples connus, on mentionne l’inscription,
accompagnée d’une phrase souhaitant la victoire à un prince
dans le célèbre temple de Khajuraho, qui se trouve dans l’état actuel de Madhya Pradesh en Inde .

Figure 1 : temple Pārśvanātha aux environs du XI siècle.

On trouve des exemples d’usage semblable des carrés magiques dans des mondes pourtant géographiquement éloignés.
Dans Siddhayoga du IXe siècle, un des plus anciens compendium sanskrits d’āyurveda, Vṛnda
prescrit les tableaux eutociques
construits avec des nombres tels qu’on retrouve la somme trente et le diagramme ci-dessous,

accompagné d’autres rituels comme la récitation de mantras, pour soutenir les femmes en travail, se trouve explicitement dans les gloses.
Ces carrés se trouvent également en contexte obstétrique dans les textes médicaux arabes comme
Firdaus al-ḥikma de Alī al-Tabarī de la même époque. Dans de Occultâ Philosophiâ d’
Agrippa von Nettesheim du XVIe siècle, une telle figure, inscrite en plomb, représente Saturne, et a un usage similaire.

Un carré non-numerique, d’origine romaine, très repandu dans l’occident médiéval, contenant le palindrome
“sator arepo tenet opera rotas” a été pareillement associé à l’accouchement.

Parmi les apparitions textuelles les plus anciennes, Takao Hayashi en 1987 a reconstruit un carré magique de 16 cellules exprimant les
formules de parfums de seize substances avec leurs proportions
prescrites dans Bṛhatsaṃhitā, un ouvrage encyclopédique écrit par
Varāhamihira au VIe siècle .

Continuant des exemples remarquables de textes sanskrits, on peut citer des manuscrits tantriques qui contiennent des tels diagramme numériques,
comme le célèbre Śivatāṇḍava où nous retrouvons un dialogue entre
Śiva et Pārvatī sur les mérites du yantraṃ pañcadaśākhyam
(diagramme de somme quinze), qui fait l’homme sarvavajayin (triompher de tout) .

Compte tenu de leur présence de si longue date, il est fort probable que les méthodes de constructions
de ces diagrames ont été connues et transmises oralement longtemps avant l’époque de l’apparition des traces écrites,
car un traitement mathématique de ces figures ne semble apparaître qu’autour du XIIIe siècle dans les textes sanskrits ou
arabes et encore plus tard en Europe. Selon certains anthropologues, une raison de
la non-diffusion des algorithmes pour générer de tels objets talismaniques pourrait provenir des réticences des ritualistes.

Il est intéressant de noter que les textes orientaux n’utilisent pas l’expression « carré magique » qui est une appellation occidentale et
pourrait venir de la Loubère qui au XVIIe siècle, dans Le probleme des quarrés magiques selon les Indiens
dit :

On appelle ce Problème les quarrés magiques parce qu’Agrippa dans son second Livre de Occultâ Philosophiâ, chap.22, nous apprend qu’on s’en est servi comme de Talismans..... ayant parû assez merveilleuse aux ignorants, pour en attribuer l’invention à des esprits supérieurs à l’homme.

Parmi les premiers textes mathématiques connus sur le sujet, on remarque particulièrement
le Gaṇitakaumudī (Éclaircissement de mathématiques), écrit par Nārāyaṇa en 1356, où le dernier chapitre
est dédié entièrement à ce sujet. Bien que l’auteur s’inscrive dans la
tradition d’arithmétique et géométrie pāṭīgaṇita
développée
notamment par Śrīdhara au VIIIe siècle, Mahāvīra et Śrīpati au IXe ainsi que
Bhāskara au XIIe siècle, le Gaṇitakaumudī est le seul texte en sanskrit à traiter le sujet de carrés magiques comme un objet mathématique .

Cependant, dans un autre texte mathématique, Gaṇitasārakaumudī, écrit au début du XIVe siècle en prâkrit, une langue `vernaculaire’ dérivée du sanskrit classique, l’auteur Ṭhakkura Pherū discute ces carrés brièvement sans donner un algorithme.

La motivation de Nārāyaṇa, expliquée dans les deux premiers vers du chapitre, est purement mathématique et l’auteur se plonge dans

ces bonnes mathématiques, liées aux suites,... pour
surprendre les bons mathématiciens, plaire à ceux qui connaissent les diagrammes
et afin de chasser l’arrogance des mauvais mathématiciens.

Il définit des termes techniques et décrit plusieurs méthodes de construction de
bhadra (carré magique, littéralement « propice ») surtout de 16 cellules et curieusement n’insiste pas sur les carrés de 9 éléments.

Le cavalier dans les carrés 4x4

Maintenant j’élabore un peu la méthode remarquable de saut de cavalier d’échecs pour engendrer les carrés magiques
d’ordre 4. Le langage des mouvements dans l’échiquier a aussi été
employé pour le
remplissage des carrés magiques arabes (voir par exemple Chabrāmallisī) : ceux du cavalier, faras comme turaga en sanskrit, mais aussi de la dame, firzān, qui passe à la case voisine diagonalement et du fou fīl qui se déplace de deux cases en diagonale. Pourtant, j’ignore si
la construction explicite et le comptage de Nārāyaṇa se trouvent dans un texte arabe.

Tout l’ algorithme est donné en un śloka
 [1] (strophe), et comme
souvent dans les sūtra (règles), condensés en vers destinées
à être apprises par coeur, la description semble énigmatique
à première vue :

Mettez deux par deux les nombres obtenus d’une suite, utilisant les mouvements d’un cavalier dans un jeu d’échecs, en ordre descendant et ascendant, et deux [autres] dans les cellules unies et les cellules distancées par une place,
[ou alors] il faut remplir les cellules
par les mouvements du cheval à droite et à gauche.

En fait, cet algorithme engendre
tous les carrés magiques pandiagonaux d’ordre 4, c’est-à-dire où les sommes dans les diagonales brisées sont également constantes,
avec une suite en progression arithmétique choisie.

Les sommes des nombres des cellules placées en horizontale, verticale et diagonale, mesurées séparément, deviennent égales.

L’auteur n’utilise aucun mot particulier pour « pandiagonale » pour le résultat de son algorithme
mais la forme karṇa-gānāṃ,
génitif pluriel plutôt que gayoḥ le duel, pour signaler plus que deux diagonales.

Ses exemples et l’énumération qui suit sont cohérents. L’algorithme ne demande pas de calcul et peut être appliqué mécaniquement.
Alors, il mérite d’être bien décodé par des commentaires contemporains [2].

D’abord, il faut comprendre qu’un carré se replie sur lui-même comme une tore et pour maintenir la taille prescrite du carré, les bords droit et gauche coïncident comme en Figure 2 (a) ainsi que ceux du haut et du bas, Figure 2 (b). Ainsi, deux mouvements successifs horizontaux dans la même direction s’équivalent, qu’ils soient faits à gauche ou à droite, on le notera
𝓱=$\leftarrow\leftarrow$=$\rightarrow\rightarrow$, de même verticalement, qu’on notera 𝓿=$\downarrow\above 0pt\downarrow$=$\uparrow\above 0pt\uparrow$.

Un cavalier peut se déplacer de deux manières distinctes, équivalentes à une rotation d’un quart de tour près :

1. Une cellule verticalement et deux cellules horizontalement dont il y a deux formes possible ; ascendante $\color{green} A$ $={\color{green}{\ \ \ \rightarrow\rightarrow }}\above 0pt{\color{green}{\uparrow}}$ ou descendante $\color{magenta} D=$ ${\color{magenta}{\downarrow\phantom{\rightarrow\rightarrow}}}\above 0pt{\color{magenta}{\rightarrow\rightarrow}}$ dans la Figure 2 (a).
2. Une cellule horizontalement et deux verticalement, indiqués en bleu $\color{blue} R=$ ${\color{blue}{\rightarrow\downarrow }}\above 0pt{\color{blue}{\phantom{\rightarrow}\downarrow}}$ ou rouge $\color{red}L=$ ${\color{red}{\downarrow\leftarrow}}\above 0pt{\color{red}{\downarrow\phantom{\leftarrow}}}$, pour rectus et laevus, en Figure 2 (b) .

Grâce au pliage sur soi-même, la direction des mouvements répétés, n’est pas importante.
Il faut noter qu’un carré magique pandiagonal est construit à partir d’un seul type de saut de cavalier $A, D, L$ ou $R$ : une fois partis, les mouvements progressent toujours dans la même direction pour un quart donné.

Figura 2

Figura 2

L’algorithme décrypté

Nous utilisons la suite générique {1,2, ... , 16} (Il est également possible de choisir une autre progression arithmétique à la place de ce cas générique) contenant 4 pada (quart) {1,...,4} jusqu’à { 13,...,16} pour décrire le remplissage. Les mouvements pour {1,2,3,4} étant choisis, les trois autres suivront ensuite, suivant le même principe, démarrant dans une case évitant les précédentes : 1, 5, 9, 13 ne seront ni dans les mêmes lignes ni dans les mêmes colonnes.

Voyons pour le premier quart, selon l’algorithme de Nārāyaṇa, il y aura donc un saut de cavalier entre 1 et 2 puis entre 3 et 4. Le mouvement entre 2 et 3 sera d’un autre type, appelons-le « non-cavalier ». Il se fera dans la même direction et, ou bien dans les cellules unies par la diagonale,
ou bien dans les cellules distancées par une place (c’est-à-dire un mouvement 𝓱 ou 𝓿).

Pour les
mouvements non-cavaliers sur la diagonale, notons par
$\alpha, \delta, \rho, \lambda $ les directions respectivement ascendante,
descendante, à droite et à gauche qu’on choisit. Il est inutile de préciser l’autre direction. Par exemple, droite ou gauche pour l’ascendance sera déjà fixée par le saut de cavalier $R$ ou $L$.

Ces mouvements servent à mettre les éléments d’un quart d’une suite dans les lignes et colonnes différentes, augmentant chaque fois d’une unité dans la direction de progression. Les troisième et quatrième quarts reviendront ensuite en sens inverse pour équilibrer cette somme.

Notons bien que chaque remplissage contient deux quarts de movements en même direction et deux de son inverse (par exemple deux ascendantes et deux descendantes) , les variations étant dans les movements non-cavaliers.
Cela est vrai même pour les movements non-cavaliers 𝓱 ou 𝓿 : il suffit de considérer des quarts $\{1,3, 5,7\}, \{ 2, 4, 6, 8\}, \{ 9, 11, 13, 15\}$ et $\{ 10, 12, 14, 16\}$ .

Analysons maintenant comment le carré magique de Khajuraho est construit par la méthode de Nārāyaṇa.

Le carré magique de Khajuraho

Dans cet exemple, nous fixons arbitrairement la cellule de départ à la ligne 1 et colonne 3 et choisissons $D$, la direction descendante comme le premier mouvement du cavalier. Selon l’algoritme, tous les mouvements au cours d’une étape suivront
le même sens que son premier mouvement du cavalier, ici, descendant.

La marche de cavalier $ D$ partant de la cellule du chiffre 1, définit ainsi la cellule où mettre le chiffre 2.

Le déplacement entre 2 et 3 devra également être descendant et il y aura trois choix valables, d’une cellule
par les deux diagonales descendantes, $\lambda$ et $\rho$, ou bien verticalement de deux cases, 𝓿. Nous choisissons la diagonale droite $\rho$ ;.

Ensuite le cavalier, toujours descendant, doit partir de 3 pour arriver à 4 sans aucun choix, c’est un mouvement $D$.

La première étape est donc décrite par $D\rho D$.

Le deuxième quart commencera dans une cellule adjacente à la dernière cellule du premier quart. Ainsi, pour le chiffre 5 il y a deux possibilités : ascendante=a ou droite=r pour ne pas le mettre dans la même ligne ou la même colonne que le chiffre 1.

Ce décalage des étapes a pour but la somme constante des lignes et colonnes. Dans la construction du carré magique de
Khajuraho nous choisissons la marche ascendante
pour 5.

Le décalage des étapes étant maintenant fixé par la place de 5, la deuxième quart, c’est-à-dire les chiffres 5,6,7 et 8 suivront obligatoirement le sens descendant comme le premier quart, mais la partie non-cavalier, entre les chiffres 6 et 7 sera choisie à gauche $\lambda$ . La moitié du carré est donc codée par les mouvements $D\rho D\ a \ D\lambda D$.

La seconde moitié du remplissage est automatique, il suffit de placer, pour chaque nombre de la première moitié, son complémentaire à 17 dans la case obtenue par le mouvement 𝓱𝓿, c’est-à-dire deux déplacements horizontaux et deux déplacements verticaux, ce qui va garantir la somme constante des 6 diagonales voulue dans un tel carré magique.

Le codage suit donc le processus en sens inverse, soit $A\rho A$ pour le troisième quart, $d$ pour le mouvement non-cavalier, et ensuite $A\lambda A$.

La contrainte sur le complémantaire à 17 entraine que le carré obtenu est pandiagonal. On vérifie facilement
les sommes dans des diagonales brisées : $(16+6)+(1+11)=(12+8+5)+9=...=34$.

Autre exemple : le carré d’al-Būnī

Le célèbre carré magique pandiagonale arabe d’ al-Būnī et d’autres du XIIIe siècle,

se construit en plaçant 1 dans le coin supérieur droit et en suivant le chemin
$D\lambda D$ pour le premier quart, $\ell$ pour placer le 5. Par conséquent, les trois étapes
restantes sont $A\lambda A,\ D\rho D,\ r \ A\rho A$. Ce carré peut être obtenu par une rotation de 90 degrés de ceux reconstruits par Hayashi, engendré par la formule commençant par $L\alpha L a$ avec le coin inférieur droit comme cellule de départ.

Dénombrement : Combien y-en-a-t-il ?

Par ailleurs Nārāyaṇa évoque une question arithmétique qui n’a
été retrouvée dans aucun autre texte d’époque : Combien de carrés magiques pandiagonaux
d’ordre 4, remplis des chiffres 1 à 16, peuvent-ils être obtenus ? Cette question demande de bien maîtriser tous les choix opérés lors de l’exécution de l’algorithme.

Avec la place du chiffre 1 et la marche du cavalier fixés pour commencer,
il y a trois choix pour décider le mouvement non-cavalier et finalement deux pour la transition.
Alors correspondant à chaque marche du cavalier il y a six possibilités de remplissage du carré. Partons, par exemple,
avec le mouvement descendant du cavalier, dont nous avons vu les exemples .

Figure 3 : Premier mouvement cavalier descendant

Mais c’est un parmi les quatre choix de marche de départ et nous arrivons à 24 possibilités pour
une place de départ donnée !

Dans Gaṇitakaumudī, ce résultat final est cité comme une règle et les 24 possibilités contenant les entiers 1 à 16 avec le chiffre 1 dans la cellule du coin supérieur gauche sont ensuite explicitement illustrées.

Figure 4 : Les 24 possibilités, Manuscrit 104595, Sarasvatī Bhavan, Vārāṇasi

En remarquant enfin que n’importe quelle cellule peut servir de case de départ, le nombre total de
carrés magiques pandiagonaux avec des entiers de 1 à 16 devient $24\times 16=384$, ce qu’on trouve
justement dans le texte catur-aśīty-adhika-śata-traya .

La combinatoire des carrés magiques d’ordre supérieur à 4 devient beaucoup plus difficile. Le nombre de carrés magiques pandiagonaux d’ordre 5
est 28800 et n’est toujours pas connu pour les ordres
supérieurs à 6. La marche du cavalier n’engendre pas tous les carrés magiques pandiagonaux d’ordre supérieur.

Vous trouverez en attaché et en anglais, une preuve que l’algorithme de Nārāyaṇa fonctionne, qu’il donne bien des carrés magiques pandiagonaux et tous les carrés magiques pandiagonaux.