Tout commence par une question : quels sont tous les diviseurs de $\bf 550$ ?

(S’il vous plaît, ne me demandez pas à quoi ça sert de le savoir. Pour l’instant, ça sert à réfléchir)

Et une première halte : qu’est-ce qu’un diviseur de $550$ ? Oui bien sûr, tout le monde devrait le savoir, mais puisque nous ravivons les connaissances…
un nombre est un diviseur de $550$ signifie que $550$ est dans la table de multiplication de ce nombre.
Ou encore que $550$ est un multiple de ce nombre.
(Et qu’est-ce qu’un multiple d’un nombre ? Le produit de ce nombre par un nombre quelconque. Et puisque nous y sommes, « produit » signifie « résultat d’une multiplication » !)

Par exemple, $10$ est un diviseur de $550$,
puisque $550$ est dans la « table de $10$ » (un multiple de $10$) : $550 = 55 \times 10$ .

$550$ a-t-il d’autres diviseurs ? Et si oui, comment les débusquer ?

La réponse à la première question est oui, bien sûr. Et pour les débusquer il y a un tas de façons, plus ou moins « élégantes », mais ça, c’est une question d’optique alors disons plutôt plus ou moins « mathématiques ».
Avec une calculatrice ou une programmation de base, le plus simpliste est de tenter toutes les divisions de $550$ par un entier qui lui est inférieur. Mais est-ce vraiment des maths ? Et puis, même si on se rend compte au bout d’un moment qu’il suffit d’essayer avec les entiers inférieurs à $\sqrt{550}$ – donc jusqu’à $23$ – c’est tout de même légèrement lassant.

Les autres méthodes s’appuient sur les entiers premiers.

Qu’est-ce qu’un entier premier ?
La matière première de tous les entiers… et de l’arithmétique.

Comme je ne vois pas trop l’intérêt de réinventer la roue, permettez-moi de vous proposer dans les deux enroulés suivants une introduction – extraite d’un cours de niveau collège – des entiers premiers et de leur « descendants », les entiers composés.

Nous venons de voir dans ce dernier enroulé qu’il est possible d’associer à un nombre composé une chaîne de multiplications entre entiers premiers : $550 = 5 \times 11 \times 2 \times 5$.

Allons plus loin, passons aux ensembles !

Je sais bien que pour beaucoup d’entre vous, « mathématiques ensemblistes » est corrélé avec « mathématiques modernes ». Le diable !

Et c’est – à mon avis – profondément injuste. Ces maths-là sont, entre autres, à l’origine de toute la révolution informatique. Et un outil de raisonnement extraordinaire. Est-ce leur faute si leur introduction dans le secondaire a été massacrée ?

Pour continuer à ne pas réinventer la roue, je vous propose maintenant une feuille de présentation des ensembles que je distribuais à des élèves de troisième, il n’y a pas si longtemps.

Plutôt que d’associer une chaîne de multiplication à un entier composé, nous allons lui associer un ensemble (ce n’est plus possible au collège… et c’est bien dommage parce que ça simplifie VRAIMENT le travail mais je ne vais pas revenir sur les bizarreries des programmes officiels !)

Par exemple, au lieu de dire qu’à $550$ correspond la chaîne $5 \times 11 \times 2 \times 5$, nous dirons qu’il lui correspond l’ensemble $\{ 5_a,11_a,2_a,5_b \}$.
Et lorsque ce sera nécessaire (rarement), au lieu d’écrire $550 = 5 \times 11 \times 2 \times 5$ , nous écrirons $sp(550) = \{ 5_a,11_a,2_a,5_b \}$ – que nous lirons « le spectre de $550$ » est l’ensemble (dont les éléments sont) etc.

Pourquoi ces indices $a$, $b$, etc. après chaque entier premier ?

Parce que l’écriture ensembliste a une rigueur très… mathématique :
de la même façon que si un professeur écrit par erreur deux fois le même nom sur une liste d’appel,
ça ne fera pas apparaître deux élèves devant lui (bon, le même prénom et le même nom !), si vous écrivez deux fois le même nom dans un ensemble, ce ne sera jamais considéré comme deux éléments différents de cet ensemble. Autrement dit $\{ 5,11,2,5 \} = \{ 5,11,2 \}$, ce qui ne nous arrange pas du tout : $550$ n’est pas $110$ !

Alors, $5_a, 5_b$, parce que ce sont des occurrences différentes de $5$. Indice $a$ lorsque l’entier premier apparaît pour la première fois, $b$ pour la seconde, etc.

Une précision tout de même : pour plus de lisibilité, j’ai choisi dans cet article d’indexer des entiers premiers avec les lettres de l’alphabet. Dans la pratique, cela deviendrait rapidement intenable. Par exemple indexer ainsi le spectre de $2^{2020}$ aboutirait à une succession de $2020$ « $2$ » dont le dernier aurait pour indice « $byr$ » (« $2020$ » écrit avec comme chiffres les lettres de l’alphabet, depuis « $a$ » jusqu’à « $z$ ») ! Il deviendrait préférable d’indexer avec les entiers naturels – mais également de remplacer l’écriture explicite des éléments par une écriture « ramassée », sur le modèle des puissances. Ainsi $\{ 2_{2020}, …\}$ signifierait que le spectre observé contiendrait $2020$ occurrences de l’entier « $2$ », etc.

Pourquoi « spectre » ? Et… quel intérêt ?

Commençons par le pourquoi.

La chaîne de multiplications d’entiers premiers associés à un entier quelconque est habituellement appelée « décomposition » de cet entier mais il me paraissait utile d’avoir un mot pour la version ensembliste de la situation.
Par analogie avec les rubans de bandes verticales qui permettent par irradiation d’identifier des minerais sans les broyer (sans les « décomposer »), il m’a semblé raisonnable d’appeler « spectres d’entiers » les ensembles que nous introduisons ici.
En mathématiques comme en physique, les « spectres » existent déjà, bien sûr – et là, je vous renvoie à ces excellents articles : Spectre , Spectre d’un nombre, Spectre numérique, Spectres RMN .

Quel intérêt, maintenant ?

Un intérêt d’expression, pour commencer...

Au cœur de l’arithmétique, il y a le lemme d’Euclide et ce que tous les mathématiciens appellent le théorème fondamental de l’arithmétique.

Le but de cet article n’étant heureusement pas de reconstruire l’arithmétique, je ne reviendrai ici ni sur la démonstration de ce théorème (qui est effectivement fondamental) ni sur celle du lemme d’Euclide. Juste pour le plaisir des yeux, je vous en propose ces démonstrations dans l’enroulé suivant… en latin.

Mais revenons maintenant sur cette version moderne du théorème fondamental de l’arithmétique :

tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d’une unique façon, à l’ordre près des facteurs.

Écrite comme cela, elle est doublement fausse.

D’une part, les entiers premiers (qui sont des entiers strictement positifs !) ne peuvent par définition pas être écrits comme un produit de nombres premiers,

et d’autre part, $1$ (qui est également un entier strictement positif mais qui n’est pas premier !) ne le peut pas non plus.
(À ce sujet, je ne peux que vous recommander cet excellent article : Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier !)

Mais ce n’est pas tout. Avez-vous remarqué le passage « d’une unique façon, à l’ordre près des facteurs » ?
Il est évidemment nécessaire ici parce que des personnes désagréables pourraient remarquer que
par exemple, $5 \times 11 \times 2 \times 5$ et $5 \times 5 \times 11 \times 2$ sont deux écritures différentes. Avec les spectres, cette précaution devient inutile : ce sont des ensembles et les éléments d’un ensemble peuvent être écrits dans n’importe quel ordre.

Avec les spectres voici ce que devient l’énoncé de ce théorème :

Tout entier strictement positif a un spectre unique.

N’est-ce pas plus élégant ?

Et ça élimine effectivement toutes les difficultés :

nous avons vu, avec le spectre de $550$, comment déterminer le spectre dans le cas d’un entier composé (le théorème fondamental et le lemme d’Euclide permettent de démontrer qu’il n’est pas possible de trouver d’autre spectre à $550$, mais ça, nous l’admettrons !)

Et dans le cas d’un entier premier ? Pas de problème, le spectre de $5$, c’est $\{ 5_a\}$

Et le spectre de $1$ ? C’est encore un ensemble, l’ensemble vide (qu’on écrit $\emptyset$ )

Pourquoi ? Nous en reparlerons dans un instant.

... mais également un intérêt pratique :

Sans entrer dans les détails mathématiques (cet article n’est pas un cours et il faut bien que vous réfléchissiez un tout petit peu par vous-mêmes, non ?), on se rend rapidement compte que, si $a$ et $b$ sont deux entiers strictement positifs,

$b$ est un diviseur de $a$ $\;$ équivaut presque à $\;$ $sp(b)$ ne contient que des éléments de $sp(a)$

Par exemple, puisque $sp(550) = \{ 5_a,11_a,2_a,5_b \}$, le nombre dont le spectre est $\{ 2_a,5_a \}$ est un diviseur de $550$ (ce nombre est $10$ et ça ne surprend personne que $10$ soit un diviseur de $550$ !)

Un détail qui a son importance : de façon très logique, un ensemble qui contient une occurrence d’un entier premier sans en contenir les occurrences précédentes (par exemple $5_b$ sans contenir $5_a$ ou éventuellement $5_c$ sans contenir $5_b$ et $5_a$) n’est pas un spectre ! J’appelle ces ensembles des « échos » de spectres et ils ont à peu près le même intérêt que la deuxième (ou la troisième) apparition du même nom – oui, du même prénom et du même nom ! – dans la liste d’élèves d’un prof un peu fatigué.

Mais pourquoi ai-je écrit « équivaut presque à » ?

Parce qu’il existe un nombre dont le spectre ne contient aucun des éléments de $sp(a)$ et qui est tout de même un diviseur de $a$, c’est le nombre $1$. Tous les nombres sont des multiples de $1$, donc $1$ est un diviseur de tous les nombres.

Heureusement pour nous, il existe une notion ensembliste qui va nous permettre de façon très… élégante à la fois d’évacuer ce problème et de clarifier le lien entre les diviseurs d’un nombre et leurs spectres : la notion de partie d’un ensemble.

En théorie des ensembles, on appelle partie d’un ensemble $E$ tout ensemble qui ne contient pas d’autres éléments que des éléments de $E$.

Mais notez bien « qui ne contient pas d’autres éléments que… ». Ce n’est pas tout à fait la même chose que « qui ne contient que… » ! La différence est dans l’ensemble vide, cet ensemble bizarre qui ne contient rien, comme une pensée qui attend d’être meublée. Quel que soit l’ensemble $E$ auquel vous pensez, l’ensemble vide est une partie de $E$ : puisqu’il ne contient rien, il ne risque pas de contenir d’éléments autres que ceux de $E$ !

Cela ne vous rappelle rien ? Un effort… une douzaine de lignes plus haut ? Eh oui, le spectre de $1$ :

$1$ est un diviseur de tous les nombres … $\emptyset$ est une partie de tous les ensembles

Il n’y avait qu’un pas à franchir, il l’a été, et $1$ a trouvé son spectre, $\emptyset$.

Et nous, nous avons enfin une relation parfaitement claire entre les diviseurs d’un nombre et leurs spectres :

$b$ est un diviseur de $a$ $\;$ équivaut exactement à $\;$ $sp(b)$ est une partie de $sp(a)$

Avec toutefois deux précisions :

d’une part, « $sp(b)$ est une partie de… » sous-entend « une partie qui est un spectre, pas un écho »,

et d’autre part, comme tout ensemble est une partie de lui-même (il ne contient évidemment pas d’autres éléments que les siens !), on retrouve bien que tout entier strictement positif est un diviseur de lui-même.

En résumé, si vous voulez déterminer vous-mêmes tous les diviseurs d’un entier strictement positif (vous-mêmes, par opposition à « en appuyant sur un bouton »), il vous suffit

• de déterminer son spectre – ce qui suppose tout de même (si vous rejetez la méthode « appuyer sur un bouton ») que vous sachiez déterminer une valeur approchée entière de la racine carrée de ce nombre, que vous ayez en tête la liste des entiers premiers jusqu’à cette valeur approchée, que vous traitiez rapidement les « évidences » (divisibilité ou non par 2,3,5,10 – éventuellement 11) et que vous tentiez ensuite les divisions par les entiers premiers qui restent… en vous limitant, après chaque division exacte, à la valeur approchée entière de la racine carrée du dernier quotient.
• d’écrire toutes les parties de ce spectre – je vous suggère une présentation étagée, de type géologique : vous partez du spectre et vous creusez à la recherche des couches antérieures.
  En retirant de toutes les façons possibles un seul élément au spectre vous mettez à jour ses parties les plus peuplées – les plus « récentes », ses parties du premier ordre…
  
  (je n’ai pas vraiment besoin de vous préciser que la partie en rouge n’est qu’un écho, n’est-ce pas ?)

… puis en retirant de toutes les façons possibles un seul élément à chacune de ces parties, vous atteignez une nouvelle couche antérieure…

vous avez atteint les parties du second ordre (comme ce sont des parties de celles du premier ordre, qui sont elles-mêmes des parties du spectre d’origine, elles sont également des parties du spectre d’origine. Parce que la relation « est une partie de » est transitive. Vous me suivez, naturellement ?)

Pourquoi une partie en bleu, maintenant ? Oh, c’est un spectre tout à fait valable… mais dans une lecture de gauche à droite, il a déjà été découvert. Pas de chance, une nouvelle apparition du même nom – oui, du même prénom etc. !

… Et puis vous continuez encore. Nous en étions aux parties à deux éléments (on les appelle des paires), il nous reste les parties à un élément (les singletons) et pour en terminer, LA partie sans élément.

• d’associer à chacune des parties-spectres le nombre qui leur correspond.

Et un bonus : si vous utilisez la présentation en étages, puisque vous faites apparaître les liens entre les parties (« est une partie de… »), vous pouvez facilement faire apparaître les liens entre les diviseurs (« est un diviseur de… » est également une relation transitive).

Deux autres applications immédiates des spectres,
avant de conclure :

la recherche du plus grand diviseur commun ($PGDC$ ou PGCD, selon votre conception du français) à 2 nombres et celle du plus petit multiple commun ($PPMC$ ou PPCM) aux mêmes 2 nombres.

Toutefois, avant de s’y intéresser,

Plus Grand (des) Diviseurs Communs à deux entiers strictement positifs

Le spectre d’un diviseur commun à deux nombres ne peut contenir QUE des éléments communs aux spectres de ces deux nombres (ou ne rien contenir du tout !). Le spectre de leur PGDC les contient TOUS.

$a$ et $b$ étant deux entiers strictement positifs,

• Le spectre du $PGDC$ à $(a$ et $b)$ est l’intersection de $sp(a)$ et $sp(b)$,

ou encore, en écriture ensembliste, $sp(PGDC(a,b)) = sp(a) \cap sp(b)$

Avec une remarque : si l’intersection de $sp(a)$ et $sp(b)$ est l’ensemble vide (s’ils n’ont aucun entier premier en commun) leur unique diviseur commun est $1$ . On dit alors que a et b sont « premiers entre eux ».

Plus Petit (des) Multiples Communs à deux entiers strictement positifs

Le spectre d’un multiple commun à deux nombres doit contenir AU MOINS tous les éléments de chacun des spectres de ces deux nombres. Le spectre de leur PPMC contient UNIQUEMENT ces éléments (les spectres de leurs autres multiples communs contiennent d’autres éléments – en plus !).

• Le spectre du $PPMC$ à $(a$ et $b)$ est la réunion de $sp(a)$ et $sp(b)$,

ou en écriture ensembliste, $sp(PPMC(a,b)) = sp(a) \cup sp(b)$

Voici maintenant en une planche finale la synthèse des différents éléments de cet article, appliquée à la recherche par les spectres des diviseurs et multiples communs à deux nombres, $3300$ et $3850$

Il est temps de conclure. Une conclusion en trois points : lyrique, mathématique et pratique.

Et pour conclure cette conclusion, une courte nouvelle où Nostradamus fait une apparition. Centrée sur l’utilisation des nombres premiers, elle est quelque peu inquiétante pour l’humanité !

La conclusion lyrique :

non, je ne chercherai pas à faire concurrence à ce poétique article.
Je me contenterai de rêver à l’existence de ces « lunettes à spectres » que j’ai bien souvent imaginées : vous regardez un nombre à l’œil nu, vous le voyez sous son écriture habituelle. Vous chaussez vos lunettes à spectres et c’est son spectre que vous voyez.

Imaginez !

• Vous avez besoin d’un des composants premiers d’un nombre ? Les lunettes, et hop, vous piquez celui que vous voulez.
• Maintenant, vous cherchez un des diviseurs du nombre ? Les lunettes encore, et vous vous servez, vous créez un nouveau spectre à partir d’éléments de celui que vous voyez… ou, plus simplement encore, vous « siphonnez » le spectre que vous voyez – vous lui enlevez quelques éléments.
• Vous voulez la forme irréductible d’une fraction ? Les lunettes toujours, et vous nettoyez tout simplement les spectres du numérateur et du dénominateur de tous leurs éléments communs.

Ce serait de l’arithmétique virtuelle… mais ça me plairait bien !

La conclusion mathématique :

je serais très heureux si ce petit article pouvait réhabiliter aux yeux de quelques personnes les mathématiques ensemblistes, les encourager à penser que peut-être, peut-être les « mathématiques modernes » n’étaient pas le diable qu’on leur a « vendu ». Et que peut-être, peut-être, elle leur aurait simplifié la vie au cours de leur scolarité mathématique. Oui, bien sûr, si « on » avait pris le temps de les introduire correctement dans les programmes. Mais ça, ce n’est pas leur faute, n’est-ce pas ?
(Une précision : durant mes études j’ai eu la chance d’avoir comme professeurs 3 des mathématiciens à l’origine du groupe Bourbaki et ils m’ont profondément marqué, alors je suis certainement un peu partial)

La conclusion pratique :

vous trouverez trois PDF sous ces lignes :

la planche des diviseurs de $550$,

celle des $PGDC$ et $PPMC$ à $3300$ et $3850$,

et enfin « roulette russe », la courte et inquiétante nouvelle mentionnée plus haut :
si vous souhaitez la replacer dans un contexte plus… rigoureux, voici un très bel article – en piste noire ! – qui devrait vous convenir : Le « problème du logarithme discret » en cryptographie.

Bonne lecture ?