Les foliums de Descartes et alii

Le 5 mai 2021  - Ecrit par  Hamza Khelif Voir les commentaires

Le folium, qui signifie en latin « la feuille », a été proposé pour la première fois par Descartes en 1638. La courbe est devenue célèbre grâce à un incident survenu lors du développement du calcul différentiel et intégral. Descartes a en effet défié Fermat de trouver la tangente à cette courbe en un point arbitraire, mettant à l’épreuve une méthode que Fermat venait de découvrir. Fermat a résolu le problème facilement, ce que Descartes était incapable de faire.

Dans cet article, nous essayons de jeter un peu de lumière sur une courbe dont l’évolution a fait couler beaucoup d’encre suite à une controverse sur les tangentes entre Descartes et Fermat, et qui a impliqué nombre d’autres mathématiciens contemporains de ces derniers. D’une certaine manière, le folium a ainsi joué un rôle dans les débuts du développement du calcul différentiel et intégral. Il continue encore de nos jours à susciter la curiosité de certains mathématiciens qui y ont défini entre autres des structures de groupe, des structures topologiques et des structures différentielles.

Nous allons aussi examiner les différentes courbes planes connues qui portent le nom de folium et une généralisation aux « multifoliums ».

1. LE FOLIUM DE DESCARTES

1.1. Circonstances de l’apparition de cette courbe

Le XVIIe siècle fut riche en découvertes mathématiques, mais aussi riche en discussions et controverses entre les mathématiciens. Une de ces fameuses confrontations a eu lieu entre Descartes et Fermat sur le problème du tracé des tangentes à une courbe. Descartes ne comprenait pas complètement la méthode de Fermat pour le tracé des tangentes, et il croyait bien meilleure sa propre solution (présentée dans La Géométrie) [1]. Bon nombre des controverses de l’époque prenaient la forme de défis : un mathématicien, généralement en possession d’un problème (et d’une solution au problème), mettait au défi un collègue ou même toute la communauté scientifique de résoudre le problème. Suivant cette coutume, Descartes a défié Fermat de trouver les tangentes à une courbe particulièrement compliquée qu’il (Descartes) avait inventée.
Cette courbe décrite par l’équation
\[(1.1) \quad x^3 + y^3 - 3mxy = 0,\] où $m$ est une constante réelle non nulle [2],
porte depuis lors son nom : le folium de Descartes. Le nom « folium » vient de la forme en feuille de la boucle de la courbe dans le premier quadrant.
Lors de l’étude de cette courbe, Descartes en 1638 et Roberval en 1672 se limitèrent à une boucle, ne considérant que les coordonnées positives $x > 0, y > 0 $ (fig. 1 à gauche) car ils pensaient que la boucle se répétait dans chaque quart de repère, à la manière des quatre pétales d’une fleur (fig. 1 à droite), d’où son nom de folium qui signifie feuille en latin. La méthode de détermination des tangentes à la courbe fut ensuite proposée par Roberval. La nature asymptotique des branches infinies ne fut établie qu’en 1692 par Huygens.

fig. 1

Comme il a été signalé supra, Fermat avait développé une méthode pour obtenir la tangente à une courbe en n’importe lequel de ses points, mais Descartes pensait que ce n’était pas une vraie méthode ; il a alors décidé de défier Fermat (quelque chose de relativement commun parmi les intellectuels de l’époque) de trouver la tangente en tout point de la courbe décrite par l’équation ci-dessus. Fermat a résolu le problème, a fourni les preuves à Descartes et a démontré le succès de sa procédure, une méthode qui a jeté les bases du calcul infinitésimal développé par Newton et Leibniz.

Le problème de la détermination de la tangente à la courbe a été proposé à Roberval qui a également cru à tort que la courbe avait la forme d’une fleur de jasmin et lui a donné ce nom. Il l’a aussi baptisée « le galand » (nom d’un nœud de ruban à la mode parmi les femmes de l’époque).

Que les mathématiciens de l’époque n’étaient pas familiers avec les coordonnées négatives est apparent, en ce que la courbe a été dessinée comme un seul folium ou « feuille » dans le premier quadrant — ou parfois sous forme de trèfle à quatre feuilles, avec une feuille dans chaque quadrant.

1.2. Étude sommaire de la courbe à l’aide de l’équation (1.1)

Remarquons que, sans nuire à la généralité, nous aurions pu nous contenter de considérer le cas particulier $m=1$ (folium unité ?) puisque le cas général se déduit de celui-ci par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $m$. Notons aussi que les foliums correspondant à deux valeurs opposées de $m$ se correspondent dans la symétrie de centre $O$. L’étude pourrait donc être limitée au cas $m>0$ qui est le cas historiquement adopté.

Soit $\mathcal{F}$ cette courbe et soit $f$ la fonction de $\bf R ^2$ dans $\bf R$ définie par \[(1.2.1) \quad f(x,y) = {x^3} + {y^3} - 3mxy.\] Alors \[(1.2.2) \quad\mathcal{F}=\{(x,y), (x,y) {\in \bf R ^2}, f(x,y)=0\}.\]
Définissons, dans l’équation de $\mathcal{F}$, $y$ comme fonction de $x$ lorsque cela est possible. La fonction $f$ étant de classe ${C^\infty }$, on peut lui appliquer le théorème des fonctions implicites au point $(a,b)$ si \[(1.2.3) \quad f(a,b)=0, \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(a,b) \ne 0,\] c’est-à-dire si \[(1.2.4) \quad a^3+b^3-3mab=0, 3(b^2-ma)\ne 0.\]
Il existe dans ce cas un voisinage $I$ de $a$, un voisinage $J$ de $b$ et une fonction $\varphi $ de $I$ dans $J$ de classe ${C^\infty}$ tels que
\[(1.2.5) \quad (x\in I, y\in J,(x,y)\in\mathcal{F}) \Leftrightarrow (x\in I, y= \varphi(x)).\]
La tangente à la courbe au point $(a,b)$ est donnée par l’équation \[(1.2.6) \quad y-b=\varphi '(a)(x - a).\]
Pour $x\in I$, on a $f(x, \varphi(x))=0$, donc
\[(1.2.7) \quad \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x,y) + \varphi '(x)\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x,y) = 0 ;\] d’où
\[(1.2.8) \quad \varphi '(x) = - \frac{{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x,y)}}{{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x,y)}},\] d’où\[(1.2.9) \quad \varphi '(x) = - \frac{{{x^2} -my}}{{{y^2} - mx}}.\]
La tangente au folium $\mathcal{F}$ au point $(a,b)$ est donc donnée par l’équation \[(1.2.10) \quad (a^2 − mb)(x − a) + (b^2 − ma)(y − b).\]
On a $\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(a,b) = 0$ si, et seulement si, $(a,b)=(0,0)$ ou $(a,b) = \left( {\sqrt[3]{2}m,\sqrt[3]{{{2^2}}}}m \right)$.
Au point $A\left( {\sqrt[3]{2}m,\sqrt[3]{{{2^2}}}}m \right)$, on a $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(a,b) \ne 0.$

On peut donc exprimer $x$ comme fonction implicite de $y$ au voisinage de ce
point et puisque $\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(a,b) = 0,$
on a une tangente parallèle à l’axe des ordonnées en $A$.

En $O(0,0)$ le théorème de la fonction implicite n’est pas applicable puisque les deux dérivées partielles $\frac{{\partial f}}{{\partial y}}$ et $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}$ s’annulent en ce point.

Nous venons donc de voir qu’il existe $A \in \mathcal{F}$ tel que pour tout $({x_0},{y_0}) \in \mathcal{F}\backslash \left\{ {(0,0),A} \right\},$ il existe des intervalles ouverts $I$, $J$ de $\bf R$ et une fonction $\varphi $ de $I$ dans $J$ de classe ${C^\infty}$ tels que $({x_0},{y_0}) \in I \times J$ et \[(1.2.11) \quad \forall (x,y) \in I \times J, {(x,y) \in \mathcal{F} \Leftrightarrow y = \varphi (x)}.\]

De façon analogue on montre qu’il existe $B \in \mathcal{F}$ tel que pour tout $({x_0},{y_0}) \in \mathcal{F}\backslash \left\{ {(0,0),B} \right\},$ il existe des intervalles ouverts $I$, $J$ de $\bf R$ et une fonction $\psi $ de $I$ dans $J$ de classe ${C^\infty}$ tels que $({x_0},{y_0}) \in I \times J$ et \[(1.2.12) \quad \forall (x,y) \in I \times J, {(x,y) \in \mathcal{F} \Leftrightarrow x = \psi (y)}.\]

1.3. Équation réduite du folium de Descartes

L’équation (1.1) ne peut faire connaître directement ni la nature ni la forme de la courbe.
Pour la transformer en une autre plus aisée à discuter, nous remarquerons qu’elle reste la même quand on y change $x$ en $y$, et réciproquement. La courbe qu’elle représente est donc symétrique par rapport à la (première) bissectrice de l’angle formé par les axes des coordonnées. Il est donc facile de prévoir qu’en prenant cette droite et celle qui lui est perpendiculaire à l’origine pour nouveaux axes, la discussion sera simplifiée.
Les relations pour passer aux axes nouveaux sont

\[(1.3.1) \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{2}\sqrt 2 \left( {x' - y'} \right)} \\ {y = \frac{1}{2}\sqrt 2 \left( {x' + y'} \right).} \end{array}} \right.\]

D’ailleurs, en nommant $m'$ la portion de la bissectrice dont la projection sur l’axe des $x$ est $m$, l’on a \[(1.3.2) \quad m = \frac{{m'}}{{\sqrt 2 }}.\]
Portons ces valeurs dans l’équation (1.1) ; remplaçons, pour plus de simplicité, $\frac{{3m'}}{2}$, par $m'$, et supprimons les accents. l’équation réduite sera
\[(1.3.3) \quad {y^2}(m + 3x) + {x^{2}}(x - m) = 0.\] Elle donne \[(1.3.4) \quad y = \pm x\sqrt {\frac{{m - x}}{{m + 3x}}}.\]
L’équation mise sous cette forme, on voit de suite que la courbe (fig. 2), limitée à droite à l’abscisse $x = m$, l’est à gauche, à la distance $\frac{1}{3}m$, par l’asymptote définie par l’équation
\[(1.3.5) \quad m+3x=0.\] (Référence bibliographique 11.)

fig. 2

Note

En faisant le changement de variables \[(1.3.6)\quad x = \frac{{X + Y}}{{\sqrt 2 }},y = \frac{{X - Y}}{{\sqrt 2 }}\] dans l’équation (1.1) du folium, i.e. en lui faisant subir une rotaion de centre $O$ et de mesure $\pi /4$, nous obtenons l’équation
\[(1.3.7)\quad 2X\left( {{X^2} + 3{Y^2}} \right) - 3m\sqrt 2 \left( {{X^2} - {Y^2}} \right) = 0.\]
Si nous dilatons la courbe dans la direction des $Y$ d’un facteur $\sqrt 3$, cela devient \[(1.3.8)\quad 2X\left( {{X^2} + {Y^2}} \right) - m\sqrt 2 \left( {3{X^2} - {Y^2}} \right) = 0\] qui n’est autre chose que l’équation de la trisectrice de Maclaurin qui est donc la transformée du folium de Descartes (fig. 2 à droite) par la dilatation de direction l’asymptote du folium, de base son axe de symétrie et de rapport $\sqrt 3 $.

1.4. Étude du folium de Descartes à l’aide d’un paramétrage

1.4.1. Un premier paramétrage du folium de Descartes

Soit la droite ${\mathcal{D}_t}$ définie par l’équation $y=xt$. La courbe ${\mathcal{F}}$ est la trajectoire de son point de rencontre $M_t$ avec la droite ${\mathcal{D}_t}$ lorsque le paramètre $t$ décrit $\bf R$. On obtient les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ de $M_t$ en résolvant le système \[(1.4.1.1)\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + {y^3} - 3mxy = 0} \\ {\quad \quad \quad \quad \quad\quad\;\,\,y = xt} \end{array}} \right.\]

Observons que $(0,0)$ est une solution de ce système pour tout $t$ ($t=-1$ compris).
Pour $t\ne-1$ on trouve \[(1.4.1.2) \quad x(t) = \frac{{3mt}}{{{t^3} + 1}},\;y(t) = \frac{{3m{t^2}}}{{{t^3} + 1}}.\]

Nous voyons donc que toutes les fonctions $x$ et $y$ vérifiant l’équation (1.1) sont définies par les relations (1.4.1.2) ci-dessus sur $\bf R\backslash \{ - 1\}$, et nous pouvons nous assurer aisément que, réciproquement, les fonctions définies par les relations (1.4.1.2) satisfont l’équation (1.1).
Le folium ${\mathcal{F}}$ est, par voie de conséquence, défini par le paramétrage

$(1.4.1.3)\quad \bf R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\to {\bf R^2}$, $t \mapsto \left( {\frac{{3mt}}{{{t^3} + 1}},\frac{{3m{t^2}}}{{{t^3} + 1}}} \right).$

Nous avons pour tout $t\in\bf R\backslash \{ - 1\}$, \[(1.4.1.4)\quad x'(t) = 3m\frac{{1 - 2{t^3}}}{{{{\left( {{t^3} + 1} \right)}^2}}},y'(t) = 3mt\frac{{2 - {t^3}}}{{{{\left( {{t^3} + 1} \right)}^2}}}.\] Nous constatons ici que les dérivées $x'(t)$ et $y'(t)$ ne s’annulent simultanément en aucun point, et par conséquent, la courbe est régulière !

Nous résumons l’étude des variations des fonctions $x$ et $y$ dans le tableau ci-dessous où nous avons pris la valeur 1 pour $m$.

Nous notons (fig. 3) que l’arc de la courbe inclus dans le quatrième quadrant (x>0, y<0) correspond à $t$ appartenant à l’intervalle $\left] { - \infty , - 1} \right[$. L’arc inclus dans le deuxième quadrant (x<0, y>0) correspond à $t$ appartenant à l’intervalle $\left] { - 1,0} \right]$, tandis que la boucle de la courbe (x>0, y>0), elle correspond à $t$ appartenant à l’intervalle $\left[ {0,\infty } \right[$. [3]

fig. 3

Les fonctions $x$ et $y$ tendent vers l’infini lorsque $t$ tend vers $-1$. Comme
$\mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \frac{{y(t)}}{{x(t)}} = - 1$, la courbe admet la direction de la droite d’équation $y=-x$ pour direction asymptotique en $t=-1$.

Nous avons ensuite $\mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \left( {y(t) + x(t)} \right) = - m$ : donc la droite définie par l’équation $y=-x-m$ est une asymptote de la courbe.

Nous avons d’autre part \[(1.4.1.5)\quad y(t) + x(t) + m = m\frac{{{{(t + 1)}^2}}}{{{t^2} - t + 1}},\] qui est du signe de $m$. Donc pour $m>0$ la courbe est au-dessus de l’asymptote et est au-dessous d’elle pour $m<0$.

La symétrie de la courbe par rapport à la droite d’équation $y=x$ dans un repère orthonormal de $\bf R^2$ qui se manifeste de l’invariance de l’équation (1.1) par la transformation $(x,y) \mapsto (y,x)$ suggère la réduction de l’étude des variations du paramétrage (1.4.1.3) de la courbe.

Pour ce faire remarquons que l’application $t \mapsto 1/t$ est une bijection de $I'=\left] { - 1,1} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$ sur $J'={\bf R}{\backslash [ - 1,1[}$ et nous avons $x(1/t)=y(t)$ et évidemment $y(1/t)=x(t)$.

Nous pouvons donc l’étudier sur $I'$ et nous complèterons par la symétrie par rapport à la droite d’équation $y=x$.

Cette étude est résumée dans le tableau ci-dessous.

fig. 4

1.4.2. Un deuxième paramétrage du folium de Descartes

Reprenons le paramétrage (1.4.2.1) du folium de Descartes et considérons le changement de paramètre

$(1.4.2.1)\quad \bf R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\to \bf R\backslash \left\{{0} \right\}$, $t \mapsto u = \frac{1}{{1 + t}},$

i.e.

$(1.4.2.2)\quad \bf R\backslash \left\{ {0} \right\}\to \bf R\backslash \left\{{-1} \right\}$, $u \mapsto t = \frac{1-u}{{u}}.$

Après substitution et prolongement par continuité en $u=0$, nous obtenons le « bon » paramétrage suivant du folium de Descartes

\[(1.4.2.3)\quad {\bf R} \to { \bf {R^2}},u \mapsto \left( {3m\frac{{{u^2}\left( {1 - u} \right)}}{{1 - 3u + 3{u^2}}},3m\frac{{u{{\left( {1 - u} \right)}^2}}}{{1 - 3u + 3{u^2}}}} \right).\]

Pour ce paramétrage le point $O(0,0)$ est clairement un point double puisqu’il correspond aux valeurs distinctes $0$ et $1$ du paramètre $u$.

1.5. Rectification et quadrature du folium de Descartes

En passant du paramétrage (1.4.1.3) aux coordonnées polaires nous trouvons
\[(1.5.1)\quad {\rho ^2} = \frac{{9{m^2}{t^2}\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{{{\left( {1 + {t^3}} \right)}^2}}},\theta = \arctan t.\]
D’où l’équation en coordonnées polaires du folium
\[(1.5.2)\quad \rho = \frac{{3m\sec \theta \tan \theta }}{{1 + {{\tan }^3}\theta }},\] ou
\[(1.5.3)\quad \rho = \frac{{3m\cos \theta \sin \theta }}{{{{\cos }^3}\theta + {{\sin }^3}\theta }}.\]

La longueur de la boucle du folium de Descartes est
\[(1.5.4)\quad s =3m \int_0^\infty {\frac{{\sqrt {1 + {t^2}\left( {{t^6} + 4{t^4} - 4{t^3} - 4t + 4} \right)} }}{{\left( {1 + {t^3}} \right)}}dt,} \] soit \[(1.5.5)\quad s=4,917488...m.\]

L’aire de la « feuille » bordée par la boucle de la courbe est

\[(1.5.6)\quad A = \frac{1}{2}\int_{{\theta _1}}^{{\theta _2}} {{\rho ^2}d\theta },\] soit
\[(1.5.7)\quad A = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3m\sec \theta \tan \theta }}{{1 + {{\tan }^3}\theta }}d\theta } ,\] qui donne
\[(1.5.8)\quad A = \frac{3}{2}{m^2}.\]

Nous pouvons aussi utiliser la relation, conséquence du théorème de Green-Riemann, pour l’aire comme intégrale curviligne
\[(1.5.9)\quad A = \int_{t = 0}^{t = \infty } {xdy = - } \int_{t = 0}^{t = \infty } {ydx = \frac{3}{2}} {m^2}.\]

Notons que l’aire de la partie délimitée par la courbe et son asymptote est finie et égale à $A$.

fig. 5

1.6. Conique tangente au folium en un de ses points

1.6.1. Cercle osculateur au folium en un de ses points

Soit la courbe plane définie par le paramétrage
$t \mapsto r(t)$ où \[(1.6.1.1)\quad r(t) = \left( {x(t),y(t)} \right).\]
Les vecteurs unitaires tangent et normal à la courbe en son point de paramètre $t$ sont, respectivement, \[(1.6.1.2)\quad T = \frac{{r'(t)}}{{\sqrt {r'(t).r'(t)} }}\] et \[(1.6.1.3)\quad N(t) = \frac{1}{{\sqrt {x'{{(t)}^2} + y'{{(y)}^2}} }}\left( { - y'(t),x'(t)} \right).\]
La courbure et le rayon de courbure en ce point sont donnés respectivement par
\[(1.6.1.4)\quad \kappa = \frac{{x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)}}{{\sqrt {{{\left( {x'{{(t)}^2} + y'{{(t)}^2}} \right)}^3}} }}\]
et \[(1.6.1.5)\quad \rho = \frac{1}{\kappa },\] quand cela est possible.

Le cercle osculateur à la courbe en son point de paramètre $t$ est alors donné par le paramétrage
\[(1.6.1.6)\quad \theta \mapsto \varphi (\theta )\] où
\[(1.6.1.7)\quad \varphi (\theta ) = r(t) + \rho \left( {N + T\cos \theta + N\sin \theta } \right).\]
Les figures ci-dessous représentent les cercles osculateurs au folium (unité) de Descartes en quelques uns de ses points.

fig. 6

1.6.2. Conique tangente au folium en un de ses points

Soit le folium unité de Descartes défini par l’équation (1.1) avec $m=1$. Le développement en série de Taylor à l’ordre 2 de la fonction $f$ donnée par la relation (1.2.1) avec $m=1$ au voisinage du point $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ de la courbe donne le polynôme de Taylor du second degré de $f$ au voisinage de ce point, savoir \[(1.6.2.1)\quad T_f^{\left( 2 \right)}\left( {x,y} \right) = 3{x_0}{x^2} + 3{y_0}{y^2} - 3xy - 3x_0^2x - 3y_0^2y + 3{x_0}{y_0}.\]
La conique définie par l’équation \[(1.6.2.2))\quad 3{x_0}{x^2} + 3{y_0}{y^2} - 3xy - 3x_0^2x - 3y_0^2y + 3{x_0}{y_0}=0\] est tangente au folium de Descartes en ce point.

Donnons quelques exemples.

Au point $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {\frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)$ obtenu pour $t=1$, nous avons l’ellipse donnée par l’équation \[(1.6.2.3)\quad \frac{3}{2}{x^2} + \frac{3}{2}{y^2} - xy - \frac{9}{4}x - \frac{9}{4}y + \frac{9}{4} = 0.\]

Au point $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {\frac{4}{3},\frac{2}{3}} \right)$ obtenu pour $t=\frac{1}{2}$, nous avons l’ellipse donnée par l’équation \[(1.6.2.4)\quad \frac{4}{3}{x^2} + \frac{2}{3}{y^2} - xy - \frac{{16}}{9}x - \frac{4}{9}y + \frac{8}{9} = 0.\]

Au point $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {\frac{6}{7},-\frac{12}{7}} \right)$ obtenu pour $t=-2$, nous avons l’hyperbole donnée par l’équation \[(1.6.2.5)\quad \frac{6}{7}{x^2} - \frac{{12}}{7}{y^2} - xy - \frac{{36}}{{49}}x - \frac{{144}}{{49}}y - \frac{{72}}{{49}} = 0.\]

Au point $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {\frac{{45}}{{3374}},-\frac{{ 675}}{{3374}}} \right)$ obtenu pour $t=-15$, nous avons l’hyperbole donnée par l’équation \[(1.6.2.6)\quad \frac{{45}}{{3374}}{x^2} - \frac{{675}}{{3374}}{y^2} - xy - \frac{{2025}}{{11383876}}x - \frac{{455625}}{{11383876}}y - \frac{{30375}}{{11383876}} = 0.\]

Enfin, en $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {0,0} \right)$, obtenu pour $t=0$ ou $t = \pm \infty $, nous avons la conique dégénérée donnée par l’équation \[(1.6.2.7)\quad xy = 0.\]

fig. 7

1.7. Structures de groupe sur le folium de Descartes

Le folium de Descartes n’a pas seulement fourni la preuve de certaines propriétés liées au dernier théorème de Fermat, ou en tant que courbe de Hesse associée à une courbe elliptique, mais il a aussi une propriété très intéressante : on peut définir sur lui une loi de groupe. C’est un cas particulier de la loi de groupe de courbes elliptiques.

Les deux structures de groupes données ci-dessous sont très bien discutées dans les références bibliographiques 4. et 5., respectivement.

1.7.1. Une première loi de groupe sur le folium de Descartes

1.7.1.1. Points à l’infini

Soit $\bf K$ un corps et soit ${\bf A_\bf K^2} = \left\{ (x,y) \in {\bf K^2} \right\}$ le plan affine sur $\bf K$. Le plan projectif $\bf P_\bf K^2$ sur $\bf K$ est formé par les classes d’équivalence sur $\bf K^3\setminus\{0\}$, où l’on déclare $(x,y,z)$ et $(x',y',z')$ équivalents si et seulement s’il existe $\lambda $ dans
${\bf K^ * }$ tel que $(x,y,z) = (\lambda x',\lambda y',\lambda z')$. On notera par
$(x:y:z)$ le point (projectif), i.e. la classe d’équivalence, dont un représentant est $(x,y,z)$.

Les points de $\bf P_\bf K^2$ avec $z\ne 0$ sont les points « finis ». Ces points peuvent être identifiés avec les points du plan affine. Les points $(x:y:0)$ sont appelés les « points à l’infini » de $\bf P_\bf K^2$.

Retournons, à présent, au folium défini par l’équation (1.1). L’équation de sa complétée projective, encore appelée folium de Descartes est \[(1.7.1.1.1)\quad {x^3} + {y^3} - 3mxyz=0.\]
Les points $(x,y)$ dans le plan affine correspondent aux points $(x:y:1)$ dans le plan projectif.

Pour voir quels points sont à l’infini, nous posons $z = 0$ et nous obtenons $ x^3 + y^3 = 0$, ce qui équivaut à $(x + y) (x^2 - xy + y^2) = 0$. Nous avons maintenant deux possibilités.

1. $x+y=0$. Dans ce cas nous obtenons le point à l’infini ${\infty _1} = (-1:1:0)$.

2. $x^2-xy+y^2=0$. Considérons dans cette équation $x$ comme inconnue et $y$ comme paramètre. Son discriminant est $-3y^2$. S’il existe dans $\bf K$ un élément $\alpha$ tel que $\alpha^2=-3$, alors après simplification par $y$ nous obtenons les points à l’infini ${\infty _2} = \left( {\frac{{1 + \alpha }}{2}:1:0} \right)$ et ${\infty _3} = \left( {\frac{{1 - \alpha }}{2}:1:0} \right)$.

Pour une meilleure compréhension du fonctionnement de la loi de groupe sur le folium de Descartes, nous la décrivons pour le corps $\bf K=\bf R$, car dans ce cas nous avons une interprétation géométrique claire.

1.7.1.2. Loi de groupe sur le folium

Une première remarque est que lorsque $\bf K=\bf R$, il n’y a qu’un seul point à l’infini dans $\bf P_\bf K^2$, nous le désignons donc simplement par ${\infty }$ , en gardant à l’esprit qu’il s’agit en fait de ${\infty _1}$.

Commençons avec deux points $ P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ sur $\mathcal{F}$. Définissons un nouveau point $S$ comme suit.

Traçons la droite $\ell = ({P_1}{P_2})$. Cette droite rencontre $\mathcal{F}$ en trois points, savoir $ P_1$, $ P_2$ et un autre point $ P_3$. Nous prenons ce point $ P_3$ et considérons son symétrique $S$ par rapport à la droite définie par l’équation $y = x$. Nous définissons ${P_1} * {P_2} = S$.
Bien sûr, il y a quelques subtilités dans cette loi qui doivent être abordées. Premièrement, que se passe-t-il lorsque $P_1 = P_2$, c’est-à-dire comment fonctionne ${P_1} * {P_1}$ ? Dans ce cas, la droite $\ell $ devient la tangente à $\mathcal{F}$ en $P_1$. Alors $\ell $ rencontre $\mathcal{F}$ en un autre point $P_3$ (dans un certain sens, $\ell $ rencontre toujours $\mathcal{F}$ en trois points, mais $P_1$ compte pour deux d’entre eux), et nous considérons que ${P_1} * {P_2}$ est le symétrique de $P_3$ par rapport à la droite d’équation $y = x$. Nous définissons ${\infty} * {\infty}=\infty$.

Supposons maintenant $P_1\ne\infty$. La tangente $\ell $ a pour coefficient angulaire \[(1.7.1.2.1)\quad p = \frac{{ - x_1^2 + m{y_1}}}{{y_1^2 - m{x_1}}}.\]
Si $y_1^2-mx_1=0$, alors $\ell $ qui est parallèle à l’axe des ordonnées $y$, a pour équation $x=x_1$ et rencontre $\mathcal{F}$ en $P_1$ et $P_3$ de coordonnées $(x_3,y_3)=(x_1,-2y_1)$. Donc ${P_1} * {P_1}=(-2y_1,x_1)$.

Si $y_1^2-mx_1\ne 0$, alors $\ell $ est donnée par l’équation $y=p (x-x_1)+y_1$. Par substitution dans l’équation de $\mathcal{F}$ nous obtenons
\[(1.7.1.2.2)\quad x^3 + (p(x − x_1) + y_1)^3 − 3mx(p(x − x_1) + y_1) = 0.\]
Cette équation s’écrit

\[(1.7.1.2.3)\quad \left( {1 + {p^3}} \right){x^3} + \left( { - 3{p^3}{x_1} + 3{p^2}{y_1} - 3mp} \right){x^2} \] \[+ \left( {3{p^3}x_1^3 - 6{p^2}{x_1}{y_1} + 3py_1^2 + 3mp{x_1}- 3m{y_1}}\right)x\]
\[ + y_1^3 - {p^3}x_1^3 + 3{p^2}x_1^2{y_1} - 3p{x_1}y_1^2 = 0.\]

Si $p=-1$ (i.e. si $x_1=y_1$), alors ${P_1} * {P_1}=\infty$.

Sinon, posons \[(1.7.1.2.4)\quad s = \frac{{3{p^3}{x_1} - 3{p^2}{y_1} + 3pm}}{{{p^3} + 1}}\] la somme des racines de l’équation ci-dessus. Nous avons alors $x_3=s-2x_1$ et en substituant dans l’équation de $\ell $, nous avons $y_3=p(s-3x_1)+y_1$. Nous avons ainsi ${P_1} * {P_1}=(p(s-3x_1)+y_1,s-2x_1).$

Supposons à présent $P_1\ne P_2$. Si $x_1=x_2$, alors $\ell $ qui est parallèle à l’axe des ordonnées $y$, a pour équation $x=x_1$ et rencontre $\mathcal{F}$ en $P_3$ de coordonnées $(x_3,y_3)=(x_1,-y_1-y_2)$. Donc ${P_1} * {P_1}=(-y_1-y_2, x_1)$.

Si $x_1\ne x_2$, la droite $\ell $ a pour coefficient directeur
\[(1.7.1.2.5)\quad p = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\] et pour équation \[(1.7.1.2.6)\quad y=p(x-x_1)+y_1.\]

L’équation qui donnent les abscisses des points de rencontre de $\ell $ et $\mathcal{F}$ est, après substitution et simplification,
\[(1.7.1.2.7)\left( {1 + {p^3}} \right){x^3} + \left( { - 3{p^3}{x_1} + 3{p^2}{y_1} - 3mp} \right){x^2} \]
\[+ \left( {3{p^3}x_1^2 - 6{p^2}{x_1}{y_1} + 3py_1^2 + 3mp{x_1} - 3m{y_1}} \right)x\] \[ + y_1^3 - {p^3}x_1^3 + 3{p^2}x_1^2{y_1} - 3p{x_1}y_1^2 = 0.\]
Si $p=-1$ (i.e. si $x_1=y_2$ et $x_2=y_1$), alors ${P_1} * {P_2}=\infty$.

Si $p\ne -1$, considérons la somme des racines $x_1,x_2,x_3$, savoir,
\[(1.7.1.2.8)\quad s = \frac{{3{p^3}{x_1} - 3{p^2}{y_1} + 3pm}}{{{p^3} + 1}}.\] Il en résulte
$x_3 = s−x_1 −x_2$, puis $y_3 = p(s−2x_1−x_2)+y_1$. Nous avons donc
${P_1} * {P_2}=(p(s − 2x_1 − x_2) + y_1, s − x_1 − x_2).$

La commutativité de cette loi est évidente, l’élément d’identité est $\infty$ et l’inverse d’un point est son symétrique par rapport à la droite d’équation $y = x$. En fait, toutes les propriétés de la structure de groupe sont faciles à vérifier, à l’exception de l’associativité. Cette dernière peut être vérifiée par un long calcul utilisant des formules explicites ou par des méthodes algébriques ou analytiques plus avancées qui dépassent l’ambition de cet article.

Nous pouvons donc conclure que l’ensemble

$(1.7.1.2.9)\quad {\mathcal{F}_m} (\bf R)$ = $\left\{ (x,y) \in {\bf R^ * } \times {\bf R^ * }:{x^3} + {y^3} - 3mxy = 0 \right\} \cup \left\{ \infty \right\}$

muni de la loi de composition interne $*$ définie ci-dessus est un groupe commutatif.

Remarquons que nous pouvons considérer le folium de Descartes sur le corps des nombres rationnels $\bf Q$, le corps des nombres complexes $\bf C$ ou sur un corps fini ${\bf K}={\bf F}_{r}$ à $r$ éléments, y chercher les points à l’infini et définir une loi de groupe qui sera fini pour le dernier cas.
On pourra peut être aussi étendre ce folium aux quaternions.

Notons enfin qu’il existe encore de nombreuses applications à trouver pour le folium de Descartes, liées au fait qu’il existe une loi de groupe sur la courbe. Par exemple, la cryptographie du folium de Descartes et le problème du logarithme discret pour le folium de Descartes.

fig. 8
Loi de composition interne sur le folium de Descartes

1.7.2. Une deuxième loi de groupe sur le folium de Descartes

Appliquons le changement de paramètre

$(1.7.2.1)\quad \bf R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\to \bf R\backslash \left\{{0} \right\}$, $t \mapsto u = 1 + t,$

i.e.

$(1.7.2.2)\quad \bf R\backslash \left\{ {0} \right\}\to \bf R\backslash \left\{{-1} \right\}$, $u \mapsto t = u-1.$

sur le paramétrage (1.4.1.2). Nous obtenons pour le folium le nouveau paramétrage
\[(1.7.2.3) \quad {\bf R^ * } \to {\bf R^2},u \mapsto \left( {x(u),y(u)} \right)\] où

\[(1.7.2.4) \quad x(u) = \frac{{3m(u-1)}}{{{1+(u-1)^3}}},\;y(u) = \frac{{3m{(u-1)^2}}}{{{1+(u-1)^3}}}.\]
Il est clair que la correspondance algébrique $\left( {M(u),M(v)} \right) \mapsto M(uv)$ où $M(s)$ est le point de paramètre $s$ dans le paramétrage (1.7.2.3) définit la loi de composition interne
\[(1.7.2.5)\quad \left( {\frac{{3m(u - 1)}}{{1 + {{(u - 1)}^3}}},\frac{{3m{{(u - 1)}^2}}}{{1 + {{(u - 1)}^3}}}} \right) \circ \left( {\frac{{3m(v - 1)}}{{1 + {{(v - 1)}^3}}},\frac{{3m{{(v - 1)}^2}}}{{1 + {{(v - 1)}^3}}}} \right) =\]
\[ \left( {\frac{{3m(uv - 1)}}{{1 + {{(uv - 1)}^3}}},\frac{{3m{{(uv - 1)}^2}}}{{1 + {{(uv - 1)}^3}}}} \right),\]
sur le folium de Descartes, donné par ce paramétrage.

Le point $O(0,0)$ de paramètre $u=1$ est manifestement l’élément neutre pour cette loi. Les propriétés d’associativité et de commutativité se déduisent de celles de la multiplication des réels (non nuls !). Le symétrique (ou l’inverse) du point de paramètre $u$ est le point de paramètre $1/u$.
$\left( {\mathcal{F}, \circ } \right)$ est donc un groupe commutatif isomorphe au groupe multiplicatif $\left( {{\bf R^ * }, \times } \right).$
 [4]

1.8. Surfaces associées au folium de Descartes

1.8.1. Surface de Riemann du folium de Descartes

Soit, à présent, le folium \[(1.8.1.1)\quad \bar{ \mathcal{F}} = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\bf C^2}: f\left( {x,y} \right) = 0} \right\}\] où
\[(1.8.1.2)\quad f\left( {x,y} \right) = {x^3} + {y^3} - 3xy.\]
Si $\frac{{\partial P}}{{\partial y}}({x_0},{y_0}) \ne 0$ (resp. $\frac{{\partial P}}{{\partial x}}({x_0},{y_0}) \ne 0$) en un point $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ de $\bar{ \mathcal{F}}$, distinct de $(0,0)$, alors par le théorème des fonctions implicites il existe $h:V \to \bf C$ (resp. $g:W \to \bf C$) holomorphe sur un voisinage $V$ (resp. $W$) de $x_0$ (resp. de $y_0$) telle que $\bar {\mathcal{F}}$ soit définie par $y=h(x)$ (resp. $x=g(y)$) au voisinage de $(x_0, y_0)$. La courbe $\bar {\mathcal{F}}$ est donc une surface de Riemann de carte locale en un tel point la première (resp. la deuxième) projection

$(1.8.1.3)\quad {p_1}:(x,y) \mapsto x$ (resp. ${p_2}:(x,y) \mapsto y)$.

Cette surface de Riemann a trois feuillets puisque à une valeur de l’une des variables correspondent trois valeurs pour l’autre.

La surface de Riemann correspondant au folium de Descartes est conformément équivalente à une sphère.

fig. 9
Surface de Riemann du folium de Descartes

1.8.2. Autres surfaces attachées au folium de Descartes

Outre la surface de Riemann associée au folium de Descartes, nous donnons ci-dessous quelques surfaces parmi de nombreuses autres qu’on peut associer à cette courbe.

${x^3} + {y^3} = 3xy\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ ${x^3} + {y^3} = 3xyz$

fig. 10
$\left( {x(u,v),y(u,v),z(u,v)} \right) = \left( {v\frac{{{u^2} - {u^3}}}{{1 - 3u + 3{u^2}}},v\frac{{u - 2{u^2} + {u^3}}}{{1 - 3u + 3{u^2}}},v} \right)$
$ - 5 \leqslant u \leqslant 5,0 \leqslant v \leqslant 2\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ $\quad\quad\quad - 5 \leqslant u \leqslant 5, - 2 \leqslant v \leqslant 2$

Note

Si on implose le cercle central, cœur de la bande de Möbius, en faisant tendre son rayon vers zéro, on obtient un cône (figure ci-dessus en haut à droite) dont la rencontre avec une sphère est une courbe fermée à deux points doubles. Sa rencontre avec un plan est le folium de Descartes défini par l’équation ${x^3} + {y^3} = 3xy.$ [5]

2. GÉNÉRALISATION DU FOLIUM DE DESCARTES

2.1. Folium de Descartes général

Une généralisation du folium de Descartes, peut être la plus belle, est due à J. A. Bullard (J. A. Bullard, Problem 410, this MONTHLY2 3 (1916) 210, et J. A. Bullard, Solution of problem 410, this MONTHLY2 4 (1917) 86.). Ce folium général est donné par l’équation
\[(2.1.1) \quad {x^{2q + 1}} + {y^{2q + 1}} - (2q + 1)m{x^q}{y^q} = 0\] où $q$ est un entier positif. L’asymptote de cette courbe est donnée par l’équation
\[(2.1.2) \quad x + y - {( - 1)^q}m = 0.\]

Il est aussi défini par le paramétrage

\[(2.1.3) \quad \bf R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\to {\bf R^2}\]
\[(2.1.4) \quad t \mapsto \left( {\frac{{(2q + 1)m{t^q}}}{{1 + {t^{2q + 1}}}},\frac{{(2q + 1)m{t^{q + 1}}}}{{1 + {t^{2q + 1}}}}} \right).\]

En coordonnée polaires il est représenté par l’équation
\[(2.1.5) \quad \rho = \frac{{(2q + 1)m\sec \theta {{\tan }^q}\theta }}{{1 + {{\tan }^{2q + 1}}\theta }}.\]

L’aire de la partie du plan limitée par la courbe et son asymptote qui est exactement la même que celle de la partie bordée par la boucle est
\[(2.1.6) \quad A(q)=\frac{{2q + 1}}{2}{m^2}.\]
L’équation précédente est un exemple de l’équation plus générale
\[(2.1.7) \quad {P_{2q + 1}}(x,y) = {P_{2q}}(x,y),\] où ${P_{n}}$ est un polynôme homogène de degré $n$.

fig. 11
Folia généralisés correspondant à $q \in \left\{ {2,3,4,5,6} \right\}$ et $m=1$

fig. 12
Surface de Riemann du folium correspondant à $q=2$ et $m=1$

fig. 13
Surface de Riemann du folium correspondant à $q=3$ et $m=1$

3. ISOMORPHISME ENTRE LE CORPS DE BASE ET L’ENSEMBLE DES FOLIUMS DE DESCARTES

Soient $\bf K$ un corps et ${\bf A_\bf K^2} = \left\{ (x,y),(x,y) \in {\bf K^2} \right\}$ le plan affine sur $\bf K$. Soit \[(3.1) \quad \Phi = \left\{ {{\mathcal{F}_m}, m \in \bf K} \right\}\]

\[(3.2) \quad {\mathcal{F}_m} = \left\{ {\left( {x,y} \right),\left( {x,y} \right) \in {\bf {K}} \times {\bf {K}} ,{x^{2q + 1}} + {y^{2q + 1}} - \left( {2q + 1} \right)m{x^{q}}{y^{q}} = 0} \right\}\] l’ensemble des foliums de Descartes d’ordre $2q+1$. On munit cet ensemble des lois de composition internes $ \oplus $ et $ \otimes $ définies, respectivement, par \[(3.3) \quad {\mathcal{F}_m} \oplus {\mathcal{F}_{m'}} = {\mathcal{F}_{m + m'}}\] et \[(3.4) \quad {\mathcal{F}_m} \otimes {\mathcal{F}_{m'}} = {\mathcal{F}_{mm'}}\] d’éléments neutres respectifs le folium dégénéré d’équation \[(3.5) \quad x+y=0\] et le folium unité défini par l’équation \[(3.6) \quad x^{2q + 1} + y^{2q + 1} - \left( {2q + 1} \right){x^{q}}{y^{q}} = 0.\]

On vérifie aisément que, relativement aux deux lois de composition ci-dessus, l’application \[(3.7) \quad \Psi :{\bf K} \to \Phi ,m \mapsto {\mathcal{F}_m}\] est un isomorphisme qui fait de $\Phi = \left\{ {{\mathcal{F}_m}, m \in \bf K} \right\}$ un corps isomorphe à $\bf K$.

On peut également considérer la loi de composition externe
\[(3.8) \quad {\bf K} \times \Phi \to \Phi ,\left( {\lambda ,{\mathcal{F}_m}} \right) \mapsto \lambda {\mathcal{F}_m}\] où \[(3.9) \quad \lambda {\mathcal{F}_m} = {\mathcal{F}_{\lambda m}}.\]

Ce qui entraîne une structure d’espace vectoriel sur l’ensemble $\Phi$ des foliums de Descartes.

On peut continuer à ajouter davantage d’étages à la tour des structures qu’on peut envisager sur cet ensemble.

Notons enfin, en passant, que tout point $M(a,b)$ de ${\bf A_\bf K^2}$, dont aucune coordonnée n’est nulle (i.e. tel que $ab \ne 0$) appartient à un élément de $\Phi$, en l’occurrence l’élément $\mathcal{F}_{m_{(a,b)}}$, où \[(3.10) \quad {m_{(a,b)}} = \frac{{{a^{2q + 1}} + {b^{2q + 1}}}}{{\left( {2q + 1} \right){a^q}{b^q}}}.\]
Bien entendu, nous supposons ici le dénominataur non nul dans $\bf K$.

4. LES FOLIUMS EN GÉNÉRAL

Dans ce paragraphe nous donnons quelques courbes qui, dans la littérature, prennent, parmi tant d’autres, le nom de « folium ».

4.1. Le folium

On définit un folium comme étant la podaire d’une deltoïde.
Lorsque $O$ est le pôle de la podaire et la deltoïde a pour centre $A(a,b)$ et de point de rebroussement $B(a-2r,b)$ , $r$ étant le rayon du cercle inscrit dans la deltoïde, le folium a pour équation cartésienne
\[(4.1.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {ax + by} \right) - rx\left( {{x^2} - 3{y^2}} \right) ;\]
en coordonnées polaires nous avons l’équation
\[(4.1.2) \quad \rho = r\cos 3\theta + a\cos \theta + b\sin \theta .\]
Lorsque $b=0$, le folium est dit droit et si $a=3r$, il est dit simple.

4.2. Le folium de Dürer

Le folium de Dürer est la sextique tricirculaire rationnelle définie par l’équation cartésienne
\[(4.2.1) \quad \left( {{x^2} + {y^2}} \right){\left[ {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - {a^2}} \right]^2} - {a^4}{x^2} = 0.\]
Un paramétrage de la courbe est
\[(4.2.2) \quad t \mapsto \left( {\frac{a}{2}\left( {\cos t + \cos 3t} \right),\frac{a}{2}\left( {\sin t + \sin 3t} \right)} \right).\]

4.3. Le folium parabolique

Un point $O$ et deux droites perpendiculaires $D_1$ et $D_2$ étant donnés, une droite variable $D$ contenant $O$ rencontre $D_1$ en $P$, la perpendiculaire en $P$ rencontre $D_2$ en $Q$, la perpendiculaire en $Q$ rencontre $D_1$ en $R$, la perpendiculaire en $R$ rencontre $D$ en $M$, le folium parabolique est l’ensemble des points $M$ obtenu lorsque $D$ varie. Si $D_1$ et $D_2$ sont définies par les équations $x=a$ et $y=b$, le folium parabolique associé est défini par l’équation cartésienne \[(4.3.1) \quad {x^3} - a\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - bxy = 0.\]

En coordonnées polaires il est défini par \[(4.3.2) \quad \rho = \frac{a}{{\cos \theta }} - \tan \theta \frac{{a\tan \theta - b}}{{\cos \theta }}.\]
Lorsque $D_2$ contient $O$, i.e. $b=0$, le folium parabolique est dit droit.

4.4. Le folium simple

C’est la quartique plane définie par l’équation cartésienne
\[(4.4.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - a{x^3} = 0\]
où $a$ est un réel strictement positif.

Un paramétrage de cette courbe est
\[(4.4.2) \quad t \mapsto \left( {\frac{a}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}},\frac{{at}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}}} \right).\]
En coordonnées polaires le folium simple est défini par l’équation
\[(4.4.3) \quad \rho = a{\cos ^3}\theta.\]
L’aire de la partie du plan qu’il délimite est égale à $\frac{{5\pi {a^2}}}{{32}}.$

Étant donnés deux points $O$ et $A$ et une droite variable $D$ contenant $O$, le folium simple est l’ensemble décrit par le projeté sur $D$ du projeté sur $(OA)$ du projeté sur $D$ de $A$.
Le folium simple est une podaire de deltoïde par rapport à un de ses points de rebroussement.

fig. 14
Exemples de foliums

5. MULTIFOLIUMS

5.1. Le bifolium

Soient $C$ un cercle contenant $O$, $A(a,0)$ et $B(0,b)$ deux points donnés et $D$ une droite contenant $O$ et rencontrant $C$ à nouveau en $P$ de projeté $H$ sur $Ox$, le bifolium associé est l’ensemble des projetés de $H$ sur la droite $(OP)$.

Il est défini en coordonnées cartésiennes par l’équation
\[(5.1.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - \left( {ax + by} \right){x^2} = 0,\]
et par le paramétrage
\[(5.1.2) \quad t \mapsto \left( {\frac{{a + bt}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}},\frac{{at + b{t^2}}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}}} \right).\]
En coordonnées polaires il est défini par l’équation
\[(5.1.3) \quad \rho = \left( {a\cos \theta + b\sin \theta } \right){\cos ^2}\theta.\]

5.2. Le bifolium droit, régulier ou de Brocard

Le bifolium droit, régulier ou de Brocard est défini par l’équation \[(5.2.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 4a{x^2}y = 0\] et par le paramétrage \[(5.2.2) \quad t \mapsto \left( {a\sin t\left( {1 + \cos t} \right),a{{\sin }^2}t} \right).\]

5.3. Le quadrifolium

Le quadrifolium ou trèfle à quatre feuilles est la courbe plane définie par le paramétrage \[(5.3.1) \quad t \mapsto \left( {\cos t\cos 2t,\sin t\cos 2t} \right).\]

En coordonnées polaires il est défini par l’équation \[(5.3.2) \quad \rho = \cos 2\theta .\]
Une équatiopn en coordonnées cartésiennes est \[(5.3.3) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^3} - {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = 0.\]

C’est la podaire (resp. la radiale) d’une astroïde par rapport à son centre.

5.4. Le trifolium

Le trifolium est défini en coordonnées cartésiennes, par équation
\[(5.4.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - by\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - rx\left( {{x^2} - 3{y^2}} \right) ;\]
en coordonnées polaires nous avons l’équation
\[(5.4.2) \quad \rho = r\cos 3\theta + b\sin \theta.\]
Les deux équations sont obtenues de celle du folium pour $a=0$.

C’est la podaire d’une deltoïde lorsque le pôle est intérieur à la deltoïde.

5.5. Le trifolium de Cramer

Le folium de Cramer est la quartique définie implicitement en coordonnées cartésiennes par l’équation
\[(5.5.1) \quad {x^4} + {y^4} - 2ax\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 0\] où $a$ est un réel positif.
En coordonnées polaires, il est défini par l’équation
\[(5.5.2) \quad \rho = a\frac{{2\cos \theta \cos 2\theta }}{{{{\cos }^4}\theta + {{\sin }^4}\theta }}.\]

5.6. Le trifolium de De Longchamps et de Brocard

Le trifolium de De Longchamps et de Brocard est la podaire d’une deltoïde par rapport à un point qui lui est intérieur.
C’est un cas particulier de folium.
Lorsque le pôle de la podaire est le point $O$ et la deltoïde de centre de coordon-nées $(a,b)$ et de point de rebroussement le point de coordonnées $(a-2r,b)$ , une équation du trifolium en coordonnées polaires est \[(5.6.1) \quad \rho = r\cos 3\theta + a\cos \theta + b\sin \theta .\]
En coordonnées cartésiennes il est alors défini par l’équation \[(5.6.2) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {ax + by} \right) - rx\left( {{x^2} - 3{y^2}} \right) = 0.\]

5.7. Le trifolium régulier

C’est la podaire (resp. la radiale) d’une deltoïde par rapport à son centre.
C’est aussi l’enveloppe d’un cercle de diamètre joignant le centre d’une deltoïde et un point de cette deltoïde.
En coordonnées polaires le trifolium régulier est défini par l’équation
\[(5.7.1) \quad \rho = a\cos 3\theta \]
et en coordonnées cartésiennes par l’équation \[(5.7.2) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - ax\left( {{x^2} - 3{y^2}} \right) = 0.\]
L’aire de la partie du plan qu’elle délimite est $\frac{\pi }{{4{a^2}}}.$

5.8. Le $n$-folium

On appellera $n$-folium la courbe plane définie, en coordonnées polaires, par l’équation
\[(5.8.1) \quad \rho = \frac{{a{{\sin }^2}n\theta }}{{\sin \theta }}.\]

fig. 15
Exemples de multifoliums

Références bibliographiques

1. Charles Adam, Vie et œuvres de Descartes, Paris, Léopold Cerf, Imprimeur-Éditeur, 1910, p. 266.

2. Charles Adam & Paul Tannery, OEUVRES DE DSSCARTES, PARIS
LÉOPOLD CERF, IMPRIMEUR-ÉDITEUR l897.

3. Jacques Bair et Valérie Henry, Les infiniment petits selon Fermat : prémisses de la notion de dérivée. http://journals.openedition.org/bibnum/610, mis en ligne le 01 novembre 2008, consulté le 19 avril 2019.

4. Adrian Constantinescu, Constantin Udriste, Steluta Pricopie, Genome of Descartes Folium via Normalization, arXiv:1702.03215v1 [math.AG] 9 Feb 2017.

5. Adrian Constantinescu, Constantin Udriste and Steluta Pricopie, Genome of Descartes Folium via Normalization, arXiv:1702.03215v1 [math.AG] 9 Feb 2017

6. Hamza Khelif, Le jardin des courbes, Dictionnaire raisonné des courbes planes célèbres et remarquables, 2e Édition, Tome 1. Independently Published, June 2020. KDP. Amazon.com.

7. Hamza Khelif, Le jardin des surfaces, Dictionnaire raisonné des courbes gauches, des surfaces et d’autres variétés célèbres et remarquables. Independently Published, July 2020. KDP. Amazon.com.

8. Michael Sean Mahoney, THE MATHEMATICAL CAREER OF PIERRE DE
FERMAT. Princeton University Press Princeton, New Jersey. 1994.

9. Sébastien Maronne. La théorie des courbes et des équations dans la Géométrie cartésienne : 1637-1661. [version déposée]. Philosophie. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2007. Français. tel-00204125v1.

10. Uta C. Merzbach and Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Third Edition, John Wiley & Sons, Inc. 2011.

11. M. Midy. Note sur le folium de Descartes, Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 3 (1844), p. 293-303.

12. Jaume Paradís, Josep Pla and Pelegrí ViaderSource, Fermat and the Quadrature of the Folium of Descartes. The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 3 (Mar., 2004), pp. 216-229.

13. Steluta Pricopie and Constantin Udriste, Multiplicative group law on
the folium of Descartes
, Balkan Journal of Geometry and Its Applications, Vol. 18, No. 1, 2013, pp. 54-70.

14. George F. Simmons, CALCULUS GEMS, Brief Lives and Memorable Mathematics. McGraw-Hili, Inc. 1992.

Références sitographiques

1. https://encyclopediaofmath.org/wiki...

2. https://mathworld.wolfram.com/Foliu...

3. http://serge.mehl.free.fr/anx/foliu...

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Foliu...

Post-scriptum :

L’auteur remercie Laurent Bartholdi, responsable de la Tribune des mathématiciens, pour ses aimables remarques.

Article édité par Laurent Bartholdi

Notes

[1La difficulté que Descartes pensait impossible à surmonter pour Fermat était que la courbe proposée était une cubique donnée par une équation implicite $x ^ 3 + y ^ 3 = 3axy$. Descartes était très fier de sa propre méthode pour dessiner des tangentes aux courbes. Selon ses propres mots : « Et j’ose dire que ce n’est pas seulement le problème de géométrie le plus utile et le plus général que je connaisse, mais même que j’aie jamais voulu connaître ».
Il n’est donc pas étrange que, lorsqu’il a entendu parler d’une méthode conçue par un amateur relativement obscur, Descartes a pensé que la solution alléguée ne serait qu’une mauvaise construction qui ne passerait pas son test. Lorsque Fermat a fourni les tangentes requises non seulement au sommet du folium (le seul point où la méthode de Descarte était applicable) mais aussi à tout autre point de la courbe, Descartes a été obligé de reconnaître la supériorité de la méthode de Fermat et sa grandeur intellectuelle

[2Pour $m=0$, l’équation se réduit à $x+y=0$ et la courbe à la droite d’équation $y=-x$ que nous pouvons considérer comme folium dégénéré, limite de tous ces folium lorsque $m$ tend vers $0$.

[3Pour ce paramétrage le point $O(0,0)$ qui, d’une part, appartient à la courbe pour $t=0$, est, d’autre part, un point asymptote au voisinage de $t=-1$.

Le point $O(0,0)$ n’est pas un point double pour la courbe (c’est un point régulier). Il le sera dans droite réelle achevée $\bar {\bf R} = \bf R \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\}$.

[4On pourrait, bien sûr, considérer l’isomorphisme défini par (1.7.2.3) entre les magmas $\left( {{\bf R^ * }, \times } \right)$ et $\left( {\mathcal{F}, \circ } \right)$, qui transportera la structure de groupe multiplicatif de $\left( {{\bf R^ * }, \times } \right)$ dans $\left( {\mathcal{F}, \circ } \right)$.

[5Étienne Ghys, A singular mathematical promenade, Lyon, ENS Éditions, 2017, p. 118-119. Voir aussi la Référence bibliographique 7., p. 1886.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Hamza Khelif — «Les foliums de Descartes et alii» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

Image à la une - Courbes de niveau de la fonction \[f:(x,y) \mapsto {x^3} + {y^3} - 3xy.\]

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?