Les problèmes inverses géométriques (III)

Les géométries chaotiques : le retour

II. Le spectre marqué des longueurs

Pista roja El 4 marzo 2021  - Escrito por  Thibault Lefeuvre Ver los comentarios (1)

Cet article est le deuxième volet de notre étude consacrée aux géométries chaotiques. Après avoir montré dans un premier article comment la courbure négative peut être à l’origine de phénomènes chaotiques, nous nous intéressons ici au spectre marqué des longueurs de ces géométries. Ce dernier est une suite de nombres, correspondant à des trajectoires remarquables, rares mais suffisamment bien réparties dans la géométrie, et qui ont la propriété d’être périodiques. Il est conjecturé par les mathématiciens que ce spectre encode entièrement la géométrie... mais pour le moment, ceci est une question ouverte!

Ami lecteur,

si le premier article est encore frais dans ta mémoire, ce bloc de rappel n’est pas pour toi. En revanche, si ta mémoire te fait défaut (ou si, pire encore, tu as osé franchir les portes du second niveau sans avoir terminé le premier !), voici une piqûre de rappel :

Courbure, vous avez dit courbure ?

Dans le précédent article, nous avons expliqué qu’une géométrie (de dimension deux) est une surface sur laquelle on met une règle, permettant d’y calculer des distances : la Terre en est un bel exemple. Or il se trouve que notre bonne vieille Terre n’est pas une pizza (enfin, me semble-t-il...), contrairement à ce que crurent certains de nos ancêtres : elle présente de la courbure.

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Figure 1 : Trois géométries : courbure positive (à gauche), plate (au centre), négative (à droite).

Nous avons expliqué que la courbure d’une surface est un nombre pouvant se calculer en tout point et mesurant l’obstruction de celle-ci à être plate, c’est-à-dire semblable au plan euclidien que nous connaissons bien. Lorsque la courbure est positive, la surface a tendance à ressembler à la Terre, et les triangles que nous dessinons dessus ont la propriété remarquable d’avoir la somme de leurs angles internes supérieure à 180 degrés ! A l’inverse, en courbure négative, la surface ressemble plutôt à une selle de cheval et les triangles sont fins, c’est-à-dire que la somme de leurs angles internes est inférieure à 180 degrés (voir la figure 1).

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Figure 2 : En courbure négative (à droite), deux trajectoires géodésiques initialement proches ont tendance à diverger.

Il existe sur toutes les surfaces, qu’elles soient courbées ou non, une façon naturelle de se déplacer en suivant des trajectoires dites géodésiques : ce sont tout simplement les trajectoires qui minimisent la distance entre deux points. Par exemple, sur la Terre, la trajectoire géodésique reliant Paris à New York est un arc de cercle (centré au noyau de la Terre). Au lieu de se donner deux points, et de les relier par une trajectoire géodésique, on peut également se donner un point ainsi qu’une direction (un cap, si vous préférez) : la trajectoire géodésique consiste alors à «aller tout droit» en suivant le cap. Dans le plan ou l’espace euclidien, la trajectoire géodésique consiste bel et bien à parcourir une droite.

En revanche, en courbure négative, nous avons vu que les trajectoires géodésiques avaient la fâcheuse (ou heureuse !) tendance à diverger, même lorsqu’elles semblaient initialement proches (voir la figure 2). C’est ce que l’on appelle une forte sensibilité aux conditions initiales, qui est l’une des propriétés fondamentales des systèmes chaotiques. Cela conduit la majorité des trajectoires à faire «n’importe quoi» sur la surface, c’est-à-dire à décrire des lignes qui semblent imprévisibles. Nous l’avons illustré dans le précédent article en montrant l’analogie qui existait entre cette dynamique des trajectoires géodésiques, et la dynamique des billards de Sinaï : ces derniers consistent à étudier le mouvement de nuages de particules qui rebondiraient contre des obstacles disposés de façon périodique dans le plan. Ils permettent entre autres de modéliser des gaz dits de Lorentz. En outre, nous avons observé grâce à des simulations numériques, que les déplacements des particules sur ces billards étaient totalement chaotiques, et qu’en très peu de temps, des nuages de particules très concentrés s’équi-répartissaient très vite sur toute la surface du billard. C’est exactement le même phénomène qui se produit pour la dynamique des trajectoires géodésiques sur les surfaces à courbure négative.

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La dynamique des particules dans un billard de Sinaï : on lance un amas de particules initialement très concentrées (c’est-à-dire avec des positions et des directions similaires) et on observe son évolution au cours du temps. Lorsque les particules rencontrent un obstacle, elles rebondissent (selon les lois de Snell-Descartes, l’angle de réflexion étant égal à l’angle d’incidence). On remarque que cet amas va très rapidement s’équi-répartir sur tout le billard et donner un nuage homogène de particules. Image : Frédéric Faure.

Comment décrire le chaos ?

Nous avons expliqué dans le premier article que la trajectoire géodésique de la plupart des particules ne peut pas se comprendre raisonnablement, sinon d’un point de vue statistique. Ceci se traduit par les deux observations suivantes :

  • au bout d’un certain temps, la trajectoire géodésique d’une particule individuelle aura presque «rempli tous les blancs»,
  • un amas initialement très concentré de particules tend à s’équi-répartir en un nuage homogène très rapidement sur la surface, à l’image de ce qui se produit dans un billard de Sinaï (voir la vidéo du bloc déroulant).

Il n’y a malheureusement pas tellement de réponse plus satisfaisante à apporter [1], ce qui, pour les mathématiciens, vous en conviendrez, est tout de même assez décevant. Il existe néanmoins des trajectoires tout à fait remarquables, et beaucoup plus rares, dont le comportement est à l’opposé de celui, chaotique, de l’écrasante majorité des points : ce sont des trajectoires périodiques. Nous avons représenté (de façon quelque peu erronée) une surface à courbure négative en figure 3 : on y observe trois trajectoires géodésiques ; l’une est un simple segment reliant le point $x$ au point $y$ ; les deux autres sont des trajectoires périodiques, ce sont les deux boucles rouges.

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Figure 3 : Un exemple de trajectoire géodésique sur une surface.

Ces trajectoires périodiques ne visitent en fait qu’une très faible partie de la surface, et le mouvement de la particule y est très simple : cette dernière tourne le long d’un même cercle avant de revenir à son point de départ. Et une fois le point de départ atteint, elle repart pour un nouveau tour ! On appelle période le temps que la particule met pour revenir à son point de départ.

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Figure 4 : La Poire de Tannery est un autre exemple bien connu de surface de Zoll. Elle a été découverte par le mathématicien français Jules Tannery en 1892. L’article original est disponible ici

Si nous oublions deux minutes nos chères géométries à courbure négative (et dans lesquelles les trajectoires périodiques sont rares mais existent !), il est très facile de trouver une géométrie dans laquelle abondent les trajectoires périodiques... Voyez-vous à qui je pense ? Notre bonne vieille Terre ! Eh oui, si l’envie vous prend de poursuivre la trajectoire géodésique de votre Paris-New York (qui est un grand cercle, nous le rappelons, dont le centre n’est autre que le noyau de la Terre et passant à la fois par Paris et New-York), vous finiriez, après de longues heures de navigation (et pourvu que vous ayez suffisamment de kérosène !) par revenir à Paris. En fait, dans le cas d’une sphère, il est facile de formuler l’observation suivante : toutes les trajectoires géodésiques sont périodiques, qui plus est de même période. Ce phénomène est si particulier qu’on lui a donné un nom : on parle de géométries de Zoll, du nom du mathématicien allemand (encore !) Otto Zoll, qui les a découvertes au début du siècle dernier. Si d’aventure vous voulez briller en société, n’hésitez pas à mentionner que la Terre est un exemple de surface de Zoll, cela produit toujours son petit effet ! En 1978, Arthur Besse, qui n’est autre que le pseudonyme inventé par un groupe de mathématiciens dirigé par Marcel Berger (1927—2016) [2] leur a même consacré une monographie intitulée en français Variété dont toutes les géodésiques sont fermées.

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Marcel Berger (1927—2016) est un mathématicien français de renom qui a beaucoup contribué à la géométrie (différentielle, riemannienne).

Le cas des surfaces à courbure négative que nous nous proposons d’étudier est bien loin des surfaces de Zoll ! Les géodésiques périodiques y sont très rares, et nous allons même dans un instant les classifier. Mais, tout aussi paradoxal que cela soit, bien que rares, ces géodésiques périodiques sont suffisamment nombreuses pour encoder des informations essentielles sur le comportement à long terme des trajectoires géodésiques. Par exemple, il est possible de montrer que les trajectoires périodiques sont denses dans la surface, ce qui signifie la chose suivante : étant donné un couple de point/direction sur la surface (et dont la trajectoire géodésique a de très grandes chances d’être totalement imprévisible !), il existe une trajectoire périodique passant très proche de ce point (en fait, aussi proche que l’on veut).

Classifier les géodésiques périodiques : tout n’est qu’affaire d’élastique...

Pour classifier les géodésiques périodiques sur nos surfaces à courbure négative, il nous faut introduire la notion de classe d’homotopie libre. Derrière ce nom barbare se cache en fait une idée tout à fait élémentaire, que nous allons immédiatement mettre en pratique. C’est le moment de sortir papiers et ciseaux (ou presque !) : nous avions bien promis dans le premier article une seconde minute travaux pratiques. Munissez-vous d’un élastique, ainsi que d’un objet quelconque qui jouera le rôle de notre surface : un rouleau de Sopalin, par exemple, ou bien une orange, une pomme, votre porte-manteau, que sais-je encore...

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Figure 5 : Représentation schématique d’un rouleau de sopalin sur lequel on aurait attaché trois élastiques $c_1,c_2$ et $c_3$. Les élastiques $c_1$ et $c_2$ appartiennent à la même classe d’homotopie libre mais la classe de $c_3$ est différente.
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Jacques Hadamard (1865—1963), l’un des plus célèbres mathématiciens français, a oeuvré dans de nombreux domaines : analyse complexe, théorie des nombres, géométrie différentielle ...

Une courbe sur une surface n’est rien d’autre que la position que peut prendre un élastique sur cette même surface : si vous enroulez l’élastique autour du rouleau de Sopalin, vous obtenez ainsi une courbe que nous noterons $c_1$ (voir la figure 5). On dit alors que deux courbes appartiennent à la même classe d’homotopie libre si il est possible de passer de l’une à l’autre par un déplacement de l’élastique. Dans le cas du rouleau de Sopalin, il est très facile de voir que la courbe $c_2$ appartient à la même classe d’homotopie libre que $c_1$ (il suffit pour cela de déplacer l’élastique le long du rouleau). En revanche, pour $c_3$, ce n’est pas le cas : à moins, bien sûr, de tricher et d’enlever l’élastique du rouleau de Sopalin... ! La courbe $c_3$ est un cas tout à fait particulier : on dit qu’elle est homotopiquement triviale, ou que sa classe d’homotopie est triviale, car il est en fait possible d’écraser l’élastique continûment sur un point (ce qui n’est évidemment pas le cas des classes $c_1$ et $c_2$). Vous pouvez ainsi vous amuser à chercher les différentes classes d’homotopie libre de votre objet (notamment s’il présente des «trous», comme un donut) .

Munis de cette belle notion de topologie (c’est ainsi que l’on appelle la branche des mathématiques chargée d’étudier les objets à déformation continue près), nous pouvons énoncer le théorème fondamental de classification suivant, dû au mathématicien français Jacques Hadamard (1865—1963) :

Théorème de Hadamard :

Dans une géométrie à courbure négative, il existe dans chaque classe d’homotopie libre non triviale une unique géodésique périodique. Cette géodésique est la courbe de plus petite longueur dans la classe.

Attention ! La courbure négative est essentielle dans l’énoncé de ce théorème car, sans elle, il serait facile de trouver des exemples qui le contredisent : sur le rouleau de Sopalin, qui n’est rien d’autre qu’un cylindre plat, il existe dans chaque classe d’homotopie libre une infinité de géodésiques périodiques. Par exemple, sur la figure 5, $c_1$ en est une ainsi que $c_2$, de même que toutes les courbes obtenues par translation dans la longueur du rouleau. En revanche, si l’on oublie le rouleau de Sopalin plat mais que l’on considère un rouleau de Sopalin hyperbolique (et pourquoi pas ?!), ou tout autre surface de forme semblable et à courbure négative, comme la superbe jardinière de la figure 6, là, les conclusions du théorème s’appliquent.

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Figure 6 : Une jardinière en forme de cylindre hyperbolique. En noir : les bords de la jardinière. En rouge : la position initiale de notre élastique (attention : ce n’est pas une géodésique !). En bleu : l’unique géodésique périodique du cylindre hyperbolique, obtenue en minimisant la longueur de notre élastique.

Remarquez également que ce théorème nous renseigne sur la façon de chasser les géodésiques périodiques : si vous placez votre élastique (en rouge) dans la classe d’homotopie des courbes qui s’enroulent une seule fois autour de la jardinière hyperbolique de la figure 6 (comme les courbes $c_1$ et $c_2$ de notre exemple précédent), et que vous cherchez à minimiser sa longueur, vous vous apercevez qu’il faut placer l’élastique dans la position bleue, c’est-à-dire au niveau de l’anneau central du cylindre. Vous obtenez ainsi facilement l’unique géodésique périodique du cylindre hyperbolique vivant dans cette classe d’homotopie libre. Dans ce cas très particulier, il est en fait possible de montrer qu’il n’existe qu’une seule classe d’homotopie libre intéressante (les autres consistent tout simplement à s’enrouler deux fois, trois fois, etc. autour de la partie cylindrique), ce qui montre également qu’il n’existe qu’une unique géodésique périodique [3]. Cela tombe bien, nous l’avons trouvée [4] !

Un mot également sur la dimension supérieure : il est encore possible de définir une notion de classe d’homotopie libre en dimension $3, 4\dots$, bien que celle-ci soit évidemment plus compliquée à visualiser. Là encore, en courbure négative, il existe une unique géodésique périodique par classe d’homotopie libre.

Dans tous les cas, les classes d’homotopie libre d’un espace peuvent se dénombrer, ou encore se numéroter : elles forment un ensemble infini mais discret, tout comme les nombres entiers naturels $1,2, 3\dots$ par exemple.

Le spectre marqué des longueurs

Nous pouvons désormais introduire l’objet central de notre étude, le spectre marqué des longueurs.

Définition :

Le spectre marqué des longueurs d’une géométrie est la donnée, pour chaque classe d’homotopie libre, de la longueur de l’unique géodésique périodique dans cette classe.

Comme nous l’avons vu, l’étude des trajectoires géodésiques sur les variétés à courbure négative révèle des propriétés chaotiques comme une extrême sensibilité aux conditions initiales. En outre, les géodésiques périodiques sont rares mais suffisamment nombreuses pour être denses. Il est donc naturel de chercher à comprendre l’information qu’elles peuvent encoder sur la géométrie de l’espace : par exemple, dans quelle mesure la donnée de leur longueur nous renseigne t-elle sur la géométrie ? Autrement dit, quelle information géométrique porte le spectre marqué des longueurs ? La conjecture suivante a été formulée en 1985 par les mathématiciens Keith Burns et Anatole Katok : elle stipule que le spectre marqué encode précisément toute l’information géométrique.

Conjecture de Burns-Katok :

Une géométrie à courbure négative est déterminée par son spectre marqué des longueurs. Autrement dit, la connaissance de la longueur de l’unique géodésique périodique dans chaque classe d’homotopie libre, permet de reconstruire entièrement la structure géométrique de l’espace.

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Christopher B. Croke.

En termes plus mathématiques, ce que nous appelons ici géométrie est la donnée d’un espace $M$ (une variété différentielle, pour les mathématiciens), muni d’une règle, permettant de mesurer des longueurs (une métrique, notée $g$). C’est en fait cette règle qui encode toute la géométrie. L’espace $M$ étant toujours supposé connu, ce que nous cherchons à déterminer est la métrique $g$. La conjecture peut se reformuler comme si : étant donné deux géométries (c’est-à-dire deux règles $g_1$ et $g_2$ sur le même espace $M$) à courbure négative, et ayant même spectre marqué des longueurs, sont-elles indiscernables (on dit aussi isométriques, en langage mathématique) ? [5] Cette notion d’isométrie des géométries peut en fait se comprendre intuitivement : par exemple, une feuille de papier est isométrique à un rouleau de sopalin, car il est possible d’enrouler la feuille (sans la déformer, ni la plier, ni la déchirer) sur elle-même pour former un cylindre ; en revanche, une feuille de papier n’est pas isométrique à une sphère : si vous essayez de recouvrir une orange grâce à votre feuille de papier, il y aura inévitablement des déchirures !

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Colin Guillarmou.

Bien entendu, il est difficile de s’imaginer connaître pour une surface à courbure négative particulière l’intégralité de son spectre marqué des longueurs : on imagine donc mal reconstruire en pratique une surface grâce au théorème précédent. Néanmoins, la force de cette conjecture, si elle devait être prouvée, réside dans l’observation suivante : un système totalement chaotique, comme une géométrie à courbure négative, est en fait encodé par un nombre discret (mais infini) de nombres que sont les longueurs des géodésiques périodiques. C’est un peu comme si l’on disait qu’il suffisait de connaître la taille des trous d’un morceau d’emmental pour pouvoir entièrement le reconstruire (soyons fous : à l’aide d’une imprimante 3D par exemple ! évidemment, le goût en pâtirait...). Ou bien que des mesures de temps de propagation de certaines ondes sismiques permettaient de reconstruire la structure du manteau terrestre !

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Jean-Pierre Otal

Dans le cas des surfaces à courbure négative qui nous a jusqu’à présent intéressé, il n’y a malheureusement (ou heureusement !) plus grand chose à prouver quant à la conjecture de Burns-Katok : deux mathématiciens, le français Jean-Pierre Otal et l’américain Christopher B. Croke, l’ont indépendamment résolue en 1990. Leurs preuves, assez similaires en esprit, reposent néanmoins de façon cruciale sur le fait que les trajectoires géodésiques s’intersectent très souvent sur les surfaces [6], ce qui est loin d’être le cas en dimension supérieure et empêchent ainsi leurs preuves d’être généralisées à de plus hautes dimensions.

En revanche (avis aux amateurs !), la conjecture de Burns-Katok reste totalement ouverte en dimension supérieure. Quelques résultats partiels ont été obtenus au cours de la décennie 1990, mais tous étaient relativement loin de résoudre le problème : mentionnons ici les noms de Anatole Katok, Ursula Hamenstädt, et les travaux du trio français Gérard Besson, Gilles Courtois, Sylvestre Gallot.

Pendant vingt ans, la question n’a pas tellement avancé et il a fallu attendre 2018 pour qu’un nouveau pas significatif soit franchi. Avec Colin Guillarmou, nous avons démontré une version locale de la conjecture de Burns-Katok qui peut s’énoncer comme suit :

Théorème (Guillarmou-L. 2018) :

Si deux géométries à courbure négative sont suffisamment proches et ont même spectre marqué des longueurs, alors ce sont les mêmes.

Que veut-on dire par suffisamment proches ? Une façon intuitive de l’expliquer est de dire que si l’on essaie de plaquer nos géométries l’une sur l’autre à la façon des courbes de la figure 7, alors l’écart que l’on observerait entre les deux serait petit. Voilà pour l’explication; mais pour ce qui est de la preuve, c’est encore une autre paire de manches!

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Figure 7 : La distance entre deux géométries peut se calculer de la même façon que la distance entre deux courbes.
Post-scriptum :

Je remercie Pierre-Antoine Guihéneuf pour sa relecture attentive et son enthousiasme à l’égard de cette série de deux articles sur les géométries chaotiques. Je remercie également Nicolas Bedaride, Vincent Garot et Arnaud Triay pour leur relecture de l’article et leurs commentaires.

Article édité par Pierre-Antoine Guihéneuf

Notas

[1Enfin si, mais cela dépasserait largement le cadre de cet article ! La question que se pose les mathématiciens est alors : à quelle «vitesse» les blancs vont-ils se remplir ?

[2Historiquement, un certain nombre de mathématiciens français s’étaient également regroupés à partir de la fin des années 30 sous le pseudonyme de Nicolas Bourbaki. Leur but était de publier une présentation cohérente des mathématiques, qu’ils jugeaient alors quelque peu dispersées.

[3Modulo quelques histoires d’orientation que nous passons allègrement sous silence.

[4Le lecteur attentif notera qu’il semble ici exister une contradiction entre la densité des géodésiques périodiques évoquées plus haut, et le fait que nous n’en trouvions qu’une seule ici. Cela vient du fait suivant : le cylindre hyperbolique n’est pas une surface fermée (il a des bords), ce qui change totalement le caractère dense des géodésiques périodiques.

[5La formulation mathématique exacte est la suivante : existe t-il un difféomorphisme $\phi : M \rightarrow M$ isotope à l’identité tel que $\phi^* g_2 = g_1$ ?

[6On pourra songer au cas du plan euclidien : deux droites, à moins d’êtres parallèles, vont toujours s’intersecter. En revanche, dans l’espace euclidien de dimension trois, il est beaucoup plus rare que deux droites se rencontrent !

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Para citar este artículo:

Thibault Lefeuvre — «Les géométries chaotiques : le retour» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Créditos de las imágenes:

img_23356 - Thibault Lefeuvre
img_23363 - https://structseg2019.grand-challenge.org/Evaluation/
img_23370 - https://mathcurve.com/
img_23376 - Frédéric Faure

Comentario sobre el artículo

  • Les géométries chaotiques : le retour

    le 24 de febrero à 16:53, par jadewuerfel

    Pour mieux comprendre la notion de théorie du chaos j’ai réaliser une petite expérience sympas avec des dés. L’une faite informatiquement sur un site de lancer de dés tel que https://www.wuerfelonline.de
    et l’autre réaliser sur table par plusieurs personnes. On réaliser 10 000 lancer de dés et on note les résultats. Ceux se rapprochant le plus de la réalité de la moyenne sont générer de façon informatique car ils ne prennent pas en compte la chaocité du lancer de dé tel que l’on obtient sur un lancer sur table.

    Répondre à ce message

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