Les mystères des nombres parfaits

Première partie

Piste verte Le 21 juin 2021  - Ecrit par  Sandrine Lagaize Voir les commentaires

Parés d’une telle épithète, les nombres parfaits éveillent forcément notre curiosité. Qu’ont-ils donc de si particulier pour mériter ce qualificatif ?

Qu’appelle-t-on un nombre parfait ?

Considérons les nombres entiers strictement positifs : $1, 2, 3, 4, 5, \cdots$

Nous remarquons que chacun de ces nombres peut s’écrire comme le produit de deux de ses homologues :
Le nombre $12$, par exemple, peut s’écrire
\[12= 3\times 4.\]
On dit alors que les entiers $3 $ et $4$ sont des diviseurs de $12$.
Le nombre $12$ admet-il d’autres diviseurs que ceux que nous venons de citer ? Oui ! On peut écrire
\[12 = 2\times 6.\]
Mais aussi \[12=1\times 12.\]
Cela signifie que $ 2,\ 6,\ 1 \mbox{ et } 12 $ sont aussi des diviseurs de $12$.

Peut-on en trouver d’autres ?
Non, on ne trouve pas d’autres façons de décomposer le nombre 12 en produit de deux entiers positifs. Nous avons donc obtenu la liste de tous les diviseurs de 12 :
\[1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6 \mbox{ et } 12.\]

Remarquons que, tout entier supérieur ou égal à 2 admet au moins deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Par ailleurs, si l’on prend comme exemple le nombre $7$, on s’aperçoit qu’il n’admet pas d’autre décomposition que
$7=1\times 7.$
C’est-à-dire qu’il n’admet pas d’autres diviseurs que $1$ et $7$.
Tout nombre qui admet exactement deux diviseurs distincts ($1$ et lui-même) est appelé nombre premier.

Rappelons qu’un entier qui admet $2$ comme diviseur est dit pair tandis que les autres sont qualifiés d’impairs.
Les nombres $2,\ 4,\ 6$... sont pairs tandis que $1,\ 3,\ 5$... sont impairs.

Précisons encore qu’on appelle diviseur strict d’un entier tout diviseur autre que lui-même.
Les diviseurs stricts de $12$ sont : $1,\ 2,\ 3,\ 4 \mbox{ et } 6.$

Intéressons-nous maintenant à la somme des diviseurs stricts d’un entier en commençant par quelques exemples :

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mbox {Exemple d'entier} & \mbox{ses diviseurs stricts} & \mbox{la somme de ses diviseurs stricts}\\ \hline 8&1,\ 2, \ 4 &7\\ 12&1,\ 2, \ 3,\ 4, 6&16\\ 6&1, \ 2, \ 3&6\\ \hline \end{array}\]

On observe trois cas de figure :

  • lorsque l’entier considéré est plus grand que la somme de ses diviseurs stricts, on dit qu’il est déficient ; l’entier $8$ est déficient.
  • lorsqu’il est plus petit que la somme de ses diviseurs stricts, on dit qu’il est abondant ; l’entier $12$ est abondant.
  • lorsqu’il est égal à la somme de ses diviseurs stricts, on dit qu’il est parfait ; l’entier $6$ est parfait.

Pour mieux mettre en évidence la spécificité des nombres parfaits, prenons un exemple plus concret... et plus gourmand :

J’ai six carrés de chocolat. En excluant le cas où je mangerais moi-même les six carrés, quelles sont les possibilités d’un partage équitable ?

  • Soit je donne un carré à chacun de mes six meilleurs amis,
  • Soit je donne deux carrés à chacun de mes trois amis les plus fidèles,
  • Soit je donne trois carrés à chacun de mes deux plus vieux amis.

Mais je peux aussi envisager un partage (inéquitable) en choisissant une personne dans chacun des sous-groupes ci-dessus et en lui donnant le nombre de carrés qui lui était destiné dans le premier scenario : je donnerais alors un carré à mon meilleur ami, deux à mon ami le plus fidèle et trois carrés à mon plus vieil ami .

Bien qu’inéquitable, voilà un partage parfait !

Maintenant que les présentations sont faites, entrons dans le vif du sujet.

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Nicomaque de Gérase

« Il arrive que, de même que le beau et le parfait sont rares et se comptent aisément, tandis que ce qui est laid et mauvais sont prolifiques, les nombres excédents et déficients sont en très grand nombre et en grand désordre ; leur découverte manque de toute logique. Au contraire, les nombres parfaits se comptent facilement et se succèdent dans un ordre convenable ; on n’en trouve qu’un seul parmi les unités, $6$, un seul dans les dizaines, $28$, un troisième assez loin dans les centaines, $496$ ; quant au quatrième, dans le domaine des mille, il est voisin de dix mille, c’est $8\ 128$. »
Nicomaque de Gérase (200 après J.-C.)

Profitons de ce retour dans le temps pour retracer très succinctement l’histoire des recherches et découvertes sur ce sujet.

Dès l’antiquité, ces nombres ont attiré l’attention. Les pythagoriciens (environ 500 ans avant J.-C.) les considéraient comme supérieurs à tous les autres et leur attribuaient même un caractère sacré.
Puis 300 ans avant notre ère, Euclide s’est intéressé à ces nombres particuliers, d’un point de vue purement mathématique, et a trouvé une manière de repérer des nombres qui sont à la fois parfaits et pairs. Il a obtenu ainsi les quatre plus petits d’entre eux ; $6, \ 28,\ 496 \mbox{ et } 8\ 128$.
Et c’est seulement 2000 ans plus tard, qu’Euler a démontré un résultat fondamental complétant celui d’Euclide et permettant de caractériser les nombres parfaits pairs.

Précisons le contenu de leurs travaux.

Les nombres parfaits pairs

Sur les traces d’Euclide, remarquons que :
\[ 6=2\times 3= 2^1(2^2-1)\]
\[28= 4\times 7=2^2(2^3-1)\]

Or, nous avons déjà observé que 6 est un nombre parfait et le lecteur saura se convaincre que 28 en est un aussi.
Nous pourrions être tentés de penser que tous les nombres de la forme $2^{n-1}(2^n-1)$, pairs par construction, sont parfaits. Mais cet espoir est vite déçu ; \[2^3(2^4-1)=120 \mbox{ n'est pas un nombre parfait.}\]
En effet, $120$ est abondant : la somme de ses trois plus grands diviseurs stricts, à savoir $60, 40 \mbox{ et } 30$, excède déjà $120$.

Mais alors, comment repérer les nombres parfaits parmi les nombres de la forme $2^{n-1}(2^n-1)$ ?
Euclide a répondu à cette question en démontrant que

Théorème (Euclide) :
Si $2^n-1$ est un nombre premier, alors $2^{n-1}(2^n-1)$ est un nombre parfait.

Dans les exemples précédents, le terme $2^2-1$, apparaissant dans la décomposition de $6$, est égal à $3$ ; c’est bien un nombre premier.
Alors que $2^4-1$, qui intervient dans la décomposition de $120$, vaut $15$ ; ce n’est pas un nombre premier.

Au XVIIIe siècle, Euler a complété de manière cruciale le résultat d’Euclide en montrant sa réciproque :

Théorème (Euler) :
Tout nombre parfait pair est de la forme décrite par Euclide.

Signalons que tout nombre de la forme $2^n-1$ avec $n$ entier strictement positif est appelé nombre de Mersenne et lorsque ce nombre est premier, on l’appelle premier de Mersenne.

Qui est Mersenne ?

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Marin Mersenne

Philosophe et religieux français, Marin Mersenne (1588-1648) est l’une des figures les plus influentes de la révolution scientifique du XVIIe siècle.
Il a été le correspondant de Descartes, Galilée, Constantin et Christiaan Huygens, Fermat... entre autres, ainsi que le traducteur et l’éditeur de textes d’Euclide, Archimède, Galilée, Descartes, Roberval, Fermat...
Lui-même a écrit des ouvrages de théorie de la musique et s’est intéressé à des questions de théorie des nombres et de physique.

Ainsi, le théorème d’Euclide-Euler donne une caractérisation des nombres parfaits pairs. En effet, trouver un de ces nombres revient exactement à trouver un premier de Mersenne. Cependant, ce problème n’est pas aussi simple qu’il en a l’air. En effet, il n’est pas du tout évident de déterminer si un nombre donné, lorsqu’il est grand, est un nombre premier ou non.

C’est pourquoi, avant 1950, n’étaient connus que les douze plus petits nombres parfaits. Puis l’arrivée de l’ordinateur a accéléré les découvertes, surtout à partir des années 1990.
À l’heure actuelle, on connait $51$ premiers de Mersenne, c’est-à-dire $51$ nombres parfaits pairs. Le dernier a été trouvé en décembre 2018 dans le cadre du projet de calcul collaboratif GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Notons toutefois que ce qui motive la recherche des premiers de Mersenne est avant tout qu’ils jouent un rôle prépondérant dans la famille des nombres premiers ; signalons que les plus grands nombres premiers connus à ce jour sont des premiers de Mersenne.
Cependant, bien qu’on sache depuis Euclide qu’il existe une infinité de nombres premiers, on ne sait pas s’il en est de même pour les premiers de Mersenne. Par conséquent, on ne sait pas s’il existe une infinité de nombres parfaits.
Ces questions, qui passionnent les mathématiciens depuis des millénaires, sont toujours au cœur de la recherche actuelle.

Pour terminer cette première partie, découvrons les dix premiers nombres parfaits.

\[\begin{array}{|r|} \hline 6\\28 \\ 496 \\ 8\ 128\\ 33\ 550\ 336\\ 8\ 589\ 869\ 056\\ 137\ 438\ 691\ 328\\ 2\ 305\ 843\ 008\ 139\ 952\ 128\\ 2\ 658\ 455\ 991\ 569\ 831\ 744\ 654\ 692\ 615\ 953\ 842\ 176\\ 191\ 561\ 942\ 608\ 236\ 107\ 294\ 793\ 378\ 084\ 303\ 638\ 130\ 997\ 321\ 548\ 169\ 216\\ \hline \end{array}\]

En parcourant cette liste, on observe que, contrairement à ce que pensaient Nicomaque et ses successeurs du premier millénaire, il n’y a aucun nombre parfait à $5$ chiffres, aucun nombre parfait à $6 $ chiffres...

Et les nombres parfaits impairs, alors ?

Si on se réfère à Nicomaque de Gérase,
« [les nombres parfaits] sont tous invariablement pairs. »

Aujourd’hui encore, des mathématiciens se posent la question : existe-t-il des nombres parfaits impairs ?

Et tous les travaux menés jusqu’à aujourd’hui conduisent à émettre l’hypothèse de la non-existence de nombres parfaits impairs. Dans la deuxième partie de cet article, nous développerons quelques-unes des pistes de recherche en cours pour tenter de prouver cette conjecture.

Conjecture : il n’existe pas de nombre parfait impair.


Post-scriptum :

Je remercie chaleureusement Bruno Martin et Shalom Eliahou de m’avoir proposé de rédiger cet article. Je leur suis reconnaissante aussi pour leur lecture attentive et leurs précieux conseils. Je remercie aussi les relecteurs Jérôme et kSlimani pour leurs commentaires constructifs et leurs suggestions.

Article édité par Shalom Eliahou

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Pour citer cet article :

Sandrine Lagaize — «Les mystères des nombres parfaits » — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

Marin Mersenne - Public domain, via Wikimedia Commons
Nicomaque de Gérase - Public domain, via Wikimedia Commons

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