Les nombres premiers

Le 11 septembre 2019 - Ecrit par Enrique Gracián Voir les commentaires (20)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

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En 2013, l’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques avaient uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique, publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter, à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social, technique, culturel ...
Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette édition avait été entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ; des préfaces et listes bibliographiques rajoutées.

En 2019, cette collection est de nouveau éditée, présentée par Étienne Ghys et distribuée par L’Obs.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série, un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera également accompagné du sommaire du livre et d’une invitation à prolonger votre lecture.

Extrait du chapitre 1 : À l’aube de l’arithmétique

[…]

En ce qui concerne la capacité à compter, on rencontre dans le règne animal de nombreux exemples d’espèces qui peuvent le faire avec une certaine précision. Les guêpes solitaires, par exemple, sont capables de compter le nombre de chenilles vivantes qu’elles laissent comme aliment pour leurs larves dans les loges dans lesquelles elles ont entreposé les œufs : toujours exactement 5, 12 ou 24. Parmi les espèces qui appartiennent à la classe Eumenes, nous rencontrons un cas encore plus incroyable : la guêpe sait si un mâle ou une femelle sortira de l’œuf. Nous n’avons pas de connaissances en ce qui concerne le mécanisme qu’elle utilise pour vérifier le sexe de sa descendance, d’autant plus que les cellules dans lesquelles elle pond et dépose l’aliment ne présentent aucun signe distinctif apparent. La guêpe laisse 5 chenilles pour chaque œuf mâle et 10 s’il s’agit d’une femelle. La raison de cette disparité est que les guêpes femelles sont plus grandes que les mâles.

: Les femelles des guêpes solitaires posent les œufs dans des petites cellules dans lesquelles elles laissent aussi des chenilles anesthésiées au préalable afin que, après l’éclosion, leurs larves puissent s’en nourrir. Le plus surprenant est que ces guêpes laissent toujours le même nombre de chenilles, et elles prennent en compte le sexe futur de l’œuf, mâle ou femelle, ce qui détermine le nombre de « victimes » dont disposera la descendance.

 Même en ce qui concerne un concept plus élaboré, comme celui de nombre premier, il existe un curieux exemple : les espèces de cigales dénommées Magicicada septendecim et M. tredecim. Les noms spéciaux septendecim et tredecim signifient, respectivement, 17 et 13, et font référence aux cycles vitaux des deux cigales. Les deux sont des nombres premiers et les zoologues ont élaboré différentes théories qui expliquent le choix d’un nombre premier d’années pour le cycle de vie de ces insectes.

Prenons comme exemple Magicicada septendecim. Cette cigale vit sous terre à l’état de nymphe et s’alimente de sève en suçant les racines des arbres. Elle passe 17 ans dans cet état et remonte ensuite à la surface pour se transformer en insecte adulte, étape qui dure seulement quelques jours, durant lesquels elle se reproduit puis meurt. La théorie qui explique un tel comportement est la suivante : parmi les ennemis de la cigale adulte existe un parasite dont le cycle de vie est de deux ans. Si le cycle de vie de la cigale était un multiple de 2, les deux espèces finiraient par coïncider tous les 2, 4, 8... ans. La même chose arriverait avec les autres multiples quelconques. Mais si le cycle de vie était un nombre premier d’années assez grand, comme 17 dans notre cas, alors le parasite et la cigale ne pourraient coïncider que tous les 34 ans, puisque 34 est le premier multiple de 17. Dans le cas hypothétique où le cycle de vie du parasite serait de 16 ans, la probabilité de se rencontrer aurait lieu tous les 16 × 17 = 272 ans.

 Il est tout à fait possible qu’avec le temps l’étude du comportement animal nous donne davantage d’exemples d’espèces qui « savent compter ». De tels raisonnements peuvent paraître banals, mais le plus important dans cette affaire, c’est que, bien que les objets mathématiques, comme les nombres premiers, soient une création mathématique, l’explorateur puisse les vivre et les sentir comme s’ils avaient une existence propre.

Le crible d’Ératosthène

 La recherche des nombres premiers a toujours constitué un sujet épineux. L’une des premières méthodes connues est attribuée à Ératosthène de Cyrène (273-194 av. J.-C.), mathématicien, astronome et géographe grec, qui fut directeur de la Bibliothèque d’Alexandrie. Cette méthode est connue sous le nom de « crible d’Ératosthène ». Nous allons voir comment elle s’applique aux cent premiers nombres naturels.
 En premier lieu, il faut construire une table avec tous les nombres naturels, disons ceux entre 1 et 100, pour fixer les idées. On commence ensuite à éliminer tous ceux qui sont multiples de deux : 4, 6, 8, 10... ; puis ceux qui sont multiples de trois : 6 (déjà éliminé), 9, 12, 15... ; puis ensuite les multiples de cinq et de sept.

Les nombres non éliminés sont tous premiers.
On observe que le crible se termine quand on arrive au nombre 10, soit la racine carrée de 100. En général, pour trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre $N$ donné, il suffit de réaliser le crible pour tous les nombres inférieurs ou égaux à $\sqrt{N}$ . Il s’agit là d’une méthode pour trouver les nombres premiers inférieurs à un autre donné. Cette méthode est toujours utilisée actuellement, plus de deux mille ans après sa création, pour trouver des nombres premiers petits, inférieurs à dix mille millions.

LES DIMENSIONS DE LA TERRE

 Le nom d’Eratosthène est lié au crible des nombres premiers qui porte d’ailleurs son nom. Cependant, ce ne sont pas là ses travaux les plus importants. de fait, ératosthène est entré dans l’histoire de la science pour avoir été le premier à calculer les dimensions de la terre. avec les moyens techniques disponibles au iiie siècle av. J.-C., il calcula la circonférence polaire avec une marge d’erreur inférieure à 1 %.

Planisphère qui montre  le monde connu selon Ératosthène. Le savant grec fut le premier à utiliser  une division en parallèles réguliers, alors que les méridiens étaient séparés de manière irrégulière.

 

Combien y a-t-il de nombres premiers ?

 Si nous voulons commencer à réfléchir sur la nature des nombres premiers pour chercher une relation entre eux ou une règle quelconque qui nous permette de prédire à quel moment apparaîtra le suivant, il nous faut d’abord disposer d’une liste de ces nombres. Le tableau suivant, obtenu à partir du crible d’Ératosthène, montre les nombres premiers qui sont compris parmi les mille premiers nombres entiers naturels.

Un examen préliminaire nous permet de constater que les nombres premiers sont tout à fait imprévisibles. Il y a, par exemple, plus de nombres premiers entre 1 et 100 qu’entre 101 et 200. Entre les nombres 1 et 1 000, il y a 168 nombres premiers. Nous pouvons penser que si notre table était bien plus grande encore, nous verrions comment la quantité de nombres premiers augmente à mesure que nous avançons de mille unités en mille unités. Mais non. Il existe actuellement des table immensément grandes et l’on sait que, par exemple, entre les mille unités qui vont de $10^{100} à 10^{100} + 1 000$ il y a seulement 2 nombres premiers. Et il s’agit là de nombres de plus de cent chiffres !
 Il est clair que pour pouvoir trouver une règle, le mieux serait de disposer d’une table exhaustive avec tous les nombres premiers.Tous ? Et s’ils étaient nombreux ? Peu importe : avec les moyens dont nous disposons actuellement, il est possible de les soumettre à tous les types de cribles et de tests permettant de trouver la règle. Car lorsqu’il s’agit d’ensembles finis, aussi grands soient-ils, il est toujours possible de trouver une règle, ou tout du moins d’en inventer une qui corresponde. Mais tout change radicalement quand il s’agit d’ensembles infinis. Par conséquent, il est très important de savoir s’il existe une infinité de nombres premiers. Cette question fut aussi posée par Euclide. Sa manière d’y répondre est si ingénieuse et mathématiquement intuitive que cela vaut la peine de l’étudier en détail.

Partons d’une petite liste de nombres premiers consécutifs, par exemple : \[2,3,5.\]
À présent, faisons le produit de ces nombres entre eux : \[2 × 3 × 5 = 30.\]
Ajoutons une unité au résultat :  \[2 × 3 × 5 + 1 = 30 + 1 = 31.\] Il est clair que la division de 31 par n’importe lequel des trois nombres premiers de la liste initiale 2, 3, 5 aura pour reste 1 : \[31/2 = 15\; \text{reste}\; 1 : 2 × 15 + 1 = 31 ; \] \[31/3 = 10 \;\text{reste}\; 1 : 3 × 10 + 1 = 31 ;\] \[31/5=6\; \text{reste}\; 1 : 5×6+1=31.\]

Cela garantit qu’il n’est divisible par aucun d’eux. Cela arrive tout le temps : si nous partons d’une liste de nombres premiers consécutifs, quand nous les multiplions entre eux et ajoutons une unité au résultat, le nombre obtenu n’est divisible par aucun de ceux de la liste. Ce petit détail a priori tout simple est le cœur même de la démonstration d’Euclide.

Le nombre 31 est un nombre premier qui ne se trouve pas dans la liste initiale ; en effet, elle n’était pas complète.
Prenons par exemple la liste suivante :  \[{2, 3, 5, 7, 11, 13.}\] Faisons le produit de tous les nombres entre eux et ajoutons une unité :
\[2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30\,030 + 1 = 30\,031.\] Ce dernier n’est pas un nombre premier car il peut s’exprimer comme le produit de deux nombres :  \[30\,031 = 59 × 509.\] Euclide avait déjà démontré que tout nombre naturel pouvait se décomposer de manière unique comme un produit de facteurs premiers. Si nous appliquons ce résultat au nombre 30 031, qui est un nombre composé, il est clair qu’avec les nombres premiers de la liste ${2, 3, 5, 7}$ nous n’avons pas ce qu’il nous faut pour effectuer la décomposition en facteurs. Il manque donc dans cette liste des nombres premiers.

 La conclusion est la suivante : aussi longue que soit la liste initiale de nombres premiers, en effectuant l’opération de multiplication entre eux et l’addition d’une unité, le résultat est un nouveau nombre qui correspond à l’une des deux situations suivantes :

1) Il s’agit d’un nombre premier qui n’était pas dans la liste.
2) Il s’agit d’un nombre composé et dans sa décomposition figurent des nombres premiers qui n’étaient pas dans la liste.

 De telle sorte que la liste, à moins d’être infinie, est toujours incomplète. Malheureusement, cette méthode n’est pas une méthode pour obtenir des nombres premiers, bien qu’elle constitue un point de départ très important car elle délimite une dimension du problème et une perspective sans laquelle il serait impossible d’envisager la moindre stratégie. Nous pourrions penser qu’il n’est pas si important de démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers, car c’est une donnée intuitive. Mais il faut rester très prudent avec les nombres premiers : ils sont si « étranges » qu’il pourrait bien arriver un moment où ils disparaissent ! Le théorème d’Euclide nous garantit cependant que cela n’arrivera pas.

[...]


Sommaire du livre

Pour aller plus loin

Nombres premiers, encore et toujours ( piste verte).

Problème « simple » cherche solution depuis 250 ans (actualité).

La conjecture de Goldbach pour les nombres impairs (actualité).

Progressions polynomiales dans l’ensemble des nombres premiers (piste noire).

Idéalisme radicale (piste noire).

Histoires de nombres premiers (piste noire).

Post-scriptum :

Cet extrait a été choisi par le préfacier Serge Cantat. Celui-ci répondra aux éventuels commentaires.

Commentaire sur l'article

Les nombres premiers

le 10 avril 2013 à 09:53, par Cidrolin

Bravo pour cette vulgarisation.

la probabilité de se rencontrer aurait lieu tous les —> Phrase incorrecte.

Le nom d’ératosthène est lié au —> Majuscule.

il s’agit —> Il y en a sept, parfois très voisins.

Amicalement Cidrolin
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Les nombres premiers

le 13 avril 2013 à 15:31, par Laurent Paluel-Marmont
J’ai été très intéressé par ce volume, qui intègre les explications sur les nombres premiers dans l’histoire des mathématiques et des mathématiciens, en évitant l’exposé trop abstrait. L’auteur aurait pu être plus long que quelques lignes p. 139 pour expliquer pourquoi 1 n’est plus considéré comme un nombre premier. L’expression « nombre naturel » a-t-elle remplacé « entier naturel » qu’on utilisait lors de mes études ?

Quelques suggestions en vue d’un retirage :
- p.6, l.29 « dès » à la place de « dés »
- p.11, l.27 « calculus » à la place de « calculis »
- p.26, l.6 on pourrait préciser « le produit de deux nombres premiers » ; l.11 compléter la liste avec 11 et 13
- p.39 l.20 supprimer les guillemets fermants
- p.48 dernière ligne lire « décomposer certains grands nombres en produits de facteurs premiers »
- p.49 l.21-22 la phrase ne me paraît pas très claire
- p.56 l.13 « sa » au lieu de « leur » (à moins que les frères Bernoulli n’aient eu entre eux des divergences)
- p.65 dans l’encadré, « décimal » semble avoir changé de sens dans la dernière phrase
- p.66 l.15 on attendrait « puissance » aussi bien que « nombre »
- p.71 l.16 confusion entre le chiffre 1 imprimé et la lettre l qu’il faudrait lire, pour log ; même confusion p.77 l.10, à côté de la graphie correcte, présente aussi l.8
- p.86 l.3-4 « modulo » ressemble plus à l’ablatif de « modulus » qu’à un diminutif
Je ne suis pas sûr d’avoir tout trouvé...
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Les Nombres Premiers, Page 39

le 18 février 2015 à 15:55, par GAELD

(Sous les guillemets injustifiés, en effet ;-), L’encadré de la page 39 me semble ’mal traduit’, car tel quel il contredit ma compréhension.

L’hypothèse de POLIGNAC :
Ne faudrait-il pas écrire « .. couples premiers ayant 2.C POUR DIFFéRENCE.. » .. « .. séparés par TROIS nombres composés, par CINQ nombres composés, par SEPT nombres composés,.. ».
Et alors en effet si C = 1, on aura des premiers jumeaux tels que 5 et 7, 11 et 13, etc.. ayant 2.C pour différence et un seul nombre composé entre eux..
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Les nombres premiers

le 13 avril 2013 à 17:18, par denise

Ce livre de vulgarisation est agréable à lire, en particulier dans sa manière d’expliquer ce qui a pu amener Gauss à trouver la conjecture prouvée ensuite par Hadamard et La Vallée-Poussin (Théorème des nombres premiers) en observant x/pi(x) alors qu’on aurait tendance à étudier de prime abord pi(x)/x.

Concernant la sempiternelle Conjecture de Goldbach (270 ans et demi !), il est fait référence à trois lettres échangées entre Goldbach et Euler (en date des 18 novembre et 16 décembre 1752, et du 3 avril 1753) au lieu de la traditionnelle lettre du 7 juin 1742.

On trouve toutes ces lettres ici :

http://eulerarchive.maa.org/correspondence/correspondents/Goldbach.html

Malheureusement, aucune traduction n’en est fournie et elles mélangent allègrement l’allemand et le latin.
A la page 600 de la lettre du 16 décembre 1752, on reconnaît bien quelques décompositions de Goldbach mais rien de plus.

Le mystère reste donc entier quant au choix de ces trois lettres-là...

Cordialement,

Denise Chemla
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Les nombres premiers

le 14 avril 2013 à 19:58, par Cronos

Page 41, confusion entre « Le Pentateuque » et « Les Nombres » pour la légende de l’illustration en bas de page dans l’encadré.
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Les nombres premiers

le 16 avril 2013 à 00:09, par Roi de Trèfle

Bonjour,

Je n’ai pas lu cet ouvrage dont je n’avais pas connaissance lors de la publication (im)pertinente de « l’Unité, le six et les nombres premiers ». Je serai curieux de connaître ces « preuves » de la non-primalité de 1, étant donné que mes propres conclusions sont étayées à l’inverse...
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Les nombres premiers

le 2 juin 2013 à 10:56, par Xanthopoulos

Bonjour,

Nouvellement inscrit sur ce site, je souhaiterai commenter le dernier alinéa de la page 137 dont le contenu est attribué à Euler :

« Depuis fort longtemps, les mathématiciens ont essayé en vain de découvrir une quelconque séquence dans l’ordre des nombres premiers, mais j’ai toutes les raisons de croire qu’il s’agit d’un mystère que jamais l’esprit humain ne pourra pénétrer ».

Une modélisation mathématique part d’une image de la Nature. Les objets de la Nature peuvent être perçus comme étant composés ou élémentaires ; à l’échelle microscopique il y a les molécules et les atomes indivisibles. Les entiers naturels sont composés de de nombres premiers (3, 5, 7, etc.) et de nombres composés (6, 9, etc.). La droite des entiers naturels est comme une projection dans « 1 dimension » d’une vue infinie de la Nature. Il me paraît donc tout à fait logique qu’il n’existe pas de loi qui puisse prévoir avec certitude la distribution des nombres premiers ; elle peut nous paraître aléatoire, et en tout cas non prévisible ... Regardons à une autre échelle dans la Nature l’étendue des lacs, des montagnes ... ; existe t-il un ordre logique, mathématique quant à leur distribution dans l’Espace ? Si tout objet particulier pouvait se déduire logiquement quant à son emplacement de ceux de ses semblables, l’Univers immense et mystérieux tel que nous le percevons existerait-il ?

Pour terminer, je voudrai dire ma satisfaction quant à ce livre « Lesnombres premiers ». Je trouve qu’il est clair, accessible pour un amateur non professionnel comme moi.

Bien cordialement à toutes et à tous.
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Répartition logique des nombres premiers

le 25 juin 2013 à 06:08, par mustapha

Bonjour,
Je viens vous informer que j’ai découvert le secret de la répartition des nombres premiers, leurs répartition est tout ce qu’il y a de plus logique, ni hasardeuse, ni aléatoire .6
Au début de l’histoire des nombres, il y avait 10 chiffres originels.
Ces 10 chiffres ont été prolonger jusqu’à l’infini , mais la logique originel est rester.
leurs organisation est logique mathématique rationnel et il ne peut en être autrement, sinon aucun de nos calcul ne fonctionnerait.
J’ai mis un document ou j’explique ma découverte sur YouTube
sous le titre de : répartition logique des nombres premiers
Le hasard n’a pas sa place dans la discipline des mathématiques ,
qui sont une science exacte.
L’ensemble des entiers est constituer de deux ensembles distinct ;
l’ensemble de 2 et 3 et leurs multiples et l’ensemble des nombres premiers et leurs multiples.
2 et 3 sont différent des autres nombres premiers, ce serait trop long a expliquer en quelques lignes .
Tout est logique , pas de hasard en mathématique et c’est ça l’essentiel,
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logique de répartition des nombres premiers

le 24 septembre 2021 à 08:56, par madgel

Voilà la formule, qui caractérise les nombres premiers

(6n+-1)(6n+-1)=(6n+-1)

http://nombrepremier.info/
Document joint : repartition-2.png
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Les nombres premiers

le 20 août 2013 à 12:27, par Audibert

A propos du livre N°3 , dans la présentation de Images des Math, le sommaire du livre N°3 , en pdf , n’est pas le bon (C’est celui du livre N°1 qui a été proposé). G.A.
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Les nombres premiers

le 20 août 2013 à 19:52, par Carole Gaboriau

Merci pour votre remarque. C’est corrigé.

Carole Gaboriau
Secrétaire de rédaction
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Les nombres premiers

le 16 juillet 2014 à 11:46, par PANTAGO

Je vous envoie un texte au sujet des nombres premiers qui doit comporter quelques incongruités, car le format que vous utilisez n’accepte pas les caractères en indice ou en exposant. J’ai donc essayé d’adapter les notations. De plus, étant nouveau sur ce site,je vois en prévisualisation que le texte ne respecte pas les alinéas et les paragraphes. J’espère qu’il n’en est pas ainsi dans la version mise en ligne.

Donc,au sujet des nombres premiers, je me permets d’exposer, à tout hasard, une méthode permettant d’en faire la liste, méthode dont je n’ai pas trouvé l’équivalent dans mes recherches sur le Web. Si cette méthode a déjà été proposée, j’assumerai humblement mon ignorance.
Il s’agit d’un crible inspiré de celui d’Eratosthène, dans lequel, au lieu de faire un tableau, on considère une suite de cases auxquelles on affecte les nombres impairs successifs. On connaît évidemment les premiers nombres premiers, 3, 5, 7. On barre la case 9 (3x3 ), puis la troisième case suivante, puis la troisième case suivante, etc. Ensuite, on barre la case 25 (5x5 ), puis la cinquième case suivante etc. On recommence à partir de 49 (7x7 ) , puis toutes les septièmes cases suivantes. Entre 9 et 49, toutes les cases non barrées contiennent les nombres premiers <49. On recommence l’opération à partir des carrés des nombres premiers déjà trouvés. Entre 3 et pi , toutes les cases non barrées contiennent les nombres premiers < pi*pi .
Il est donc possible d’établir mécaniquement la liste des nombres premiers sans calculs autres que des élévations au carré.
Pour rendre complètement automatique cette méthode, il est possible de partir des carrés successifs de tous les nombres impairs, ce qui est évidemment extrêmement redondant et beaucoup plus long.
Il est possible aussi de commencer la recherche à partir d’un nombre quelconque à condition de calculer d’abord les produits (nombre premier*nombre impair) voisins de ce nombre.
La configuration des cases barrées, lorsque la recherche en est au point de barrer les cases à partir de pi*pi , a une périodicité T=2x3x5x7x11x……xpi.
La probabilité qu’une case soit non barrée, lorsque la recherche en est au point de barrer les cases à partir de pi*pi , est de l’ordre de
(2/3).(4/5).(6/7).(10/11)…….[(pi -1)/pi ].
Si n est le nombre de cases entre pi*pi et pi+1*pi+1 , le nombre de premiers entre pi*pi et pi+1*pi+1 est de l’ordre de P*n. Ceci se vérifie assez bien pour les p jusqu’à 199.
Si on applique par la pensée une impulsion de Dirac à chaque case barrée, l’ensemble de ces impulsions est la somme de peignes de Dirac causaux de période 2*pi et de décalage pi*pi. Les nombres premiers sont les zéros de cette distribution.
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Les nombres premiers

le 16 juillet 2014 à 13:55, par PANTAGO

M’étant rendu compte après coup que j’avais négligé les conseils concernant les paragraphes, je remets en ligne mon texte après correction.

Au sujet des nombres premiers, je me permets d’exposer, à tout hasard, une méthode permettant d’en faire la liste, méthode dont je n’ai pas trouvé l’équivalent dans mes recherches sur le Web. Si cette méthode a déjà été proposée, j’assumerai humblement mon ignorance.

Il s’agit d’un crible inspiré de celui d’Eratosthène, dans lequel, au lieu de faire un tableau, on considère une suite de cases auxquelles on affecte les nombres impairs successifs. On connaît évidemment les premiers nombres premiers, 3, 5, 7. On barre la case 9 (3x3 ), puis la troisième case suivante, puis la troisième case suivante, etc. Ensuite, on barre la case 25 (5x5 ), puis la cinquième case suivante etc. On recommence à partir de 49 (7x7 ) , puis toutes les septièmes cases suivantes. Entre 9 et 49, toutes les cases non barrées contiennent les nombres premiers <49. On recommence l’opération à partir des carrés des nombres premiers déjà trouvés. Entre 3 et pi , toutes les cases non barrées contiennent les nombres premiers < pi*pi .

Il est donc possible d’établir mécaniquement la liste des nombres premiers sans calculs autres que des élévations au carré.

Pour rendre complètement automatique cette méthode, il est possible de partir des carrés successifs de tous les nombres impairs, ce qui est évidemment extrêmement redondant et beaucoup plus long.

Il est possible aussi de commencer la recherche à partir d’un nombre quelconque à condition de calculer d’abord les produits (nombre premier*nombre impair) voisins de ce nombre.

La configuration des cases barrées, lorsque la recherche en est au point de barrer les cases à partir de pi*pi , a une périodicité T=2x3x5x7x11x……xpi.

La probabilité qu’une case soit non barrée, lorsque la recherche en est au point de barrer les cases à partir de pi*pi , est de l’ordre de
(2/3).(4/5).(6/7).(10/11)…….[(pi -1)/pi ].

Si n est le nombre de cases entre pi*pi et pi+1*pi+1 , le nombre de premiers entre pi*pi et pi+1*pi+1 est de l’ordre de P*n. Ceci se vérifie assez bien pour les p jusqu’à 199.

Si on applique par la pensée une impulsion de Dirac à chaque case barrée, l’ensemble de ces impulsions est la somme de peignes de Dirac causaux de période 2*pi et de décalage pi*pi, les nombres premiers sont les zéros de cette distribution.
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Les nombres premiers (Participez à leurs recherches !)

le 21 novembre 2014 à 11:36, par Phil1966

Bonjour,

Je me permets de vous écrire ce courriel suite à la lecture de votre livre.

Je ne suis pas mathématicien, mais membre d’une équipe francophone de calcul partagé : L’Alliance Francophone. http://www.boinc-af.org/

Ce qui m’étonne dans cet ouvrage destiné au « grand public », c’est le peu de cas qu’il y est fait des principaux logiciels et projets de calculs partagés ayant pour objectifs principaux la « recherche » de Nombres Premiers, ni des dizaines de milliers de volontaires qui mettent leur(s) ordinateur(s) à disposition, et qui souvent construisent des ordinateurs 100 % dédiés à ces calculs. Hormis « GIMPS » que vous citez, et qui semble être un logiciel destiné en priorité aux professionnels.

Il y a pourtant plusieurs plateformes de calcul partagé qui proposent à « Mr ou Mme Tout Le Monde » de participer à ces recherches passionnantes, pas seulement en mathématiques, mais dont il est très difficile de faire parler en Europe en général, et en France en particulier.

Des dizaines de milliers de « crunchers » mettent à disposition des chercheurs du monde entier des ordinateurs dans le seul but d’aider à faire « progresser la science ».

Seul ou en équipe.

Ce don de temps de calcul devient même souvent le sujet de compétitions palpitantes, et coûte très cher à tous les participants (dont on ne parle jamais), aussi bien en temps qu’en argent.

Pour prendre mon exemple, j’ai « offert » environ 26500 heures de calcul sur un total de 3 cartes graphiques nVidia + environ 250000 heures sur CPU. (6 pc’s)

Bref, voici les projets dont je suis étonné qu’ils ne figurent ni dans cet ouvrage, et dont on ne parle JAMAIS dans les médias.

Plateforme de calcul dédiée (e.a.) aux Mathématiques :

PRPNet, un sous projet / logiciel de www.primegrid.com

BOINC, un logiciel de calcul partagé développé par Berkeley (à l’origine, il s’agissait du projet destiné à analyser les données de SETI) http://boinc.berkeley.edu/

PRPNet fait tourner sur les ordinateurs des volontaires des recherches sur :

Generalized Cullen/Woodall Prime Search
Primorial Prime Search
Factorial Prime Search
Generalized Fermat Number Prime Search
27121 Prime Search
Wieferich Prime Search
Wall-Sun-Sun Prime Search

La plateforme la plus importante est bien évidemment BOINC : http://boinc.berkeley.edu/

dont une très grande partie des projets sont destinés à la recherche en Mathématiques, principalement la recherche de Nombres Premiers.

Dans ce domaine, le projet PrimeGrid (qui a plus de 10 ans !) est le plus important : www.primegrid.com

Vous trouverez sur cette page la liste des « sous-projets » de recherches + la liste des découvertes majeures récentes.

Sur cette page de notre forum, vous trouverez quelques informations traduites en langage profane par un mathématicien membre de notre équipe :

http://forum.boinc-af.org/index.php/topic,6270.msg396082.html#msg396082

(Sophie-Germain, Proth, Cullen, Woodall, Sierpiński, .....)

Via BOINC, nous calculons aussi sur d’autres projets, dans de nombreux domaines (physique, chimie, biologie, astronomie, ...)

En mathématiques, voici quelques projets actifs :

NFS : « lattice sieving step in the Number Field Sieve factorization of large integers » : http://escatter11.fullerton.edu/nfs/

Collatz : Conjecture de Goldbach : http://boinc.thesonntags.com/collatz/

Numberfields : NumberFields@home is a research project that uses Internet-connected computers to do research in number theory. : http://numberfields.asu.edu/NumberFields/

Etc.

Par contre, ne cherchez pas de projet français. Je ne sais pas pourquoi, mais hormis le LHC / CERN, très peu de grandes institutions françaises s’intéressent à BOINC.

Par contre, en matière de calcul partagé, les américains, les allemands, les italiens, les espagnols, les polonais (astronomie), les australiens, ... sont très demandeurs et de grands utilisateurs.

Peut-être grâce au projet WCG initié par IBM : http://www.worldcommunitygrid.org/

Je ne sais pas si vous lirez ce message ou si vous y trouverez un intérêt quelconque.

Merci,

Cordialement,

Philippe

Phil1966 / http://statseb.boinc-af.org/synthese_membre.py?cpid=3efaa525467294595ce5236a49e4d9e7
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Les nombres premiers - Science « Participative / Citoyenne »

le 21 novembre 2014 à 15:51, par Phil1966

NB J’ai oublié de mentionner, dans mon post précédent, que le CNRS commence à s’intéresser au sujet de la « Science Participative ou Citoyenne » (BOINC, Folding@Home, PRPNet, GIMPS, ...)

http://www.cnrs.fr/mi/spip.php?article355

Phil1966

http://boincstats.com/fr/stats/-1/user/detail/773806/projectList
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Les nombres premiers

le 25 avril 2015 à 13:39, par PANTAGO
Je reviens sur mon commentaire du 16 juillet 2014 concernant un nouveau crible pour trouver les nombres premiers, et ce qui peut en résulter.
Je rappelle brièvement de quoi il s’agit sous une forme un peu différente.
- écrire la liste des nombres impairs.
- barrer 9 et les 9+6k suivants, soit 1 nombre sur 3.
- barrer 25 et les 25+10k suivants, soit 1 nombre sur 5.
- barrer 49 et les 49+14k suivants, soit 1 nombre sur7.
  Et ainsi de suite à partir du carré des nombres premiers successifs déjà connus.
  Les nombres impairs non barrés sont les nombres premiers successifs.
  Il en résulte par exemple que,cette opération étant faite jusqu’à N-1, N étant un nombre pair, si on refait la même opération en sens inverse à partir de N-9, N-25, N-49, etc. au moins jusqu’au nombre impair le plus proche de N/2, tous les nombres impairs non barrés n et N-n sont premiers et que leur somme est égale à N.
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Les nombres premiers

le 27 avril 2015 à 11:01, par PANTAGO

Je complète mon commentaire du 25 avril 2015 en précisant
que pour N grand, la fréquence des couples ( n, N-n ) est :

1/[ln(N)*ln(N)]

alors que la fréquence des nombres premiers est :

1/ln(N)
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Nouvelle classification des nombres entiers naturels

le 7 avril 2020 à 09:56, par Jean-Yves BOULAY

Bonjour,

Je pense que ceci peut vous intéresser. Je propose un nouvelle définition mathématique ne faisant aucune distinction entre l’ensemble des nombres premiers et les nombres 0 et 1.
Voici un aperçu de mon article :
Considérant l’ensemble des nombres entiers naturels, ceux-ci s’organisent en deux ensembles : les nombres ultimes et les nombres non ultimes.

Définition des nombres ultimes :
Un nombre ultime n’admet aucun diviseur non trivial (nombre entier naturel) lui étant inférieur.

Définition des nombres non ultimes :
Un nombre non ultime admet au moins un diviseur non trivial (nombre entier naturel) lui étant inférieur.
Autres définitions :
Soit n un nombre entier naturel (appartenant à ℕ*), celui-ci est ultime si aucun diviseur (nombre entier naturel) inférieur à sa valeur et autre que 1 ne le divise.
Soit n un nombre entier naturel (appartenant à ℕ*), celui-ci est non ultime si au moins un diviseur (nombre entier naturel) inférieur à sa valeur et autre que 1 le divise.
Cette différenciation génère de singuliers arrangements arithmétiques de ces deux classes de nombres comme par exemple la répartition des couples de nombres avec ultimes dans la matrice des 100 premiers nombres.

Jean-Yves Boulay. The ultimates numbers and the 3/2 ratio. 2020. ⟨hal-02508414v2⟩
Document joint : 25_couples.jpg
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L’Unité, le Six et les Nombres Premiers

le 7 mai 2020 à 00:09, par Roi de Trèfle

Bonjour,

Chercheur amateur mais passionné, je n’ai pas trouvé dans l’ouvrage à l’origine de cette rubrique, ni dans aucun autre ouvrage, les quelques notions que j’ai développées dans “l’Unité, le Six et les Nombres Premiers”.
Mais sûrement le sont-elles sous une forme trop “formulée” pour moi ? J’aimerais en avoir le cœur net et soumettre, à ceux qui en auraient le temps, la curiosité et l’envie, le fruit d’investigations personnelles qui ont débuté il y a plus de vingt ans...
Mon “essai” de 72 pages est disponible en pdf, gratuitement je le précise. Je ne pense pas qu’il puisse être joint à ce commentaire, les illustrations lui donnant un certain “poids”...
À défaut, la table des matières est assez parlante.
Merci de votre retour !

Bien cordialement.
Document joint : pre_sentation_u6np.pdf
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Les nombres premiers

le 20 juillet 2020 à 15:28, par LIGNE

Le Déconfinement des Jumeaux et des Cousins.
Attendez-vous à une nouvelle qui est espérée depuis plus de 200 ans ( durée pour une gestation difficile !). Les nombres premiers sont ainsi : semés en une dispersion dont ils gardent jalousement la logique abscone, il fallait un trublion comme moi, sans connaissance spéciale mais animé d’une forte dose de dérision, pour observer avec malice leurs infinis concubinages.
Tout en gardant une distance respectueuse avec la masse infinie des nombres premiers, j’ai soulevé les masques derrière lesquels se cachent les couples, « jumeaux » et « cousins ».
Préliminaires
. On rappelle que la quantité des « nombres premiers » est infinie, et contenue dans la suite des nombres entiers impairs et 2.
. On utilise l’idée géniale du « tri d’Eratosthène » qui permet de reconnaître les « premiers ».
. Sans en abuser , on utilise quelques formules simples mais nécessaires pour cet exposé :
Avec (a ; b ; n ) nombres entiers ; n impair :
( a2 ⎯ b2 ) = ( a ⎯ b ) ( a + b )

et si dans l’expression V suivante :
1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 (n⎯ 4) (n⎯ 2)
2n X __ X __ X __ X __ X__ X ___ X___ X___ X ___ X ___ X___ X ___X.....X ___ X ___ = 1
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 (n⎯ 2) n

on supprime une partie des fractions dont le dénominateur n’est pas premier, le résultat sera supérieur à l’unité.
Ma notation pour la valeur congrue d’un nombre entier Δ en présence d’un premier p sera celle-ci :
Δ mod p ≡ δ
Utilisation du « Tri d’Eratosthène »

Soient deux premiers successifs pi et ps
pi < ps
Chacune des primatelles de 2 à pi est désignée par p.

Le "Tri d’Eratosthène" utilise ces données pour fournir les premiers inférieurs à ps2

Dans la suite des entiers k < ps2

Eliminons k mod p ≡ 0 ; il reste un ensemble de premiers p’ ;
la suite des premiers inférieurs à ps2 est constituée par l’ensemble des valeurs p et des p’ sélectionnés.

Par imitation, on emploiera ce procédé lorsqu’il sera nécessaire d’éliminer toute valeur autre que 0.

Développement

1) Propriétés d’un couple de jumeaux :
Avec pi et ps premiers (dont les valeurs congrues ne doivent pas être nulles)
on a les trois entiers successifs [ pi ; m ; ps ] où pi + 2 = ps
⇒ m mod 2 ≡ 0
m mod 3 ≠ 1 pour préserver pi
m mod 3 ≠ (-1) pour préserver ps
⇒ m mod 6 ≡ 0
C’est une condition nécessaire pour qu’il y ait un couple de jumeaux. Le problème revient à déterminer le nombre de ces centres dans un espace numérique précis en éliminant ceux qui ne sont : ni 1
ni (-1) mod p

2) Soient deux premiers successifs distants de 2j .
Avec pg et ph premiers (dont les valeurs congrues "mod p" ne sont pas nulles) ;
et pg > ph ; pg - ph = 2j
Chacune des primatelles de 2 à ph est désignée par p.
Posons
◊ = ( pg2 ⎯ ph2 ) = ( pg ⎯ ph ) ( pg + ph ) = 2j × ( pg + ph ) ;

Quantité q de valeurs m dans cet espace numérique :
q = ◊ / 6
On cherche les valeurs m = 6n contenues dans ◊ qui répondent chacune à la double condition : « pi et ps , encadrant m, ne peuvent être 0 mod p », soit :
m mod p ≠ 1 pour préserver pi
m mod p ≠ (-1) pour préserver ps
⇒ Pour chaque p, on garde (p-2) valeurs congrues,

(p⎯ 2)
ce qui s’exprime par q X ______ [ F ]
p

La « botte finale »
C’est un bonheur d’utiliser la formule V à partir de l’expression P suivante qui détaille les p :
7 13 19 (ph⎯ 4)
3 5 9 11 15 17 21 (ph ⎯ 2)
q X __ X __ X __ X __ X__ X ___ X___ X___ X ___ X ___ X.....X ______ X ______ ; formule [ P ]
5 7 11 13 17 19 23 ph

9 15 21 (ph⎯ 2)
La partie centrale est le produit de toutes les fractions [F] du nombre q, qui a déjà utilisé mod 2 et 3 ; la liste des p commence à 5.
A l’écart, les fractions de dénominateur non p.

Je pointe :
Effectuons la partie centrale de P , calcul décimal approché de la quantité de valeurs m ayant les propriétés nécessaires à tout couple ( pi et ps ). Il est « surnuméraire » en comptabilisant plusieurs fois certaines valeurs m, communes à certains p.
Croisons cette valeur approchée par une réduction de cette quantité, en utilisant progressivement les fractions au dénominateur « non p » (depuis le plus grand) sans s’arrêter au « croisement ».
Montrons qu’on se sert de V .
2j × ( pg + ph ) 2j × ( 2 ph )
q = ◊ / 6 = _________________ > ______________
6 6
L’emploi de cette valeur minorée de q réduit peu le résultat final ; il vient :

2j × ( 2 ph ) 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 (ph⎯ 4) (ph⎯ 2)

X __ X __ X __ X __ X__ X ___ X___ X___ X ___ X ___ X.....X ______ X ______ = 2j X 1
6 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 (ph⎯ 2) ph

Accéder à cette valeur ultime de V permet d’avoir « croisé » celle du nombre effectif des m qui génèrent les jumeaux, sans la connaître pour autant. L’apparition de la fraction 7/9 n’a pas de logique dans le calcul de q. Sa présence met un point final à la réduction de l’estimation de la valeur approchée qui n’est de ce fait jamais inférieure à 2j.
Les termes des jumeaux sont supérieurs à pg et ph . Ils se situent dans un espace numérique dans lequel figurent de nouveaux premiers successifs avec lesquels on peut générer une nouvelle série de nouveaux jumeaux...et ceci à l’infini.

AVIS AU LECTEUR :

Ces lignes ont permis d’exposer à ma manière comment résoudre la question de l’infinité des solutions au problème des « jumeaux ».
En employant la même méthode, avec un petit changement dans les premières données, il vous sera aisé de constater que l’on peut conclure à l’infinité d’autres couples :
* séparés de 4 unités,
le milieu m étant 6a + 3, le minimum est identique à celui des jumeaux.
* séparés de 6 unités,
deux sortes de milieux, (6a + 2) et (6a - 2) offrent pour minimum le double de ce résultat.

L’usage de la formule V permet aussi la résolution de deux conjectures. Demandez-les moi, je vous les ferais parvenir.

J P Ligné
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L'auteur

Enrique Gracián

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