Voici un triangle :

Il a trois sommets, et deux quelconques de ses sommets sont reliés par un côté.

Voici maintenant un quadrilatère :

Il y a cette fois-ci deux paires de sommets qui ne sont pas reliés par des côtés : les segments qui les relient sont les diagonales du quadrilatère. Dessinons-les :

Cette dernière figure peut être vue comme une projection plane d’un tétraèdre de l’espace tridimensionnel. De même que pour les triangles, deux sommets quelconques d’un tétraèdre sont reliés par une arête.

Passons maintenant à un pentagone. Là aussi, il existe des paires de sommets qui ne sont pas reliés par des arêtes. Il a en fait cinq côtés et autant de diagonales :

Peut-on voir cette figure comme la projection plane d’un polyèdre de l’espace ? C’est-à-dire, existe-t-il un polyèdre dont toutes les paires de sommets sont reliées par des arêtes et qui, projeté convenablement sur le plan nous fournisse un pentagone avec toutes ses diagonales ?

Précisons que l’on ne s’intéressera qu’à des polygones et des polyèdres convexes, sans parties rentrantes. Par exemple, nous éviterons des objets comme :

Une définition mathématique possible d’un ensemble convexe est :

Voyez-vous pourquoi la figure précédente n’est pas convexe, selon cette définition [1] ?

En revenant à notre pentagone enrichi avec ses diagonales, il s’avère qu’on ne peut pas le voir comme projection d’un polyèdre convexe de l’espace tridimensionnel, car on peut montrer que [2] :

Mais on peut voir le pentagone avec ses diagonales comme projection d’un polyèdre vivant dans un espace de dimension quatre : un simplexe, analogue quadridimensionnel des triangles du plan et des tétraèdres de l’espace de dimension trois.

Pour explorer les propriétés des simplexes, il est utile d’être familier avec un outil très important qui pallie à l’infirmité de nos sens lorsqu’il s’agit de penser à des objets vivant en dimension quatre : les coordonnées cartésiennes. Ceux qui ne sont pas suffisamment familiers avec cet outil pourront consulter le bloc suivant.

Les systèmes de coordonnées cartésiennes

Travaillons pour le moment dans un plan. On peut s’y repérer de manière précise en choisissant un point $O$ de référence - l’origine - et deux axes perpendiculaires passant par ce point. On convient d’abord que l’on se repère sur ces axes à l’aide de la distance à l’origine, mesurée positivement d’un côté et négativement de l’autre. Notons cette distance algébrique (c’est-à-dire munie d’un signe) par $x_1$ sur un axe et par $x_2$ sur l’autre axe.

Maintenant, si $P$ est un point quelconque du plan, notons par $P_1$ et $P_2$ ses projections orthogonales sur les axes des $x_1$ et des $x_2$. Le couple $(x_1, x_2)$ des coordonnées de $P_1$ et $P_2$ sur les deux axes est appelé couple de coordonnées cartésiennes de $P$.

Ainsi, chacun des points du plan a des coordonnées cartésiennes qui le caractérisent parfaitement parmi tous les autres points. Réciproquement, chaque couple de nombres réels correspond à un point du plan. Cela permet de refléter la géométrie du plan dans le monde des relations algébriques portant sur des couples $(x_1, x_2)$ de nombres réels ... ou le contraire.

Par exemple, on montre que :

• Les droites du plan $E^2$ correspondent aux ensembles de couples $(x_1, x_2)$ qui vérifient une équation de la forme : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + b =0,\] les coefficients $a_1, a_2, b$ étant réels, et les deux premiers n’étant pas nuls simultanément.
• Les deux demi-plans en lesquels cette droite découpe le plan correspondent aux ensembles de couples $(x_1, x_2)$ qui vérifient l’une des deux inégalités suivantes : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + b >0, \: a_1 x_1 + a_2 x_2 + b <0. \]
• Le segment qui relie les points de coordonnées cartésiennes $(x_1, x_2)$ et $(y_1, y_2)$ est le lieu des points de coordonnées :
  \[((1-t)x_1 + t y_1, (1-t)x_2 + t y_2),\] lorsque $t$ varie de $0$ à $1$. De même, si $x$ et $y$ sont deux nombres réels, les nombres du segment qui les relie sont ceux de la forme $(1-t)x + t y$, le paramètre $t$ variant de $0$ à $1$.

Eh bien, si on passe à l’espace tridimensionnel $E^3$, et que l’on fixe de manière analogue un système de coordonnées cartésiennes, obtenu en choisissant une origine $O$ et trois droites orientées et deux à deux perpendiculaires passant par cette origine, alors :

• Les plans de l’espace $E^3$ correspondent aux ensembles de triplets $(x_1, x_2, x_3)$ qui vérifient une équation de la forme : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 +b =0,\] les coefficients $a_1, a_2, a_3, b$ étant réels, et les trois premiers n’étant pas nuls simultanément.
• Les deux demi-espaces en lesquels ce plan découpe l’espace correspondent aux ensembles de triplets $(x_1, x_2, x_3)$ qui vérifient l’une des deux inégalités suivantes : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + b >0, \: a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + b <0. \]
• Le segment qui relie les points de coordonnées cartésiennes $(x_1, x_2, x_3)$ et $(y_1, y_2, y_3)$ est le lieu des points de coordonnées :
  \[((1-t)x_1 + t y_1, (1-t)x_2 + t y_2, (1-t)x_3 + t y_3),\] lorsque $t$ varie de $0$ à $1$.

Si on compare ce qui se passe dans le plan et dans l’espace de dimension trois, on voit que l’on est amenés à déclarer par analogie que dans l’espace $E⁴$ de dimension quatre le choix d’une origine $O$ et de quatre droites orientées et deux à deux perpendiculaires passant par $O$ permet de repérer tout point $P$ à l’aide de quatre nombres $(x_1, x_2, x_3, x_4),$ ses coordonnées cartésiennes. On a alors les descriptions suivantes, analogues de celles énoncées auparavant :

• Les hyperplans de l’espace $E^4$ correspondent aux ensembles de quadruplets $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ qui vérifient une équation de la forme : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4 +b =0,\] les coefficients $a_1, a_2, a_3, a_4, b$ étant réels, et les quatre premiers n’étant pas nuls simultanément.
• Les deux demi-espaces de dimension quatre en lesquels cet hyperplan découpe l’espace $E^4$ correspondent aux ensembles de quadruplets $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ qui vérifient l’une des deux inégalités suivantes : \[a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b >0, \: a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b <0. \]
• Le segment qui relie les points de coordonnées cartésiennes $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ et $(y_1, y_2, y_3, y_4)$ est le lieu des points de coordonnées :
  \[((1-t)x_1 + t y_1, (1-t)x_2 + t y_2, (1-t)x_3 + t y_3, (1-t)x_4 + t y_4),\] lorsque $t$ varie de $0$ à $1$.

Maintenant que l’on sait ce qu’est un segment en dimension quatre, la définition de la convexité que l’on a vue en dimensions $2$ et $3$ s’y étend telle qu’elle !

La notion la plus importante pour nous parmi celles présentées dans le bloc dépliant précédent est celle d’hyperplan. Il s’agit d’un objet de l’espace de dimension quatre qui est analogue aux plans de l’espace de dimension trois et aux droites du plan. Mais analogue de quel point de vue ? Tout d’abord, au niveau algébrique, il y a une analogie au niveau des équations de définition : à chaque fois il s’agit d’une seule équation dans laquelle les variables apparaissent seules (sans être multipliées entre elles) et au moins une d’entre elles apparaît effectivement [3].

Mais il y a aussi des analogies au niveau de l’interprétation géométrique.
Par exemple :

• un hyperplan partage l’espace $E^4$ en deux demi-espaces de dimension quatre, de la même manière qu’un plan partage un espace de dimension trois en deux demi-espaces et qu’une droite partage un plan en deux demi-plans ;
• chacun de ces demi-espaces de dimension quatre est convexe, de même qu’un demi-espace de dimension trois ou un demi-plan ;
• deux hyperplans distincts ou bien sont parallèles, ou bien se coupent le long d’un plan de dimension deux, de même que deux plans de l’espace de dimension trois ou bien sont parallèles, ou bien se coupent le long d’une droite, et deux droites dans le plan ou bien sont parallèles, ou bien se coupent en un point.

Ces propriétés des hyperplans et des demi-espaces qu’ils bordent sont fondamentales pour comprendre tout ce qui suit. Ce sera aussi très important d’avoir retenu le fait (expliqué dans le bloc dépliant) qu’on peut décrire algébriquement ces trois parties d’un espace de dimension quatre par l’une des conditions suivantes :
\[ \begin{array}{l} a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b = 0 \: \: \mbox{ (l'hyperplan)}, \\ a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b > 0 \: \: \mbox{ (premier demi-espace)}, \\ a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3x_3 + a_4 x_4+ b < 0 \: \: \mbox{ (deuxième demi-espace)}, \\ \end{array} \]

Voici une figure qui illustre la situation analogue dans un plan muni d’un système de coordonnées cartésiennes :

Les simplexes de l’espace de dimension quatre

Venons-en aux simplexes de dimension quatre. Nous avons dit qu’il s’agit d’analogues des triangles du plan et des tétraèdres de l’espace de dimension trois. Une manière de se convaincre de leur existence est de les voir en tant que pyramides. Ainsi, en dimension plus petite :

• un triangle est une pyramide dont la pointe est n’importe lequel de ses trois sommets, et dont la base est le côté opposé ; on en obtient un chaque fois que l’on prend un segment, un point à l’extérieur de la droite contenant le segment, et qu’on le relie par des segments aux points du segment de base.
• un tétraèdre est une pyramide dont la pointe est n’importe lequel de ses quatre sommets, et dont la base est la face opposée ; on en obtient un chaque fois que l’on prend un triangle, un point à l’extérieur du plan du triangle, et qu’on le relie par des segments aux points du triangle de base.

Ces deux constructions sont illustrées dans la figure suivante :

De manière analogue, un simplexe de l’espace de dimension quatre s’obtient en considérant un hyperplan (donc un espace de dimension trois) à l’intérieur d’un espace de dimension quatre, un tétraèdre dans cet espace tridimensionnel et un point en dehors. En reliant ce point par des segments [4] aux points du tétraèdre, on obtient une pyramide quadridimensionnelle à base le tétraèdre.

On peut obtenir des exemples de ces constructions de la manière suivante :

• le segment de base est le segment qui relie les points unités $(1,0), (0, 1)$ sur les axes de coordonnées de $E^2$ et le sommet de la pyramide est l’origine ;
• le triangle de base a comme sommets les points unités $(1,0,0), (0,1,0), (0, 0, 1)$ sur les axes de coordonnées de $E^3$ et le sommet de la pyramide est l’origine ;
• le tétraèdre de base a comme sommets les points unités $(1,0,0, 0), (0,1,0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)$ sur les axes de coordonnées de $E^4$ et le sommet de la pyramide est l’origine.

Dans la figure suivante sont illustrés les deux premiers exemples :

Le dernier se comprend par analogie avec ces objets de basse dimension.
Par exemple, pourquoi les quatre sommets du tétraèdre se trouvent-ils dans un hyperplan ? Eh bien, parce qu’ils vérifient tous l’équation suivante qui est bien, comme expliqué dans le bloc « Les systèmes de coordonnées cartésiennes », celle d’un hyperplan :

\[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 - 1 =0. \]

Maintenant que nous avons présenté les simplexes, venons-en au phénomène autour duquel est construit ce texte :

La courbe des moments et les polyèdres cycliques

Le personnage-clé qui nous permettra d’exhiber de tels polyèdres est une courbe, appelée courbe des moments à cause du fait que les puissances d’une variable permettent de définir la notion de moment en probabilités [5].

Avant d’expliquer de quelle manière elle intervient, discutons une notion fondamentale pour notre propos, celle d’enveloppe convexe d’un ensemble de points :

Voici un exemple dans le plan :

À gauche est dessiné l’ensemble de départ, à droite celui-ci est redessiné, et son enveloppe convexe lui est superposée.

On obtient un polygone convexe qui contient tous les points de l’ensemble de départ, et dont les sommets font partie de cet ensemble [6]. Cela montre aussi comment obtenir très facilement pléthore de polyèdres convexes de dimension quatre : il suffit de se donner un ensemble fini de points qui ne sont pas situés dans un même hyperplan, par exemple via une liste de coordonnées cartésiennes, puis de prendre leur enveloppe convexe.

Eh bien, on va faire cela avec des points situés sur la courbe des moments. Et alors :

Ce sont ces polyèdres que l’on appelle les polyèdres cycliques [7]. Pourquoi « cycliques » ? Parce que l’on peut imaginer la courbe des moments comme un fil, et les points comme des perles sur ce fil. Alors, lorsque l’on referme le collier en faisant se rejoindre les deux extrémités du fil (on peut montrer qu’en fait ces deux extrémités se rejoignent à l’infini [8] !) on obtient des perles sur un cercle, c’est-à-dire que les sommets sont cycliquement ordonnés.

Un échauffement dans le plan

L’une des difficultés que l’on rencontre si l’on veut démontrer le théorème précédent est que l’on ne sait pas « voir » naturellement en dimension quatre. Cela nécessite
un apprentissage. Et cet apprentissage passe essentiellement par
la pratique d’un jeu d’analogies avec ce qui nous est familier en
dimensions deux et trois.

C’est en fait principalement pour expliquer
aux non-initiés cette manière qu’ont les géomètres de « voir » en grandes
dimensions que j’ai choisi le sujet des polyèdres cycliques. Ils permettent
entre autres de montrer comment on arrive à « voir » des propriétés des
espaces cartésiens qui n’apparaissent qu’à partir de la dimension quatre,
avec lesquelles nous ne sommes pas du tout habitués par les expériences
quotidiennes.

Pour nous échauffer avant de monter en dimension quatre, considérons
les polygones cycliques, qui vivent, eux, dans le plan. Ils sont définis
exactement comme leurs analogues de dimension quatre, mais à partir
de la courbe des moments bidimensionnelle, la parabole paramétrée
en coordonnées cartésiennes par :
\[ t \mapsto (t^1, t^2).\]

Dans la figure suivante sont représentés, à gauche, quelques points sur
cette parabole, et à droite leur enveloppe convexe.

Cela saute aux yeux que les points donnés sont exactement les sommets de leur enveloppe convexe. Mais démontrons-le de telle manière que l’on puisse ensuite passer par analogie en dimension quatre.

Comment prouver qu’un point donné d’un ensemble fini est un sommet de son
enveloppe convexe ? Eh bien, l’idée fondamentale sera la suivante :

Une droite vérifiant ces propriétés est illustrée dans la figure suivante :

Il est instructif de se convaincre aussi que de telles droites n’existent pas
pour les points $B$ et $C$, et qu’en effet, ces points ne sont pas des sommets de l’enveloppe convexe de l’ensemble représenté.

Revenons à notre parabole. Cela saute aux yeux que chacune de ses tangentes
la laisse d’un seul côté, et ne l’intersecte que au point de tangence. Donc, si
on se donne un ensemble fini $F$ de points de la parabole, il suffit de prendre
en chacun de ces points la tangente à la parabole, et la proposition précédente
nous montre alors que ces points sont exactement les sommets de leur enveloppe
convexe.

Mais rien ne nous « sautera aux yeux » en dimension quatre, donc nous allons donner un autre argument, plus algébrique, qui s’étendra immédiatement par analogie à cette dimension.

Traduisons d’abord la proposition précédente portant sur les points du plan à l’aide d’un système de coordonnées cartésiennes. Si les coordonnées du point $A_i$ de l’ensemble $F$ sont notées $(x_i, y_i)$ (avec $i$ variant, disons, dans l’ensemble d’indices $\{ 1, ..., n \}$), alors $A_i$ est un sommet
de l’enveloppe convexe de $F$ si et seulement si on trouve des nombres réels $a,b,c$ tels que :
\[ \left\{ \begin{array}{l} a x_i + by_i + c =0 \\ a x_j + b y_j + c > 0 \mbox{ si } j \neq i. \end{array} \right.\]

Nous sommes prêts à prouver :

La contrainte d’avoir au moins $3$ points provient du fait que l’on veut que cette
enveloppe convexe soit vraiment une figure de dimension deux, non pas un point ou un segment.

Par définition de la parabole des moments, il existe des nombres réels $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ tels que les coordonnées cartésiennes de nos points soient $(x_i, y_i) = (t_i^1, t_i^2)$.

On voudrait montrer que pour tout indice $i \in \{1, ..., n\}$, on trouve
des nombres réels $a,b,c$ tels que :
\[ \left\{ \begin{array}{l} a t_i + b t_i^2 + c =0 \\ a t_j + b t_j^2 + c > 0 \mbox{ si } j \neq i. \end{array} \right. \]

Eh bien, il suffit de choisir $a,b,c$ tels que :
\[ aX + b X^2 + c = (X - t_i)^2.\]
C’est un jeu d’enfant de vérifier qu’ils satisfont aux conditions précédentes [9] !

Un raisonnement semblable fait pour une variable de plus montre que l’on a l’analogue tridimensionnel suivant de la dernière proposition :

Pour que cette enveloppe convexe soit vraiment un polyèdre de dimension trois, il faut
prendre au moins $4$ points. Sinon, on obtient un simplexe de dimension plus petite : un point, un segment ou un triangle.

Nous voici prêts à raisonner par analogie en dimension quatre. La preuve qui suit a été donnée par David Gale en 1963 [10].

Une preuve du théorème sur les polyèdres cycliques

Nous avons vu comment exhiber des sommets de l’enveloppe
convexe d’un ensemble fini de points du plan. La caractérisation
analogue est vraie en dimension quatre :

Si on a $n$ points sur la courbe des moments, cela signifie que
l’on trouve à nouveau des nombres réels
$t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ tels que les
coordonnées cartésiennes de nos points soient :
\[(x_i, y_i, z_i, w_i) = (t_i^1, t_i^2, t_i^3, t_i^4).\]

Prenons deux points quelconques parmi eux, correspondant
aux paramètres $t_i$ et $t_j$. Définissons alors les nombres réels
$a,b,c,d,e$ par :
\[ a X + b X^2 + c X^3 + d X^4 + e = (X-t_i)^2 \cdot (X-t_j)^2.\]

C’est à nouveau un jeu d’enfant de vérifier que sont bien satisfaites les
traductions suivantes des hypothèses de la dernière proposition [12] :
\[ \left\{ \begin{array}{l} a t_i + b t_i^2 + ct_i^3 + dt_i^4 +e =0 \\ a t_j + b t_j^2 + ct_j^3 + dt_j^4 +e =0 \\ a t_k + b t_k^2 + ct_k^3 + dt_k^4 +e > 0 \mbox{ si } k \notin \{i, j \}. \end{array} \right.\]

Un diagramme de Schlegel

La preuve précédente est impeccable logiquement parlant. Elle est aussi réjouissante
de simplicité pour quelqu’un qui a acquis une certaine familiarité avec les polynômes. Mais elle peut être frustrante pour une personne qui aime vraiment « voir » les objets.

Pour le moment j’ai expliqué comment on pouvait arriver à travailler en dimension supérieure ou égale à quatre, en y exportant des intuitions développées d’abord en géométrie du plan ou de l’espace. Mais il s’avère que l’on peut arriver à « voir » en un sens plus concret des polyèdres convexes de l’espace quadridimensionnel, via leurs diagrammes de Schlegel.

Ce procédé de visualisation est disponible déjà pour représenter dans le plan des polyèdres convexes de l’espace de dimension trois. Voici par exemple des diagrammes de Schlegel d’un tétraèdre et d’un cube :

L’idée est d’imaginer qu’un polyèdre est transparent, avec seulement ses arêtes visibles, et de le regarder à travers l’une de ses faces, en étant assez près de celle-ci pour que toutes les autres faces se voient à travers elle. Le polyèdre apparait alors comme une décomposition de cette face par des polygones convexes plus petits.

Le procédé analogue effectué pour un polyèdre convexe de dimension quatre fournit une décomposition de l’une de ses faces - un polyèdre convexe de dimension trois - en polyèdres convexes plus petits. Il s’agit alors de représenter cette décomposition dans un dessin plan : une double descente dimensionnelle en somme.

Comment obtenir des diagrammes de Schlegel pour les polyèdres cycliques ? Je l’expliquerai pour le plus simple qui n’est pas un simplexe, celui à 6 sommets. Il s’agit donc de l’enveloppe convexe de $6$ points choisis sur la courbe des moments. Les voici, dessinés symboliquement comme les perles d’un collier :

Le point $\infty$ est celui qui sert à refermer le fil du collier, il représente le point à l’infini de la courbe des moments.

On a vu que tous les couples de sommets déterminent une arête. Mais quels sont les quadruplets de sommets qui déterminent une face de dimension trois - appelée une facette - du polyèdre ? David Gale prouva la proposition suivante [13] :

C’est-à-dire que l’on a soit quatre sommets consécutifs, soit deux paquets de deux sommets consécutifs, séparés par d’autres sommets des deux côtés des paquets.

La preuve suit le même principe de passage par les polynômes que celle présentée plus haut. Nous expliquerons plus bas, dans le dernier bloc dépliant, la preuve du résultat analogue en dimension quelconque.

Dans notre cas où $n=6$, on déduit en travaillant avec la figure précédente que les facettes ont comme sommets :
\[[M_1 M_2 M_3 M_4], [M_2 M_3 M_4 M_5], [M_3 M_4 M_5 M_6], [M_1 M_4 M_5 M_6], [M_1 M_2 M_3 M_6], [M_1 M_2 M_5 M_6], \\ [M_1 M_2 M_4 M_5], [M_2 M_3 M_5 M_6], [M_1 M_3 M_4 M_6] .\]

Un diagramme de Schlegel pour ce polyèdre cyclique correspond donc à une décomposition d’un tétraèdre en $8$ autres tétraèdres, de telle manière qu’on n’ait rajouté que deux points à l’intérieur du tétraèdre initial.

Voici un tel diagramme, obtenu en choisissant $[M_2 M_3 M_4 M_5]$ comme facette à travers laquelle regarder :

Autour de la figure centrale, qui illustre le fait que tous les couples de sommets sont bien reliés par des arêtes, sont représentées les divers sous-tétraèdres de la décomposition de $[M_2 M_3 M_4 M_5]$. Devinez-vous quelle règle j’ai choisie pour les couleurs et pour la disposition circulaire ? [14]

Il faut placer convenablement les points $M_1$ et $M_6$ à l’intérieur du tétraèdre $M_2 M_3 M_4 M_5$ pour que les $8$ petits tétraèdres ne se chevauchent pas. J’ai indiqué dans mon dessin une telle disposition convenable par la manière dont les arêtes passent les unes devant les autres suivant un certain point de vue. Il peut être utile pour comprendre comment s’assemblent ces tétraèdres, de refaire la figure centrale en coloriant les triangles qui joignent l’arête $M_1 M_6$ aux sommets $M_2, M_3, M_4, M_5$ du grand tétraèdre.

Les personnes qui désirent vraiment assembler à la main ces petits tétraèdres pourront en faire des impressions 3D, en s’inspirant de ce qu’Arnaud Chéritat a fait pour l’un des polyèdres réguliers de dimension quatre, le 120 [15].

Les polyèdres amicaux

Existe-t-il en dimension quatre d’autres types de polyèdres convexes que les cycliques, vérifiant le fait que tous leurs couples de sommets sont joints par des
arêtes ? Eh bien oui, et ceux qui vérifient cette propriété portent le joli nom de polyèdres amicaux [16].

Précisons d’abord ce que l’on entend par type d’un polyèdre. Il s’agit d’une généralisation du fait que tous les triangles sont du même type, ainsi que tous les polygones convexes à $n$ sommets :

Les polyèdres amicaux peuvent être caractérisés par la propriété suivante :

En fait, tout ce que l’on a fait en dimension quatre s’étend en dlmension
plus grande. Les polyèdres cycliques se définissent de manière analogue
à l’aide des courbes de moment en dimension $d$ et les polyèdres amicaux se définissent ainsi (le symbole $[d/2]$ désignant la partie entière de $d/2$) :

Expliquons ce que signifie le terme de face dans la définition précédente. Dans le plan, les faces d’un polygone convexe sont ses sommets (les faces de dimension $0$) et ses arêtes (les faces de dimension $1$). En dimension trois, les faces d’un polyèdre convexe sont ses sommets, ses arêtes et ce que l’on appelle d’habitude ses faces (les faces au sens élargi, qui sont en outre de dimension $2$). En dimension quatre, on a le même type de faces, ainsi que des faces de dimension $3$. Ces dernières sont des polyèdres convexes de dimension $3$ obtenus comme intersections du polyèdre initial de dimension quatre par un hyperplan qui laisse le polyèdre d’un seul côté. En fait, comme la notion d’hyperplan s’étend en dimension quelconque, ceci fournit une définition des faces valable en toute dimension :

La borne $[d/2]$ de la définition précédente s’explique par le fait que si on avait la même propriété pour un certain $k > [d/2]$, alors le polyèdre serait nécessairement un simplexe [18] ! C’est pour cela que l’analogue en dimension quelconque de la notion de polyèdre amical de dimension quatre ne se définit pas en demandant seulement que deux sommets quelconques soient joints par une arête.

En fait, on peut montrer que toutes les faces des polyèdres amicaux de dimension paire sont des simplexes. Ce qui est intéressant est que cela n’est pas vrai en dimension impaire. En effet, une pyramide ayant comme base un polyèdre amical est à nouveau un polyèdre amical (pensez-y un peu, c’est une conséquence simple de la définition). Il suffit alors de prendre un polyèdre amical $B$ en dimension paire $2p$ qui soit différent d’un simplexe. L’une des faces de cette pyramide est sa base $B$, qui n’est pas un simplexe.

Comment décrire les types des polyèdres cycliques ?

En général, décrire le type d’un polyèdre convexe peut se faire en donnant une liste de sommets, puis en disant quels sous-ensembles de cette liste constituent les sommets d’une facette. En effet, on obtient ensuite automatiquement les ensembles de sommets qui correspondent à toutes les faces de dimension plus basse en prenant toutes les intersections possibles d’ensembles de sommets qui correspondent aux facettes.

Gale démontra la caractérisation suivante des sous-ensembles de sommets des facettes pour les polyèdres cycliques de dimension quelconque :

C’est facile de se convaincre qu’en dimension quatre (et plus généralement, en toute dimension paire), cet énoncé est équivalent à celui donné dans la section précédente.
Comme conséquence du théorème, tous les polyèdres cycliques de dimension $d$ et nombre de sommets $n$ fixés sont amicaux et du même type.

Une preuve de la condition de parité de Gale

Si le premier bloc dépliant était adressé aux personnes peu familières avec les coordonnées cartésiennes, celui-ci est adressé à celles qui non seulement ont appris à penser facilement en termes de telles coordonnées, mais qui connaissent de plus les propriétés de base des polynômes à coefficients réels.

Considérons la courbe des moments dans l’espace de dimension $n$, muni de coordonnées cartésiennes $(x_1, ..., x_n)$. Elle est paramétrée par
$x_i = t^i$ pour tout $i \in \{1, ..., n \}$. Prenons $n$ points $M_1, ..., M_n$
dessus, correspondant aux paramètres $t_1 < \cdots < t_n$, et notons par $Q$ le polyèdre cyclique $\: Conv(M_1, ..., M_n)$.

Supposons que $D \subset \{1, ..., n \}$ est l’ensemble des indices d’une facette
de $Q$. Il existe donc des nombres réels $\: a_0, a_1, ..., a_d$ tels que :
\[ \left\{ \begin{array}{l} a_0 + \sum_{i=1}^d a_i t_l^i =0 \: \mbox{ pour tout } l \in D ; \\ a_0 + \sum_{i=1}^d a_i t_k^i >0 \: \mbox{ si } k \notin D. \end{array} \right.\]

C’est-à-dire que l’hyperplan $H$ d’équation :
\[ a_0 + a_1 x_1 + \cdots + a_d x_d =0\]
contient les points $(M_l)_{l \in D}$ et que tous les autres points
$M_k$ se trouvent du même côté de cet hyperplan, celui où
la fonction $ a_0 + a_1 x_1 + \cdots + a_d x_d$ prend des valeurs
strictement positives.

Le polynôme non-nul :
\[P(X) = a_0 + \sum_{i=1}^d a_i X^i \]
est de degré au plus $d$, donc
il admet au plus $d$ racines. Mais on a supposé qu’il s’annule en les paramètres $t_i$ avec $i \in D$, qui correspondent aux sommets d’une facette de $Q$. Une telle facette est de dimension $d-1$, donc elle a au moins $d$ sommets. Il s’ensuit :

— d’une part, qu’il y en a exactement $d$, donc que la facette est un simplexe ;

— d’autre part, que les racines du polynôme $P(X)$ sont précisément les paramètres $t_i$ avec $i \in D$, donc qu’elles sont toutes simples ; en particulier, la fonction polynômiale $P(t)$ change de signe lorsque le paramètre $t$ traverse l’une d’entre elles.

Si maintenant $\: t_j < t_k$ sont des paramètres qui ne correspondent pas aux sommets précédents (donc, tels que $j$ et $k$ n’appartiennent pas à l’ensemble $D$), la deuxième équation du système écrit plus haut montre que le polynôme est strictement positif en $t_j$ et en $t_k$. Imaginons maintenant que $t$ croit de $t_j$ à $t_k$. On vient de voir que, chaque fois que l’on traverse une racine, il change de signe. Cela impose que l’on ait un nombre pair de racines entre $\: t_j$ et $\: t_k$.

Cette preuve est illustrée dans la figure suivante, dans laquelle on voit la courbe des moments traverser un nombre pair de fois l’hyperplan $H$ entre $\: M_j$ et $\: M_k$.

Réciproquement, supposons que $D $ est un sous-ensemble quelconque de $d$ éléments de $\{1, ..., n \}$. Définissons les nombres réels $a_0, ..., a_d$ par :
\[ a_0 + \sum_{i=1}^d a_i X^i = \prod_{k \in D} (X-t_k).\]
On voit par un argument semblable à celui utilisé précédemment que la condition de parité assure que l’hyperplan défini par l’équation :
\[ a_0 + \sum_{i=1}^d a_i x_i = 0\]
passe par les points $(M_k)_{k \in D}$ et laisse les autres d’un même côté. Les points $(M_k)_{k \in D}$ ne sont pas situés dans un espace de dimension plus petite, car l’hyperplan qui les contient est défini de manière unique (cela revient à dire qu’il existe un unique polynôme unitaire de degré $d$ qui les a comme racines). Donc les points forment bien les sommets d’une face de dimension $d-1$ de $Q$.

Il existe une réciproque lorsque le nombre de sommets dépasse de peu la dimension : si $n \leq d + 3$, alors tous les polyèdres amicaux de dimension $d$ à $n$ sommets ont nécessairement le type d’un polyèdre cyclique. [19]

Mais cela change dès que $n$ dépasse $d +3$. Par exemple, il existe exactement $2$ types de polyèdres convexes à $8$ sommets dans l’espace de dimension quatre qui soient différents des polyèdres cycliques [20]. Avec $9$ sommets il y a $22$ tels types et avec $10$ il y en a $430$. En fait [21], en toute dimension paire $d$, le nombre de types de polyèdres amicaux à $n$ sommets (incluant les polyèdres cycliques) est au moins égal à :
\[\frac{1}{2}(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot M(n,d) ) , \: \: où \: \: M(n,d) := \left(\frac{d}{2} -1\right) \left[\frac{n-2}{d+1} \: \right] .\]

La croissance rapide de cette suite de nombres avec $n$ explique partiellement que l’on ne sache toujours pas décrire tous les types de polyèdres amicaux.

Mais pourquoi les polyèdres amicaux sont-ils importants ? Par exemple à cause de la caractérisation suivante obtenue en 1970 par Peter McMullen démontra [22], dont celle énoncée plus haut en dimension quatre n’est qu’un cas particulier :

J’espère que mes explications vous auront donné l’envie d’entrer dans le
cercle d’amis des polyèdres amicaux, et même dans celui plus restreint des polyèdres
cycliques !

Pour aller plus loin

On trouvera bien plus d’informations sur les polyèdres cycliques ou, plus généralement, sur les polyèdres convexes de dimension quelconque, dans les références suivantes :

• A. Barvinok : A course in convexity. AMS, 2002.

• A. Brøndsted : An introduction to convex polytopes. Springer, 1983.

• G. Ewald : Combinatorial convexity and algebraic geometry. Springer, 1996.

• B. Grünbaum : Convex polytopes. Deuxième Édition, préparée par V. Kaibel, V. Klee, G.M. Ziegler. Springer, 2003.

• J. A. De Loera, J. Rambau, F. Santos : Triangulations. Springer, 2010.

• G. M. Ziegler : Lectures on polytopes. Springer, 2007.